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高中数学课件_______椭圆第一课_图文

数学实验
[1]取一条细绳, [2]把它的两端固定在板上 的两点F1、F2 [3]用铅笔尖(M)把细绳 拉紧,在板上慢慢移动观察 画出的图形

观察做图过程:
[1]绳长应当大于F1、F2之间 的距离。

[2]由于绳长固定,所以 M 到两个定点的距离和也固定。

M F1 F2

1、椭圆的定义
平面上到两个定点F1、F2的距离的和(2a)等于 常数(大于|F1F2 |)的点的轨迹叫椭圆。 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 两焦点之间的距离叫做焦距(2C)。
M

F1

F2

P

说明
1、平面上这一个条件不可少

F1

F2

2、椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数;记为2a; 两焦点之间的距离称为焦距,记为2c,即:F1F2=2c. 3、2a> F1F2 注意:若2a=F1F2轨迹是什么呢? 若2a<F1F2轨迹是什么呢?

探究 设定点F (-3,0),F (3,0),动点P(x,y) 满足条件|PF1|+|PF2|=m(m>0), 当m分别取下列各值时,动点P的轨 P 迹是什么?
1 2

(1)m=6.1 (2)m=6 (3)m=5.9

F1

F2

F1 F2 轨迹不存在

1、椭圆的定义
平面上到两个定点F1、F2的距离的和(2a)等于常 数(大于|F1F2 |)的点的轨迹叫椭圆。 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 两焦点之间的距离叫做焦距(2C)。 M

椭圆 小 结

(2a>2c)

F1

F2

线段

(2a=2c)

F1

F2

不存在 (2a<2c)

建立直角坐标系xoy,使x 轴经过点 F1 , F2 ,并且点o与线段

?? c,0?, ?c,0? F1 F2 ? 2C , 那么F1 , F2的坐标分别是
由椭圆的定义

F1 F2的中点重合 ,设M(x,y)是椭圆上任意一点

y

P ? ?M | MF1 ? MF2 ? 2a?
? MF1 ? ?

M(x,y)
F2
x

?x ? c?

2

? y2

MF2 ?

?x ? c?

2

? y2

F1 o

? x ? c ?2 ? y 2 ? ? x ? c ?2 ? y 2

? c2 x2 ? a2 y2 ? a2 a2 ? c2 由椭圆的定义知 2a>2c 即 a>c 代入上式得 ?a2 ? c2 ? 0 令a 2 ? c 2 ? b 2 ?b ? 0?
2

?a

?

? 2a

?

?

得b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2

x2 y2 得 2 ? 2 ?1 a b

2.椭圆的标准方程 y
F1 O F2

y
F1

x

O F2

x

方 程




y2 x2 ? 2 ?1 2 a b (1)方程的左边是两项平方和的形式,等号的右边是1; (2)在椭圆两种标准方程中,总有a>b>0; (3)焦点在大分母变量所对应的那个轴上; (4)a、b、c都有特定的几何意义,
a—椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半;c—半焦距.
有关系式 a 2 ? b 2 ? c 2成立。

x2 y2 ? ?1 2 2 a b

填空:

x y 3 2 ? ? 1中, a=___,b=___, (1) 在椭圆 9 4
x 轴上,焦点坐标是( ? 5 ,0), ( 5 ,0) 焦点位于____ __________.
4 b=___, (2) 在椭圆 16x ? 7 y ? 112 中,a=___, 7
2 2

2

2

y 轴上,焦点坐标是__________. (0,?3), (0,3) 焦点位于____

x y ? ?1 7 16

2

2

求适合下列条件的椭圆的标准方程:

1)a=4,b=1,焦点在x轴上;

2)a=4,c=1,焦点在y轴上;

y2 x2 ? ?1 16 15

x ? y2 ? 1 16

2

2 x2 y 3)b=1,c= 15,焦点在坐标轴上; ? y 2 ? 1或 ? x2 ? 1 16 16

例题
判定下列椭圆的焦点在哪个轴?并指明a2、b2、 c2, 写出焦点坐标.
2 2

x y (1) ? ? 1 答:焦点在 x 轴;(-3,0)和(3,0) 25 16
x y (2) ? ?1 144 169
2 2

答:焦点在 y 轴;(0,-5)和(0,5)

x y (3) 2 ? 2 ?1 m m ?1

2

2

答:焦点在y 轴;(0,-1)和(0,1)

练习
x y 如果椭圆 ? ? 1上一点M到焦点F1的距离 100 36 等于6,则点M到另一个焦点 F2的距离为( ) A.10 B .12
y
2 2

C .14

D .16

M
F2
x

F1 o

由方程知 a=10, 所以 2a=20, 由椭圆定义: |MF1|+|MF2|=2a=20 故|MF2|=20-|MF1|=14.

答案:C.

总结 1.椭圆的定义:平面上到两个定点的距离的和(2a)等 于定长(大于|F1F2 |)的点的轨迹叫椭圆。定点F1、F2 叫做椭圆的焦点。两焦点之间的距离叫做焦距(2C)。
2.椭圆的标准方程 y
F1

y
F1

O

F2

x

O

F2

x

x2 y2 ? 2 ?1 (a ? b ? 0 ) 2 a b

y2 x2 ? 2 ?1 (a ? b ? 0 ) 2 a b

3.椭圆方程的求法:直接代入法,待定系数法

实际探究:
如图,我国发射的第一颗人造地球卫星的运 行轨道,是以地心(地球的中心)F2为一个 焦点的椭圆.已知它的近地点A(离地面最近 的点)距地面439km,远地点B(离地面最远 的点)距地面2384km,并且F2A、B在同一 直线上,地球半径约为6371km. 求卫星运行的轨道方程.

例题
已知椭圆两个焦点的坐标是(-4,0)和(4,0), 椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10,求椭圆的 标准方程.
解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

? 2a ? 10 , 2c ? 8,

? a ? 5 , c ? 4. ? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 5 2 ? 4 2 ? 9.
x2 y2 故 ? ? 1 为所求. 25 9

练习 写出适合下列条件的椭圆的标准方程
(1)a=4,b=1,焦点在 x 轴
x2 ? y2 ? 1 16
x2 y2 ? ?1 12 16

(2)a=4,c=2,焦点在 y 轴上

(2)两个焦点坐标分别是(0,-2)和(0,2),且过 点(-1.5,2.5).
解:因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为 y2 x2 + 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 由椭圆的定义知

2a ? ( ?1.5)2 ? ( 2.5 ? 2)2 ? ( ?1.5)2 ? ( 2.5 ? 2)2
3 ? 2 1 10 ? 2 10

? 2 10
? a ? 10
又由c ? 2

? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 10 ? 4 ? 6.

y2 x2 故 ? ? 1为所求. 10 6

练 习4. x y 设F1 , F2为 椭 圆 ? ? 1的 焦 点, P为 椭 圆 25 16 上 一 点, 则?PF1 F2的 周 长为 ( ) A A.16 B.18
y
2 2

C.20

D.不 能 确定.

p
F1

2a ? 2c ? 10 ? 6 ? 16
F2
x

o

答案:A

练习
1.将下列方程化为标准方程,并判定焦点在哪个轴上, 写出焦点坐标

(1)9 x ? 25 y ? 225 ? 0
2 2

x y ? ?1 25 9
x2 y2 ? ? 1 1 1 2 3

2

2

(2) ? 2 x ? 3 y ? ?1
2 2

x2 y2 2.椭圆 ? ? 1的焦距是 2, 则m的值为( ) m 4 A.5 B .8 C .5或3 D.20


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