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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第四章 圆与方程章末综合检测(A)新人教A版必修2


第四章 圆与方程章末检测(A) (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.圆(x+2)2+y2=5 关于 y 轴对称的圆的方程为( ) 2 2 2 2 2 A.(x-2) +y =5 Bx +(y-2) =5C(x+2) +(y+2)2=5D.x2+(y+2)2=5 2.方程 y=- 25-x2表示的曲线( ) A.一条射线 B.一个圆 C.两条射线 D.半个圆 2 2 2 2 3.两圆 x +y -1=0 和 x +y -4x+2y-4=0 的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 4.以点 P(2,-3)为圆心,并且与 y 轴相切的圆的方程是( ) 2 2 2 2 A.(x+2) +(y-3) =4 B.(x+2) +(y-3) =9 2 2 C.(x-2) +(y+3) =4 D.(x-2)2+(y+3)2=9 5. 已知圆 C: x2+y2-4x-5=0, 则过点 P(1,2)的最短弦所在直线 l 的方程是( ) A.3x+2y-7=0 B.2x+y-4=0 C.x-2y-3=0 D.x-2y+3=0 6.将直线 2x-y+λ =0 沿 x 轴向左平移 1 个单位,所得直线与圆 x2+y2+2x- 4y=0 相切,则实数 λ 的值为( ) A.-3 或 7 B.-2 或 8 C.0 或 10 D.1 或 11 2 2 7.若直线 y=kx+1 与圆 x +y +kx-y-9=0 的两个交点恰好关于 y 轴对称,则 k 等于( )A.0 B.1 C.2 D.3 2 2 8.已知圆 O:x +y =5 和点 A(1,2),则过 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴围 成的三角形的面积为( ) 25 25 A .5 B.10 C. D. 2 4 9.空间直角坐标系中,点 A(-3,4,0)和 B(x,-1,6)的距离为 86,则 x 的值为 ( )A.2 B.-8 C.2 或-8 D.8 或-2 2 2 10.与圆 C:x +(y+5) =9 相切,且在 x 轴与 y 轴上的截距都相等的直线共有 ( )A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 11.直线 x-2y-3=0 与圆(x-2)2+(y+3)2=9 交于 E,F 两点,则△EOF(O 是原 3 3 6 5 点)的面积为( )A. B. C.2 5 D. 2 4 5 2 2 12.从直线 x-y+3=0 上的点向圆 x +y -4x-4y+7=0 引切线,则切线长的最 3 2 14 3 2 3 2 小值为( ) A. B. C. D. -1 2 2 4 2 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.在空间直角坐标系 Oxyz 中,点 B 是点 A(1,2,3)在坐标平面 yOz 内的正射影, 则 OB=______. 14 . 动 圆 x2 + y2 - (4m + 2)x - 2my + 4m2 + 4m + 1 = 0 的 圆 心 的 轨 迹 方 程 是 ______________.
1

y x 16.对于任意实数 k,直线(3k+2)x-ky-2=0 与圆 x2+y2-2x-2y-2=0 的位
15.若 x∈R, y有意义且满足 x2+y2-4x+1=0,则 的最大值为________. 置关系是________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)已知一个圆和直线 l:x+2y-3=0 相切于点 P(1,1),且半径为 5, 求这个圆的方程. 18.(12 分)求圆心在直线 y=-4x 上,且与直线 l:x+y-1=0 相切于点 P(3, -2)的圆的方程. 19.(12 分)圆 x2+y2=8 内有一点 P(-1,2),AB 为过点 P 且倾斜角为 α 的弦. 3π (1)当 α = 时,求 AB 的长; 4 (2)当弦 AB 被点 P 平分时,写出直线 AB 的方程. 20.(12 分)设圆上的点 A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点仍在圆上,且与直线 x-y+1=0 相交的弦长为 2 2,求圆的方程. 21.(12 分)求与两平行直线 x+3y-5=0 和 x+3y-3=0 相切,圆心在 2x+y+3 =0 上的圆的方程. 22.(12 分)已知坐标平面上点 M(x,y)与两个定点 M1(26,1),M2(2,1)的距离之比 等于 5. (1)求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形; (2)记(1)中的轨迹为 C,过点 M(-2,3)的直线 l 被 C 所截得的线段的长为 8,求 直线 l 的方程.

2

第四章

圆与方程(A)

答案

1.A [(x,y)关于 y 轴的对称点坐标(-x,y),则得(-x+2)2+y2=5.] 2.D [化简整理后为方程 x2+y2=25,但还需注意 y≤0 的隐含条件.] 3.B [将两圆化成标准方程分别为 x2+y2=1,(x-2)2+(y+1)2=9,可知圆心 距 d= 5,由于 2<d<4,所以两圆相交.] 4.C [圆心为(2,-3),半径为 2,故方程为(x-2)2+(y+3)2=4.] 5.D [化成标准方程(x-2)2+y2=9,过点 P(1,2)的最短弦所在直线 l 应与 PC 1 垂直, 故有 kl·kPC=-1, 由 kPC=-2 得 kl= , 进而得直线 l 的方程为 x-2y+3=0. ] 2 6.A [直线 2x-y+λ =0 沿 x 轴向左平移 1 个单位得 2x-y+λ +2=0, |-2+λ | 圆 x2+y2+2x-4y=0 的圆心为 C(-1,2), r= 5,d= = 5,λ =-3, 5 或 λ =7.] 7.A [将两方程联立消去 y 后得(k2+1)x2+2kx-9=0,由题意此方程两根之和 为 0,故 k=0.] 8.D [因为点 A(1,2)在圆 x2+y2=5 上,故过点 A 的圆的切线方程为 x+2y=5, 5 令 x=0 得 y= . 2 1 5 25 令 y=0 得 x=5,故 S△= × ×5= .] 2 2 4 2 2 9.C [由距离公式得(x+3) +5 +62=86,解得 x=2 或-8.] 10.D [依题意画图如图所示,可得有 4 条.

] 11.D 1 3 6 5 [弦长为 4,S= ×4× = .] 2 5 5
3

12.B

[当圆心到直线距离最短时,可得此时切线长最短. d=

3 2 ,切线长= 2

?3 2?2 14 2 ? ? ? 2 ? -1 = 2 .] ? ?

13. 13 解析 易知点 B 坐标为(0,2,3),故 OB= 13. 14.x-2y-1=0(x≠1) 解析 圆心为(2m+1,m),r=|m|,(m≠0),令 x=2m+1,y=m 消去 m 即得方程. 15. 3 解析 x2+y2-4x+1=0(y≥0)表示的图形是位于 x 轴上方的半圆,而 的最大值 是半圆上的点和原点连线斜率的最大值,结合图形易求得最大值为 3. 16.相切或相交 解析 直线恒过(1,3),而(1,3)在圆上. 17.解 设圆心坐标为 C(a,b), 则圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=25. ∵点 P(1,1)在圆上, ∴(1-a)2+(1-b)2=25. 又∵CP⊥l, b-1 ∴ =2, a-1 即 b-1=2(a-1). 解方程组?
? ? ?b-1= ?

y x

a-
2



a-



b-

2

=25,

? ?a=1+ 5, 得? ? ?b=1+2 5,

? ?a=1- 5, 或? ? ?b=1-2 5.

故所求圆的方程是 (x-1- 5)2+(y-1-2 5)2=25 或(x-1+ 5)2+(y-1+2 5)2=25. 18.解 由于过 P(3,-2)垂直于切线的直线必定过圆心,故该直线的方程为 x-y-5=0. 由?
?x-y-5=0, ? ? ?y=-4x,

得?

?x=1, ? ? ?y=-4,

2 2 故圆心为(1,-4),r= - + -4+ =2 2, 2 2 ∴所求圆的方程为(x-1) +(y+4) =8. 3π 3π 19.解 (1)∵α = ,k=tan =-1,AB 过点 P, 4 4 ∴AB 的方程为 y=-x+1.

4

代入 x2+y2=8,得 2x2-2x-7=0, |AB|= +k 2 x1+x2 2-4x1x2]= 30. (2)∵P 为 AB 中点,∴OP⊥AB. 1 ∵kOP=-2,∴kAB= . 2 ∴AB 的方程为 x-2y+5=0. 20.解 设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, ∵圆上的点 A(2,3)关于 x+2y=0 的对称点仍在圆上,∴圆心(a,b)在直线 x+2y =0 上, 即 a+2b=0. ① 圆被直线 x-y+1=0 截得的弦长为 2 2, ?|a-b+1|?2 ? ∴? +( 2)2=r2. ② ? ? 2 ? ? 由点 A(2,3)在圆上得(2-a)2+(3-b)2=r2. ③

a=6, ? ? 由①②③解得?b=-3, ? ?r =52
2

a=14, ? ? 或?b=-7, ? ?r =244.
2

∴圆的方程为(x-6)2+(y+3)2=52 或(x-14)2+(y+7)2=244. 21.解 设所求圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2. |5-3| 2 由题意知,两平行线间距离 d= = , 10 10 且(a,b)到两平行线 x+3y-5=0 和 x+3y-3=0 的距离相等,即 |a+3b-3| , 10 ∴a+3b-5=-(a+3b-3)或 a+3b-5=a+3b-3(舍). ∴a+3b-4=0. ① 又圆心(a,b)在 2x+y+3=0 上, ∴2a+b+3=0. ② 13 11 由①②得 a=- ,b= . 5 5 1 1 又 r= d= . 2 10 ? 13? ? 11? 1 所以,所求圆的方程为?x+ ?2+?y- ?2= . 5? ? 5 ? 10 ? | M 1M | 22.解 (1)由题意,得 =5. | M 2M |
5

|a+3b-5| = 10

2 + y- 2 2 =5, + y- 化简,得 x2+y2-2x-2y-23=0. 即(x-1)2+(y-1)2=25. ∴点 M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-1)2=25, 轨迹是以(1,1)为圆心,以 5 为半径的圆. (2)当直线 l 的斜率不存在时,l:x=-2, 此时所截得的线段的长为 2 52-32=8, ∴l:x=-2 符合题意. 当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y-3=k(x+2),即 kx-y+2k+3=0, |3k+2| 圆心到 l 的距离 d= 2 , k +1 ?|3k+2|?2 2 2 ? 由题意,得? ? k2+1 ? +4 =5 , ? ? 5 解得 k= . 12 5 23 ∴直线 l 的方程为 x-y+ =0. 12 6 即 5x-12y+46=0. 综上,直线 l 的方程为 x=-2,或 5x-12y+46=0.

x- x-

2

6


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