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lh1402.com:2015学年高一数学上学期期末复习及答案 第3讲 函数的单调性与最值

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高一数学上学期期末复习 第 3 讲 函数的单调性与最值 【考点梳理】 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 设函数 f ( x) 的定义域为 A ,区间 M ? A ,如果取区间 M 中的任意两个值 x1 , x2 ,改变量 ?x ? x2 ? x1 ? 0 ,①当 ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 时,就称函数 y ? f ( x) 在区间 M 上是增函数;② 当 ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 时,就称函数 y ? f ( x) 在区间 M 上是减函数. (2)单调性、单调区间的定义 若函数 f ( x) 在区间 M 上是 2.函数的最值 前提 条件 结论 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I ,如果存在实数 M 满足 ①对于任意 x ? I ,都有 f ( x) ? M ; ③对于任意 x ? I ,都有 ②存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M ④存在 x0 ? I ,使得 ; 或 ,则称函数 f ( x) 在这一区间上具有 (严 格的)单调性,区间 M 叫做 f ( x) 的单调区间. M 为最大值 M 为最小值 【考点自测】 1.下列四个函数中,在区间 (0,1) 上是减函数的是( ) 1 1 x D. y ? 2 x ?1 2. 如果函数 f ( x) 在 [ a, b] 上是增函数, 对于任意的 x1, x2 ? [a, b](x1 ? x2 ) , 则下列结论正确的是 ( ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ① ② ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 ; ?0; x1 ? x2 x1 ? x2 ③ f (a) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (b) ; ④ ?0. f ( x1 ) ? f ( x2 ) A. y ? log2 x B. y ? x C. y ? ?( ) A.①②③④ 3.函数 y ? B.①②④ C.①④ D.①③④ 1 3 1 3 ? 2x ? x2 A. (??,1) B. (1,??) 2 的单调递增区间是( ) C. (-1,1) D. (1,3) a 在区间 [1,2] 上都是减函数,则 a 的取值范围是( ) x ?1 A. (?1,0) ? (0,1) B. (?1,0) ? (0,1] C. (0,1) D. (0,1] 5.若函数 f ( x) ?| 2 x ? a | 的单调递增区间是 [3,??) ,则 a = . 2x 6.函数 f ( x ) ? 在 [1,2] 上的最大值和最小值分别是 . x ?1 ?a, a ? b, 7.对 a, b ? R ,记 max | a, b |? ? 函数 f ( x) ? max | | x ? 1 |, | x ? 2 | | ( x ? R) 的最小值是 ?b, a ? b, 4.若 f ( x) ? ? x ? 2ax 与 g ( x ) ? . 8.设 a ? 1 ,函数 f ( x) ? loga x 在区间 [a,2a] 上的最大值与最小值之差为 . 9.函数 y ? 1 ,则 a = 2 x ? x( x ? 0) 的最大值为 . 1 ?e ? x ? 2, x ? 0 10.已知函数 f ( x) ? ? , ( a 是常数且 a ? 0 ) ,对于下列命题: ?2ax ? 1, x ? 0 ①函数 f ( x) 的最小值是-1;②函数 f ( x) 在 R 上是单调函数; 1 ③若 f ( x) ? 0 在 [ ,?? ) 上恒成立,则 a 的取值范围是 (1,??) ; 2 x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? ④对任意的 x1 ? 0, x2 ? 0 且 x1 ? x2 ,恒有 f ( 1 . 2 2 其中正确命题的序号是 11.判断函数 f ( x) ? x ? (写出所有正确命题的序号). a (a ? 0) 在 (0,??) 上的单调性. x 2 第 3 讲 函数的单调性与最值答案 【考点梳理】 1. (2)增函数; 减 函数 2.③ f ( x) ? M ; ④ f ( x0 ) ? M 【考点自测】 1.D 7. 2. A 8. 4 3. D 9. 4. D 10. ①③④ 5. -6 6. 4 ;1 3 3 2 1 4 11. f ( x) 在 (0, a ) 上单减,在 ( a ,??) 上单增. 证明: ?x1 ? x2 ? (0, a ) ?x ? x2 ? x1 ? 0 a a ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? ? x1 ? x2 x1 1 1 x ?x ? x2 ? x1 ? a( ? ) ? x2 ? x1 ? a ? 2 1 x1 x2 x1 x2 a x x ?a ? ( x2 ? x1 )(1 ? ) ? ( x2 ? x1 ) 1 2 x1 x2 x1 x2 ∴ 0 ? x2 x1 ? a 又 x2 ? x1 ? 0 ∴ f ( x) 在 (0, a ) 上单减 ∵ 0 ? x1 ? x2 ? a ∴ ?y ? 0 同理可证 f ( x) 在 ( a ,??) 上单增. 易错题: 1.函数 y ? log1 ( x 2 ? 3x ? 2) 的单调增区间为 2 . . 2.函数 y ?| x ? 3x ? 2 | 的单调增区间为 2 3.函数 f ( x) 是区间 [?1,4] 上的减函数,若 f ( x ? 1) ? f (2 x ? 3) ,则实数 x 的取值范围是 . 4.函数 f ( x) ? ? x ? (a ? a) x ? 1 在区间 (1,??) 上单调递减,则实数 a 的取值范 围是 2 2 . 5 .已知函数 y ? f ( x), ( f ( x) ? 0) 的定义域为 R 且满足

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