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高一数学期末复习---三角函数及解三角形


高一数学期末复习——三角函数
班级
一、 复习要点 终边与角α相同的角可写成α+k·360°(k∈Z). 1. 终边相同的角

姓名

1 1 2 2. 弧长公式:l=|α|r,扇形面积公式:S 扇形= lr= |α|r , 2 2 3.任意角的三角函数定义:设 P(x,y)是角α终边上任一点,且|PO|=r(r>0),则有 sin α= ,cos α = ,tan α= , .三角函数在各象限内的正值口诀是:全正切余 4 同角三角函数的基本关系(1)平方关系:sin _α+cos _α=1. 5. 诱导公式 6. “五点法”作图 7.正弦、余弦和正切函数的图象和性质(略) 8. 函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的图象的步骤 二、基础训练 2π 2π 1. 已知角 α(0≤α<2π)的终边过点 P sin 3 ,cos 3 ,则 α=________. 2. 若 2 弧度的圆心角所对的弧长为 4cm,则这个圆心角所夹的扇形的面积是 3. 已知 sin αtan α<0 且 cos α· tan α<0,则角 α 是第________象限角.
2 2

y r

x r

y x

(2)商数关系:

sin α =tan_α. cos α

(

)

4 已知 sin 1 、 cos 1、 tan 1 的大小关系为 (用“>”连接)。 ? ? ? ? ? ? ? 5.函数 y ? 2 sin? ? 2 x ? , x ? 0, ? 的递增区间是____________________。
?6 ?

π 6 数 y=Asin(ωx+φ)?A>0,ω>0,|φ|<2?的最小值为-2,其图象上相邻最高点与最低点的横坐标之差为

?

?

π ,且图象过点(0, 3),则其解析式是________. 2 7.函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? 的图象向右平移 ? 个单位,所得的图象正好关于 ? ? 3? ? 为 . 8. 若 f (n) ? sin n? , f (1) ? f (2) ? .......f (2016 ) = 6 9. 。

y 轴对称,则 ?

的最小正值

将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标扩大两倍,纵坐标不变;然后将整个图象向右平移 ? 个单位,若 4

所得图象恰好与函数 y ? 3 sin( x ? ? ) 的图象完全相同,则函数 y=f(x)的表达式是

6

π π 10.. 设函数 f(x)=2sin(2x+φ) 0<φ<2 与 y 轴的交点为(0, 3),则下列结论:①图象关于点 4,0 对称; ②图象关于直线 x= π π π 对称;③在 0,6 上是增函数;④f(x)图象向左平移 个单位所得函数为偶函数, 12 12

(

)

( )

[ ]

其中所有正确的结论序号是________.

1

三、例题精讲 例 1: (1)已知角 α 终边经过点 P(x,﹣ (3π﹣α)=﹣ cos( ﹣β) , sin( ) (x≠0) ,且 cosα= ﹣α)=﹣ x.求 sinα+ 的值. (2)已知 sin

cos(π+β) ,α,β∈(0,π) ,求 α,β 的值.

例 2:⑴已知 cos(x+

? )= 1 ,求 cos( 5? -x)+ cos2( ? -x)的值。 4 3 6 6
1 sin ? ? sin ? cos ? ? 3 cos 2 ?
2

⑵已知 tanα =2,求

例 3:已知 α 是第三象限角,且 f(α)= ①化简 f(α);

3π tan?π-α?cos?2π-α?sin -α+ 2 cos?-α-π?tan?-π-α?

(

).

3π 1 ②若 cos α- 2 = ,求 f(α)的值. 5

(

)

例 4:已知向量





①用“五点法”作出函数 y=f(x)在长度为一个周期的闭区间的图象.②求函数 f(x)的最小正周期和单 调增区间;③求函数 f(x)的最大值,并求出取得最大值时自变量 x 的取值集合④函数 f(x)的图象可 以由函数 y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到?

例 5:已知函数 f ( x) ? a ? 2b sin( x ? ? ) 的图象过点(0,1) ,当 x ? ?0, ? ? 时, ? 4 ? 2? ? 2

f ( x)

的最大值为 2 2 ?1



(1)求

(2)写出由 f ( x ) 经过平移 变换得到的一个奇函数 g ( x ) 的解析式,并说明 f ( x) 的解析式; ..

变化过程

例 6:已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |? ? ) 在一个周期内的图象如下图所示. (1)求函数的解析式 (2)求函数的单调递增区间; (3)设 0 ? x ? ? ,且方程 f ( x) ? m 有 两个不同的实数根,求实数 m 的取值范围.

y 2 1 O -2
5? 12

11 ? 12

x

? ? ??. 例 7: a ? 0, 函数 f ? x ? ? a cos x ? 1 ? sin x ? 1 ? sin x ,其中 (1)设 t ? 1 ? sin x ? 1 ? sin x ,求 t x? ? , ? ? 2 2? ?

的取值范围,并把

f ? x ? 表示为 t 的函数 g ? t ? ;

2)求函数

; f ? x ? 的最大值(可以用 a 表示)

四、随堂检测: 1. cos( ? ? ? ) ? sin( 3 ? ? ? ) ? 1 , ? ? (0, ? ) ,则 sin(?? ) ? cos(2? ? ? ) ? 2 2 5 2. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知单位圆 O 与 x 轴正半轴交于点 A,P(cos2,﹣sin2)为圆上一点,则 劣弧 的弧长为 .

3.关于 x 的方程 2 sin(x- ? )-m=0 在[0,π ]上有解,则 m 的取值范围为_________

3

三角函数复习作业
3

1. .已知角 ? 的终边经过点 P(? x,?6) ,且 cos ? ? ? 5 ,则 1 ? 1 ? 13 sin ? tan ? 2. 已知 x0∈(0,



? )且 6cos x0=5tan x0,则 sin x0=_________。 2
2

3. 若 tan 2 x ? sin 2 x ? 16 , 则 tan 5

x sin 2 x ?
= .

4. 已知向量 =(cosα,﹣1) , =(2,1+sinα) ,且 ? =﹣1 则

x 5. 已知函数 f(x)=3sin ,如果存在实数 x1,x2,使得对任意的实数 x,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的 2 最小值为________. 6. 已 知 函 数 f ( x) ? x2 ? 2 cosx, 对 于 2? 2? 上 的 任 意 [? , ]
3 3

x1 , x2 有 如 下 条 件 : ①x1 ? x2 ; ②x12 ? x22
填写序号)

③ x1 ? | x2 | ,其中能使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立的条件是

?? 7. 定义在区间 ? ? 0 , ? 上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点为 P,过点 P 作 PP1⊥x 轴于点 P1, ? 2?
直线 PP1 与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的长为___________。 8. 已知函数
? ?
? ? 的最大值为 ? 6?

y ? a ? b cos ? 2x ?

3 1 , 最小值为 ? . 1) 求 a、 b 的值; 2 2

(2) 求 g ( x) ? ?4a sin( bx ? ? )
3

在[0, ? ]上的最大值。

9. 已知函数 f(x)=x2﹣2cosθx+1,x∈[﹣ (x)在 x∈[﹣ = +cosθ 的两个实根,求 的值.

, ](1)当 θ=

时,求 f(x)的最大值和最小值. (2)若 f

, ]上是单调函数,且 θ∈[0,2π) ,求 θ 的取值范围. (3)若 sinα,cosα 是方程 f(x)

10. 已知函数

(1) 当 m ? 1 时, 求函数 f ? x ? 的值域; f ( x) ? cos2 x ? ? m ? 2? sin x ? m, x ? R, m 是常数。 (3)若函数 f ? x ? 在区间 ? ? ? , 5? ? 上有零点,求实数 m 的 f ? x ? ? 0 的解集;
? ? 6 6 ? ?

(2)当 m ? ? 7 时,求方程
2

取值范围。

4


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