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专题1——利用定积分定义求极限 (1)


专题 1——利用定积分定义求极限

对于满足如下条件的极限,可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法:

① 是 n ?? 时的极限 ② 极限运算中含有连加符号

?
i ?1

n

在定积分的定义中, 我们把区间 [ a, b] 平均分成 n 个小区间 (定积分的定义中是任意分割区间 [ a, b] ,

b?a (即定义中的 ?xi ) ,这 n 个小区间分别为 n b?a b?a b?a b?a b?a [a, a ? ] , [a ? ,a ? 2 ] , [a ? 2 ,a ?3 ] ,……, n n n n n b?a b?a b?a [a ? (n ? 2) , a ? (n ? 1) ] ,[a ? (n ? 1) , b] ,在定义中每个小区间上任意取的 ? i 我们 n n n b?a b?a 一致取为每个小区间的右端点 ? i ? a ? i (也可以取左端点 ?i ? a ? (i ? 1) ) ,那么定义中 n n
我们当然可以平均分割) ,那么每个小区间的长度为 的

?
i ?1

n

f (?i )?xi 就变为 ? f (a ? i
i ?1

n

n b b?a b?a b?a b?a ,那么 lim ? f (a ? i (取 ) ) ? ? f ( x)dx 。 a n ?? n n n n i ?1

左端点时 lim
n ??

? f (a ? (i ?1)
i ?1

n

b b?a b?a ) ? ? f ( x)dx ) a n n

注意: 定积分的定义中 ? ? 0 表示的意思是把区间分割为无线个小区间( n ?? 也表示把区间分割 成无数个小区间,但是在任意分割的前提下,不能用 n ?? 来表示把区间分割成无数个小区间,这 里的原因我是理解的,但是不好表述,你清楚结论就行了) ,当分割方式为均等分割时, n ?? 就 表示把区间分割成无数个小区间,所以这里是 lim
n ?? n b b?a b?a ) ? ? f ( x)dx 。 a n n

? f (a ? i
i ?1

n

b b?a b?a ) ? ? f ( x)dx ,而不是 a n n

lim ? f (a ? i
? ?0
i ?1

1

如 f ( x ) 在区间 [0,1] 上的积分可以表示为

?

1

0

f ( x)dx ? lim

1 n i f ( ) —— ? i 取每个小区间的右端 ? n ?? n n i ?1

点,或者

?

1

0

f ( x)dx ? lim

1 n i ?1 f( ) —— ? i 取每个小区间的左端点。 ? n ?? n n i ?1

举例:求 lim

i3 ? 4 n ?? i ?1 n
n
n 1 i 3 3 x dx ? lim ? ( ) (这里 ? i 取 ? ?0 n ?? n i ?1 n 1

分析: 函数 f ( x) ? x3 在区间 [0,1] 上的定积分的定义可以表示为

的是每个小区间的右端点) ,即

n n 1 i 3 i3 3 。所以 x dx ? lim ? ( ) ? lim ? ? 4 ?0 n ?? n ?? n i ?1 n i ?1 n 1

1 i3 x4 1 1 3 lim ? 4 ? ? x dx ? |0 ? 0 n ?? 4 4 i ?1 n n

对于这个考点的考法应该不会很深(这个方法经常在数学竞赛中用到) ,给出的极限应该可以化为某 个函数在区间 [0,1] 上的定积分,基于此,遇到这类题时,一定要把给出的极限化为如下形式:
n n n 1 i 1 i 1 i ?1 1 i ?1 或者 lim ? ? f ( ) ? lim ? f ( ) lim ? ? f ( ) ? lim ? f ( ) ,只要化为以上的几种 n ?? n ?? n ?? n ?? n n n n n n i ?1 n i ?1 i ?1 n i ?1 n

形式,那么给出的极限就是函数 f ( x ) 在区间 [0,1] 上的积分,即

?

1

0

n n n n 1 i 1 i 1 i ?1 1 i ?1 f ( x)dx ? lim ? ? f ( ) ? lim ? f ( ) ? lim ? ? f ( ) ? lim ? f ( ) n ?? n n n?? i ?1 n n?? i ?1 n n n n?? i ?1 n i ?1 n

2


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