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(第3课时)直线的方程(1)




题:

7.2 直线的方程(一)

教学目的: 1. 掌握由一个点和斜率导出直线方程的方法,掌握直线方程的点斜式、斜 截式,并能根据条件熟练地求出满足已知条件的直线方程 2.通过让学生经历直线方程的发现过程,以提高学生分析、比较、概括、 化归的数学能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路, 培养学生综 合运用知识解决问题的能力 3.在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系,体会数、形的统一美, 激发学生学习数学的兴趣,对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育, 培养学生勇于探索、勇于创新的精神 教学重点:直线方程的点斜式的推导及运用 教学难点:直线与方程对应关系的说明以及运用各种形式的直线方程时,应考 虑使用范围并进行分类讨论 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 从教材整体来看,直线方程既是初中二元一次方程知识的延续(数与形相 互转化) ,又与一次函数的知识相吻合,并且通过集合与对应的数学思想,构建 了平面上的直线与 x, y 的一次方程的一一对应关系.它与圆的方程同属解析几
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何学的基础知识,不但是进一步学习圆锥曲线以及曲线方程的基础,也是学习 导数、微分、积分等的基础,在解决许多实际问题中有着广泛的应用。用图表 示如下:
直线方程的特殊形式 直线方程的一般形式

二元一次方程

直线的方程

曲线的方程

函数、复数、导数、微分、积分等

从本章内容看,直线方程是建立在“直线的倾斜角和斜率”的知识上,但 直线的方程是研究两条直线的位置关系的基础, 同时也是讨论圆的方程的基础, 为进一步学习“曲线与方程”作铺垫,故直线的方程是本章的重点内容之一. 另外,通过本节的学习,不仅有利于培养学生分析、讨论问题能力,而且 有利于学生强化渗透集合与对应、数形结合的数学思想方法,初步掌握解析几 何的基本思想.因此,本节知识的教学,无论是在学习数学知识,不是培养学生 的能力,都显得地位显要,作用非同寻常
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本小节所介绍的直线方程的几种形式中,点斜式、斜截式给出了根据常见 的条件求直线方程的方法和途径,在求直线方程中,直线方程的点斜式是基本 的,直线方程的截距式是由点斜式导出. 由于利用集合对应的数学思想,构建平面上直线与关于 x, y 的二元一次方 程的一一对应,这需要从正反两方面阐述,且这里的二元一次方程都是字母系 数,需要结合分类讨论的数学思想加以阐述,因而,这段内容比较抽象,学生 难于理解.另外,直线方程的四种特殊形式也有不完备之处,它们都有一定的应 用范围. 众所周知, “数学教学就是数学活动的教学” ,也就是说,应在教学中充分 安排观察、回忆、讨论、尝试和发言,使之参与到数学知识的实验、发现过程 中去,体验知识的形成过程 教学过程: 一、复习引入: 1.直线方程的概念:以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点,反 过来,这条直线上的点的坐标都是这个方程的解,这时,这个方程就叫做这条 直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线. 2.直线的倾斜角与斜率:在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直 线,如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记 为 ? ,那么 ? 就叫做直线的倾斜角.当直线和 x 轴平行或重合时,我们规定直 线的倾斜角为 0°.
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倾斜角的取值范围是 0 ? ? ? 180 . 倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜
0 0

角的正切叫做这条直线的斜率,常用 k 表示. 3.概念辨析:①当直线和 x 轴平行或重合时,规定直线的倾斜角为 0°; ②直线倾斜角的取值范围是 0 ? ? ? 180 ; ③倾斜角是 90°的直线没有斜率.
0 0

4.斜率公式:经过两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 ) 的直线的斜率公式: 1

k?

y 2 ? y1 x2 ? x1

( x1 ? x2 )

5.斜率公式的形式特点及适用范围: ①斜率公式与两点的顺序无关,即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后 次序可同时颠倒; ②斜率公式表明,直线对于 x 轴的倾斜程度,可以通过直线上任意两点坐 标表示,而不需求出直线的倾斜角; ③斜率公式是研究直线方程各种形式的基础,必须熟记,并且会灵活运用; ④当 x1 ? x2 , y1 ? y 2 时,直线的倾斜角 ? = 90 ? ,没有斜率.

6.确定一条直线需要具备几个独立条件:需要知道直线经过两个已知点; 需 要知道直线经过一个已知点及方向(即斜率)等等 二、讲解新课: 1. 直线的点斜式方程--已知直线的斜率及直线经过一已知点, 求直线的方程
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问题一:已知直线 l 经过点 P ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ,如何求直线的方程? 1 此问题难度较小,可由学生自行推导,得出结论: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 请同学们集思广益,给这个方程取一个贴切、易记的名字 根据直线的几 何特征,确定命名为直线方程的点斜式. 在学生推导直线方程的点斜式时,教师可帮助启发学生作如下分析: 建立点斜式的主要依据是,经过直线上一个定点与这条直线上任意一点的 直线是惟一的,其斜率都等于 k .
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在得出方程

y ? y1 ? k 后,要把它变成方程 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) .因为前者 x ? x1

表示的直线上缺少一个点 P ,而后者才是整条直线的方程. 1 直线的斜率 k ? 0 时,直线方程为 y ? y1 ;当直线的斜率 k 不存在时,不 能用点斜式求它的方程,这时的直线方程为 x ? x1 . 问题二:平面上的所有直线是否都可以用点斜式表示? 答:不能,因为斜率可能不存在. 点斜式方程推导对学生来说是容易接受的,因此,本环节通过问题的讨论, 力求使学生对直线方程的点斜式有一个全方位的认识,以建立起完整、准确的 知识结构。同时,通过讨论,使学生切实掌握点斜式并不能把平面上所有的直 线都表示在内,它受到斜率存在性的影响,因此,在具体运用时应根据情况分 类讨论,避免遗漏. 2.直线的斜截式方程 问题三:已知直线 l 经过点 P(0,b) ,并且它的斜率为 k ,求直线 l 的方程. 启发学生用直线方程的点斜式自行推导,得出结论: y ? kx ? b 再次请同学们集思广益,给这个方程取一个贴切、易记的名字,根据已知 直线的几何特征,确定为斜截式 深化理解: ⑴斜截式与点斜式存在什么关系?斜截式是点斜式的特殊情况,某些情况 下用斜截式比用点斜式更方便.
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⑵斜截式 y ? kx ? b 在形式上与一次函数的表达式一样,它们之间有什么 差别?只有当 k ? 0 时,斜截式方程才是一次函数的表达式. ⑶斜截式 y ? kx ? b 中, k , b 的几何意义是什么? 三、讲解范例: 例 1 一条直线经过点 P (?2,3) ,倾斜角 ? ? 45 ,求这条直线的方程. 1
0

(分析与解答详见教材) 例 2 写出下列直线的斜截式方程,并画出图形: ⑴斜率是

3 ,在 y 轴上的距截是-2; 2
0
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⑵斜角是 135 ,在 y 轴上的距截是 3

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四、课堂练习: 1.下面四个直线方程中,可以看作是直线的斜截式方程的是( ) A. x =3 B. y =-5 C.2 y = x D. x =4 y -1 2.直线 l 过(a,b)、(b,a)两点,其中 a 与 b 不相等,则( A.l 与 x 轴垂直 C. l 过一、二、三象限 B. l 与 y 轴垂直 D. l 的倾斜角为 )

3 π 4
)

3.若 ac>0 且 bc<0,直线 ax ? by ? c ? 0 不通过(

A.第三象限 B.第一象限 C.第四象限 D.第二象限 4.直线的方程是指( ) A.直线上点的坐标都是方程的解 B.以方程的解为坐标的点都在直线上 C.直线上点的坐标都是方程的解,且以方程的解为坐标的点都在直线上 D.以上都不对
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5.若点 A(x0,y0)在直线 ax ? by ? c ? 0 上,则

,若点 A 不在直线

ax ? by ? c ? 0 上,则

.

6.经过点(2,1)且倾斜角的余弦值是

5 的直线方程是 13

.

7.已知 P(3,m)在过 M(2,-1)和 N(-3,4)的直线上,则 m 的值是

8.某房地产公司要在荒地 ABCDE(如图所示)上划出一块 长方形地面(不改变方位)建造一幢 8 层楼公寓,问如何设计才 能使公寓占地面积最大?并求出最大面积(精确到 1m2). 9.已知点 P(x1,y1)在直线 l: ax ? by ? c ? 0 ( a >0)的 左方,求证: ax1 ? by2 ? c ? 0 10.若光线从点 A(-3,5)射到 x 轴上被 x 轴反射后反射到点 B(3,9),求 此光线所经过的路程的长. 11.已知直线 l 在 y 轴上的截距为-3,且它与两坐标轴围成的三角形的面积 为 6,求直线 l 的方程. 12.已知直线 l 与直线 3x+4 y -7=0 的倾斜角相等,并且与两坐标轴围成的 三角形的面积为 24,求直线 l 的方程. 参考答案:1.B 2.D 3.C 4.C 5.ax0+by0+c=0;ax0+by0+c≠0 6.12x-5 y -19=0 7.-2 8.(5, 9.证明略. 10.2 58 11. y =±
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50 ) 6017m2 3 3 x-3 4

12.3x+4 y ±24=0 五、小结 : 直线名称 点斜式 斜截式

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已知条件

直线方程

使用范围

示意图

P ( x1 , y1 ), k 1
k, b

y ? y1 ? k ( x ? x1 )
y ? kx ? b

k存在
k存在

设问:已知直线 l 经过点 A(3,-5) ,B(-2,5) ,如何求直线 l 的方程. (此问题先让学生思考,再提问.) 设计意图:小结采用学生看课本及填表的形式,目的是为了让学生更加重 视教科书的作用,并通过填表对比两种形式的直线方程的异同,尤其是它们适 用范围要引起注意。另外,应用点斜式求通过两点的直线方程,主要是达到承 前启后的作用,以引起学生“且听下回分解”的悬念 六、课后作业: 1. 课本作业:
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2.思考题: (1)已知直线 l 的方程为 (2m 2 ? m ? 3) x ? (m 2 ? m) y ? 4m ? 1 ①当 m=________时,直线 l 的倾斜角为 45 ; ②当 m=________时,直线 l 在 x 轴的截距为 1; ③当 m=________时,直线 l 在 y 轴的截距为 ? ④当 m=________时,直线 l 与 x 轴平行; ⑤当 m=________时,直线 l 与 y 轴平行; (2)设直线 l1 ,l 2 关于 y 轴对称, 已知 l1 的方程为 y ? ?3x ? 1 ,求直线 l 2 的方程. (3)一直线 l 过点 A(2,1) ,其倾斜角是直线 x-3y+4=0 的倾斜角的一半,求直 线 l 的方程. 3.研究性题:过点 M(0,1)直线 l ,使它被已知直线 l1 : x ? 3 y ? 10 ? 0,
0

3 ; 2

l 2 : 2 x ? y ? 8 ? 0 所截得的线段恰好被 M 所平分,求直线 l 的方程
七、板书设计(略) 八、课后记:

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本节课的教学设计主要考虑了如下几个方面: 在教法上力求通过创设问题情境,层层递进,揭示知识的形成发展过程, 不仅让学生知其然,更应让学生知其所以然,帮助学生把研究的对象从复杂的 背景中分离出来,讲清知识的来龙去脉,突出知识的本质特征,从而使学生对 所学的知识理解得更加深刻. 全课以化归思想为主线,达到化未知为已知,化难为易,化几何问题为代 数问题的目的。通过数形结合思想的应用,帮助学生变抽象为具体,从而体现 解析几何的基本思想. 本设计力求符合“特殊――一般――特殊”的认知规律,即由特殊导出点 斜式,再应用点斜式推导出特殊的斜截式. 在教学过程中按照“教、学、研同步协调原则” ,要充分发挥教师的主导作 用和学生的主体地位。例如借助提问,给学生营造一个思维情境,给每个学生 提供思考、创造、表现及获得成功的机会,使学生在民主开放、和谐愉悦的教 学氛围中获取新知识,提高能力,发展自找
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