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2015-2016学年高中数学 2.2.2 等差数列的性质课时训练 新人教A版必修5


课时训练 8
一、等差数列性质的应用 1.在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则 a2+a10=( A.12 答案:B 2.等差数列{an}中,若 a2+a4 024=4,则 a2 013=( A.2 答案:A 解析:2a2 013=a2+a4 024=4,∴a2 013=2. B.4 C.6 B.16 C.20

等差数列的性质

) D.24 ) D.-2

3.在等差数列{an}中,a3+3a8+a13=120,则 a3+a13-a8 等于( A.24 答案:A B.22 C.20

) D.-8

解析:根据等差数列的性质可知 a3+a13=2a8,所以已知等式可变为 2a8+3a8=120,解得 a8=24,所以

a3+a13-a8=2a8-a8=a8=24.
4.如果等差数列{an}中,a1=2,a3=6,则数列{2an-3}是公差为 答案:4 解析:设数列{an}的公差为 d,则 a3-a1=2d=4, 的等差数列.

∴d=2.∴数列{2an-3}的公差为 4.
5.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则 a6= 答案:13 解析:设等差数列{an}的公差为 d.

.

∵a5=a2+6,∴a5-a2=6,即 3d=6,d=2. ∴a6=a3+3d=7+3×2=13.
6.(2015 河南郑州高二期末,14)若 2,a,b,c,9 成等差数列,则 c-a= 答案: 解析:由等差数列的性质可得 2b=2+9,解得 b=. 又可得 2a=2+b=2+,解得 a=, 同理可得 2c=9+,解得 c=, 故 c-a=. 二、等差数列的综合应用 7.已知等差数列{an}中,a7=,则 tan(a6+a7+a8)等于( A.答案:C 解析:在等差数列中,a6+a7+a8=3a7=, B.C.-1 ) D.1

.

∴tan(a6+a7+a8)=tan=-1.
8.已知数列{an}是等差数列,a4=15,a7=27,则过点 P(3,a3),Q(5,a5)的直线斜率为( )

1

A.4 答案:A

B.

C.-4

D.-

解析:由数列{an}是等差数列,知 an 是关于 n 的一次函数,其图象是一条直线上的等间隔的点(n,an), 因此过点 P(3,a3),Q(5,a5)的直线斜率即过点(4,15),(7,27)的直线斜率,所以直线的斜率 k==4. 9.在等差数列{an}中,若 a4+a6+a8+a10+a12=90,则 a10-a14 的值为( A.12 答案:A 解析:由等差数列的性质及 a4+a6+a8+a10+a12=90 得 5a8=90,即 a1+7d=18,∴a10-a14=a1+9d(a1+13d)=(a1+7d)=×18=12,故选 A. 10.数列{an}满足 a1=1,an+1=(n +n-λ )an(n=1,2,?),λ 是常数. (1)当 a2=-1 时,求 λ 与 a3 的值; (2)数列{an}是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,请说明理由. 解:(1)由条件得 a2=(2-λ )a1,又 a1=1,a2=-1,所以 λ =3,从而 a3=(2 +2-3)a2=-3. (2)假设数列{an}是等差数列,由 a1=1,an+1=(n +n-λ )an 得 a2=2-λ ,
2 2 2

)

B.14

C.16

D.18

a3=(6-λ )(2-λ ), a4=(12-λ )(6-λ )(2-λ ).
由假设知 2a2=a1+a3, 即 2(2-λ )=1+(6-λ )(2-λ ),解得 λ =3, 于是 a2=-1,a3=-3,a4=-27,所以 a2-a1=-2,而 a4-a3=-24,与数列{an}是等差数列矛盾,故数列{an} 不可能是等差数列. (建议用时:30 分钟) 1.已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则 a5 等于( A.4 答案:C 解析:由等差数列性质得 a2+a8=2a5=12,所以 a5=6. 2.在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则 3a9-a11 的值为( A.6 答案:D 解析:∵a1+a15=2a8,∴a1+3a8+a15=5a8. B.12 C.24 ) D.48 B.5 C.6 ) D.7

∴5a8=120,a8=24.
而 3a9-a11=3(a8+d)-(a8+3d)=2a8=48.

∴选 D.
3.若数列{an}为等差数列,ap=q,aq=p(p≠q),则 ap+q 为( A.p+q 答案:B 解析:公差 d==-1,∴ap+q=ap+(p+q-p)d=q+q×(-1)=0. B.0 C.-(p+q) D. )

2

4.由公差 d≠0 的等差数列 a1,a2,?,an,?组成一个数列 a1+a3,a2+a4,a3+a5,?,下列说法正确的是 ( ) A.该新数列不是等差数列 B.是公差为 d 的等差数列 C.是公差为 2d 的等差数列 D.是公差为 3d 的等差数列 答案:C 解析:∵(an+1+an+3)-(an+an+2)=(an+1-an)+(an+3-an+2)=2d,

∴数列 a1+a3,a2+a4,a3+a5,?是公差为 2d 的等差数列.
5.已知{an}为等差数列,若 a1+a5+a9=8π ,则 cos(a3+a7)的值为( A. 答案:D 解析:∵{an}为等差数列,a1+a5+a9=8π , B.C. D.)

∴a5=π ,cos(a3+a7)=cos(2a5)=cos π =-.
6.等差数列{an}中,已知 a3=10,a8=-20,则公差 d= 答案:-6 解析:由题知 d==-6. 7.在等差数列{an}中,已知 a8+m=10,a8-m=6,其中 m∈N ,且 1≤m≤7,则 a8= 答案:8 解析:∵a8+m+a8-m=2a8,∴a8=8. 8.如果有穷数列 a1,a2,?,am(m 为正整数)满足条件:a1=am,a2=am-1,?,am=a1,则称其为“对称”数列. 例如数列 1,2,5,2,1 与数列 8,4,2,4,8 都是“对称”数列.已知在 21 项的“对称”数列{cn} 中,c11,c12,?,c21 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,c2= 答案:19 解析:因为 c11,c12,?,c21 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,又{cn}为 21 项的对称数列,所以
*

.

.

.

c2=c20=c11+9d=1+9×2=19.
9.已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式. 解:∵a1+a7=2a4,∴a1+a4+a7=3a4=15.∴a4=5. 又∵a2a4a6=45,∴a2a6=9. 即(a4-2d)(a4+2d)=9, 即(5-2d)(5+2d)=9,解得 d=±2. 若 d=2,an=a4+(n-4)d=2n-3; 若 d=-2,an=a4+(n-4)d=13-2n. 10.已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求 a75. 解:解法一:因为{an}为等差数列,

∴a15,a30,a45,a60,a75 也成等差数列,设其公差为 d,a15 为首项,则 a60 为其第 4 项,∴a60=a15+3d,得 d=4. ∴a75=a60+d=20+4=24.

3

解法二:设{an}的公差为 d,因为 a15=a1+14d,a60=a1+59d,

∴解得
故 a75=a1+74d=+74×=24.

4


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