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辽宁省葫芦岛市世纪高中2015-2016学年高二上学期第三次教学质量检测数学(理)试卷


世纪高中 2015-2016 学年第一学期第三次质量检测试题
高二数学(理科)试卷
注意事项: 本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分.满分 150;考试时间:120 分钟.

第Ⅰ卷(共 60 分)
一、 选择题:本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, ) 只有一项是符合题目要求的. 2 2 1.“如果x、y∈R,且x +y =0,则x、y全为0”的否命题是( 2 2 A.若x、y∈R且x +y ≠0,则x、y全不为0 2 2 B.若x、y∈R且x +y ≠0,则x、y不全为0 2 2 C.若x、y∈R且x、y全为0,则x +y =0 2 2 D.若x、y∈R且x、y不全为0,则x +y ≠0 2.下列各组向量中能作为一组基底的是( ) A. a ? (?2,3,5), b ? (16,24,40)

B. c ? (2,3,0), d ? (0,0,0)

C. e ? (1,0,0), f ? ( ?3,0,0) D. g ? (1,2,?2), h ? (?2,?4,4) 3.下列四个命题中真命题的个数是( ) ①“ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 ②命题“ ?x ? R , sin x ? 1 ”的否定是“ ?x ? R , sin x ? 1 ” ③“若 am 2 ? bm 2 ,则 a ? b ”的逆命题为真命题 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

④命题 p : ?x ? ?1, ?? ? , lg x ? 0 ,命题 q : ?x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 p ? q 为真命题

4.如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数,从 1, 2,3, 4,5 中任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( ) A.

3 10

B.

1 5

C.

1 10

D.

1 20

5. 执行如图所示的程序框图, 若输入 n 的值为 8, 则输出 S 的值为( ) A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 → 6.对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C,且有OP= → → → xOA+yOB+zOC(x,y,z∈R),则 x=2,y=-3,z=2 是 P, A,B,C 四点共面的( ) A.必要不充分条件 C.充要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件 )

7.在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=AA1,则 AC1 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为(

1

A.

2 2

B.

15 5

C.

6 4

D.

6 3

8.设椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , P 是 C 上的点, a2 b2 ) PF2 ? F 1F2 , ?PF1 F2 ? 30 ? ,则 C 的离心率为(
A. 3 6 1 B. 3 1 C. 2 D. 3 3 )

9.抛物线 y 2 ? 4 x的焦点为F , 准线为 l , l 与 x 轴相交于点 E,过 F 且倾斜角等于 60°的直 线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A, AB⊥ l , 垂足为 B, 则四边形 ABEF 的面积等于 ( A. 3 3
2

B. 4 3
2

C. 6 3

D. 8 3

x y ? ? 1 的左、右顶点分别为 A1 和 A2 ,垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆 9 4 的两个交点分别为 P 1和P 2 ,其中 P 1 的纵坐标为正数,则直线 A 1P 1 与 A2 P 2 的交点 M 的轨迹
10.已知椭圆 方程 A . (
2

) B.

x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1 D. ? ?1 9 4 9 4 2 2 x y 11.在区间 [1, 5] 和 [2, 4] 上分别取一个数, 记为 a , b .则方程 2 ? 2 ? 1 表示焦点在 x 轴上 a b 3 且离心率小于 的椭圆的概率为( ) 2 15 17 31 1 A. B. C. D. 32 32 32 2 12. 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,动点 M 在线段 A1 B1 上, E、F 分别为 AB, BC 的中
C. 点。设异面直线 EM 与 AF 所成的角为 ? ,则 cos ? 的最大值为( A. ) D.1

x y2 ? ?1 9 4

y 2 x2 ? ?1 9 4

3 5

B.

2 5

C.

4 5

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分
2 2

x y 5 13.双曲线 - =1 的离心率为 ,则 m 等于________. 16 m 4
14.在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, B1C ? BC1 ? O ,

D1

C1

A1

B1
O
D

若 AO ? x AB ? y AD ? z AA1 ,则 x ? y ? z 等于 A B 15. 设 F 为抛物线 C: y2=3x 的焦点, 过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A, B 两点, 则|AB| = . 16.已知 F 是双曲线 C : x ?
2

?

?

?

?

C

y2 ? 1 的右焦点,P 是 C 左支上一点, A 0, 6 6 8


?

?

,当 ?APF

周长最小时,该三角形的面积为

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况, 随机访问 50 名职工, 根据这 50 名职工 对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如下图所示) ,其中样本数据分组区间为

[40,50],[50, 60], ? ? ,[80,90],[90,100] ? [40,50],[50, 60], ? ? ,[80,90],[90,100]
(1)求频率分布图中 a 的值; (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率; (3)从评分在 [40, 60] 的受访职工中,随机抽取 2 人,求此 2 人评分都在 [40,50] 的概率.

18. (本小题满 分) 设 P: 实数 足

分 12 x 满

x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 ,其中 a ? 0 ;q:实数 x 满足 x 2 ? x ? 6 ? 0 或 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 。
若 ?p 是 ?q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分) 2 AB. 2

如图所示,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点,AA1=AC=CB= (1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)求二面角 D-A1C-E 的正弦值.

20.(本小题满分 12 分)

3

x2 y2 2 如图,椭圆 E : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 经过点 A(0, ?1) ,且离心率为 . a b 2
(1)求椭圆 E 的方程; (2)经过点 (1,1) , 且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同两点 P, Q(均异于点 A ) , 证明: 直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2.

21. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 E-ABCD 中,平面 EAD⊥ABCD, CD//AB,BC⊥CD, EA⊥ED.且 AB=4,BC =CD =EA=ED=2 (1)求证:BD⊥平面 ADE; (2)求直线 BE 和平面 CDE 所成角的正弦值; (3)在线段 CE 上是否存在一点 F,使得平面 BDF 上平面 CDE?如果存在点 F,请指出点 F 的位置;如果不存在,请说明理由.

22. (本小题满分 12 分) 以椭圆 C :

ab y 2 x2 为半径的圆称为该椭圆的 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的中心 O 为圆心,以 2 2 a b
3 1 ,且过点 ( , 3) 。 2 2

“伴随” ,已知椭圆 C 的离心率为

(1)求椭圆 C 及其“伴随”的方程; (2)过点 P (0, m) 作“伴随”的切线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点,记 ?AOB ( O 为坐标原点) 的面积为 S ?AOB ,求 S ?AOB 的最大值。
4

高二数学(理科)答案 一、选择题:1—12 BADCB 二、填空题:13. 9 14. 2

BCDCA AB 15. 12 16.

12 6

三、解答题: 17.解: (Ⅰ)因为 (0.004 ? a ? 0.0018 ? 0.022 ? 2 ? 0.028) ? 10 ? 1 ,所以 a ? 0.006 ( Ⅱ ) 由 所 给 频 率 分 布 直 方 图 知 , 50 名 受 访 职 工 评 分 不 低 于 80 的 频 率 为 (0.022 ? 0.018) ? 10 ? 0.4 , 所以该企业职工对该部门评分不低于 80 的概率的估计值为 0.4 . (Ⅲ)受访职工评分在[50,60)的有:50×0.006×10=3(人) ,即为 A1 , A2 , A3 ; 受访职工评分在[40,50)的有: 50×0.004×40=2(人) ,即为 B1 , B2 . 从 这 5 名 受 访 职 工 中 随 机 抽 取 2 人 , 所 有 可 能 的 结 果 共 有 10 种 , 它 们 是

?A1 , A2 ?, ?A1 , A3 ?, ?A1 , B1 ?, ?A1 , B2 ?, ?A2 , A31 ?, ?A2 , B1 ?, ?A2 , B2 ?, ?A3 , B1 ?, ?A3 , B2 ?, ?B1 , B2 ?, 又 因 为 所 抽 取
1 . 10

2 人的评分都在

[40,50)的结果有 1 种,即 ?B1 , B2 ? ,故所求的概率为 p ?

18.解:由 x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 得 3a ? x ? a 由 x 2 ? x ? 6 ? 0 得 ? 2 ? x ? 3 ;由 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 得 x ? 2 或 x ? ?4 所以 q: x ? ?4 或 x ? ?2 由 ?p 是 ?q 的必要不充分条件 可得 p 是 q 的充分不必要条件. 所以 a ? ?4 或 ?

?3a ? ?2 2 所以 a 的取值范围为 {a| ? ? a ? 0 或 a ? ?4 }. 3 ?a ? 0

19. 解: (1)连接 AC1,交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 的中点. 又 D 是 AB 的中点,连接 DF,则 BC1∥DF. 因为 DF?平面 A1CD,BC1?平面 A1CD,所以 BC1∥平面 A1CD. (2)由 AC=CB= 2 AB,得 AC⊥BC. 2

→ 以 C 为坐标原点, CA的方向为 x 轴正方向, 建立如图所示的空 间直角坐标系 C-xyz. → → → 设 CA=2, 则 D(1,1,0), E(0,2,1), A1(2,0,2), CD=(1,1,0), CE=(0,2,1), CA1=(2,0,2). 设 n=(x1,y1,z1)是平面 A1CD 的法向量,

?n·→ CD=0, 则? → ?n·CA =0,
1

? ?x1+y1=0, 即? ?2x1+2z1=0. ?

可取 n=(1,-1,-1).

5

?m·→ CE=0, 同理,设 m 是平面 A CE 的法向量,则? → ?m·CA =0.
1 1

可取 m=(2,1,-2).

n·m 3 6 从而 cos〈n,m〉= = ,故 sin〈n,m〉= . |n||m| 3 3
即二面角 D-A1C-E 的正弦值为 20. 6 . 3

(II)由题设知,直线 PQ 的方程为 y ? k ( x ? 1) ? 1( k ? 2) ,代入

x2 ? y 2 ? 1 ,得 2

(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k ( k ? 1) x ? 2k ( k ? 2) ? 0 ,
由已知 ? ? 0 ,设 P ? x1 y1 ? , Q ? x2 y2 ? , x1 x2 ? 0

4k ( k ? 1) 2k ( k ? 2) , , x1 x2 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 从而直线 AP 与 AQ 的斜率之和 y ? 1 y2 ? 1 kx1 ? 2 ? k kx2 ? 2 ? k k AP ? k AQ ? 1 ? ? ? x1 x2 x1 x1
则 x1 ? x2 ?

?1 1? x ?x ? 2k ? (2 ? k ) ? ? ? ? 2k ? (2 ? k ) 1 2 x1 x2 ? x1 x2 ? 4k (k ? 1) ? 2k ? ( 2 ? k ) ? 2k ? 2(k ? 1) ? 2 . 2k (k ? 2)

21.解: (1)由BC ? CD, BC ? CD ? 2, 可得BD ? 2 2,由EA ? ED, 且EA ? ED ? 2, 可得AD ? 2 2 又 AB ? 4, 所以BD ? AD 又平面 EAD ? 平面 ABCD ,平面 ADE ? 平面ABCD ? AD, BD ? 平面ABCD, 所以BD ? 平面ADE ..................4 分 z (2)如图建立空间直角坐标系 D ? xyz

D(0,0,0), B(0, 2 2,0), C ( ? 2, 2,0), E ( 2,0, 2) ??? ? ???? ???? BE ? ( 2, ?2 2, 2), DE ? ( 2,0, 2), DC ? ( ? 2, 2,0) ? 设平面 CDE 的法向量 n ? ( x, y, z )
? ? ? 2x ? 2z ? 0 ? n ? (1,1, ?1) ? ? ?? 2 x ? 2 y ? 0 设直线 BE 与平面 CDE 所成的角为 ? ,得 ??? ? ? ??? ? ? BE ? n 2 ? ? ? sin ? ? cos ? BE , n ? ? ???? 3 BE ? n

E D C

A x

B y

6

2 即直线 BE 与平面 CDE 所成的角的正弦值为 .............8 分 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (3)设 CF ? ? CE , ? ? ? 0,1? , 得DC ? ( ? 2, 2,0), CE ? (2 2, ? 2, 2), DB ? (0, 2 2,0) ???? ???? ??? ? ???? ??? ? 所以 DF ? DC ? CF ? DC ? ? CE ? 2(2? ? 1, ?? ? 1, ? ) ?? 设平面 BDF 的法向量 m ? ( x, y, z )

?? ? 1 ? 2? ?2 2 y ? 0 ...............10 分 ? m ? (1,0, ) ? ? ? ?(2? ? 1) x ? (?? ? 1) y ? ? z ? 0 ? 因为平面 CDE 的法向量 n ? (1,1, ?1) 且平面 BDF ? 平面CDE ?? ? 1 所以 m ? n ? 0 所以 ? ? ? ? 0,1? 3 故在线段 CE 上存在一点 F (靠近 C 点处的三等分点处), 使得平面 BDF ? 平面CDE. ..............12 分

22.

7

8


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