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福建省漳州市东山二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)

2014-2015 学年福建省漳州市东山二中高二(上)期中数学试卷 (理科)
一.选择题(每小题 5 分,共 60 分,每小题仅有一个选项是符合题目要求的). 1.下列程序语句不正确的是( ) A.INPUT“MATH=”;a+b+c B.PRINT“MATH=”;a+b+c C.a=b+c D.a1=b﹣c 2.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销售点.公司 为了调查产品销售的情况, 需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本, 记这项调查 为①; 在丙地区中有 20 个特大型销售点, 要从中抽取 7 个调查其销售收入和售后服务情况, 记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( ) A.分层抽样法,系统抽样法 B.分层抽样法,简单随机抽样法 C.系统抽样法,分层抽样法 D.简单随机抽样法,分层抽样法

3.已知 x、y 满足条件

则 2x+4y 的最小值为(



A.6

B.﹣6 C.12

D.﹣12 ) B.sinx+ (x∈R) ≥2(x≠kx,k∈Z)

4.下列不等式一定成立的是( A.lg(x + )>lgx(x>0) C.x +1≥2|x|(x∈R) D.
2 2

5.甲、乙两位运动员在 5 场比赛的得分情况如茎叶图所示,记甲、乙两人的平均得分分别 为 ,则下列判断正确的是( )

A. C.

;甲比乙成绩稳定 ;甲比乙成绩稳定

B. D.

;乙比甲成绩稳定 ;乙比甲成绩稳定

6.已知{an}是公差为 2 的等差数列,且 a1,a3,a4 成等比数列,则数列{an}的前 9 项和等于 ( ) A.0 B.8 C.144 D.162 7.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 8,则输入的数是( )

A.2 或 2

B.2

或﹣2

C.﹣2 或﹣2

D.2 或﹣2 )

8.设 a>0,若关于 x 的不等式 x+ A.16 B.9 C.4 D.2

≥5 在 x∈(1,+∞)恒成立,则 a 的最小值为(

9. 是 x1,x2,…,x100 的平均数,a 是 x1,x2,…,x40 的平均数,b 是 x41,x42,…,x100 的平均数,则下列各式正确的是( ) A. = B. = C. =a+b D. =

10.函数 f(x)在[a,b]上有定义,若对任意 x1,x2∈[a,b],有 ,则称 f(x)在[a,b]上具有性质 P.设 f(x) 在[1,3]上具有性质 P,现给出如下命题: ①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的; ②f(x )在 上具有性质 P; ③若 f(x)在 x=2 处取得最大值 1,则 f(x)=1,x∈[1,3]; ④任意 x1,x2,x3,x4∈[1,3],有 . 其中真命题的序号是( A.①② B.①③ ) C.②④
2

D.③④

二.填空题(本大题共 5 小题,每题 4 分,共 16 分.) 11.用辗转相除法求两个数 45、150 的最大公约数是



12.将二进制数 10101(2)化为十进制数为

,再化为四进制数为 .



13.阅读图所示的程序框图,运行相应地程序,输出的 s 值等于

14.在平面直角坐标系中,不等式组

(a>0)表示的平面区域的面积为 5,直

线 mx﹣y+m=0 过该平面区域,则 m 的最大值是 15.数列{an}的通项公式 an=ncos



+1,前 n 项和为 Sn,则 S2012=



三.解答题: (本大题共 7 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). (2014 秋?漳州校级期中) (3)请认真阅读下列程序框图:已知程序框图 函数关系式为 中的

,程序框图中的 D 为函数 f(x)的定义域,把此程序框图中

所输出的数 xi 组成一个数列{xn} (Ⅰ)若输入 ,请写出数列{xn}的所有项;

(Ⅱ)若输出的无穷数列{xn}是一个常数列,试求输入的初始值 x0 的值; (Ⅲ)若输入一个正数 x0 时,产生的数列{xn}满足:任意一项 xn,都有 xn<xn+1,试求正 数 x0 的取值范围.

16.某初级中学共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如表: 初一年级 初二年级 初三年级 373 x y 女生 377 370 z 男生 已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到初二年级女生的概率是 0.19. (1)求 x 的值; (2)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在初三年级抽取多少名? (3)已知 y≥245,z≥245,求初三年级中女生比男生多的概率.

17.已知函数 f(x)=

﹣mx,其中 m 为实常数.

(1)当 m= 时,求不等式 f(x)<x 的解集; (2)当 m 变化时,讨论关于 x 的不等式 f(x)+ ≥0 的解集. (3)f(x)>﹣1 在 x>2 恒成立,求 m 的范围. 18.在等差数列{an}中,a1+a2=5,a3=7,记数列{ (1)求数列{an}的通项公式; (2)求 Sn,求证:Sn≤ ; (3)是否存在正整数 m、n,且 1<m<n,使得 1、Sm、Sn 成等比数列?若存在,求出所 有符合条件的 m、n 的值;若不存在,请说明理由. 19.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,将其成绩(均为整数)分成六 段[40,50) ,[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100]后,画出如下部分频率 分布直方图.观察图形,回答下列问题: (1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)估计这次考试的及格率(60 分以上为及格) ; }的前 n 项和为 Sn.

(3)估计这次考试的平均分.

20.已知函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)?f(y) ,且 f(1)= . (1)当 n∈N 时,求 f(n)的表达式; * (2)设 an=n?f(n) ,n∈N ,求证 a1+a2+a3+…+an<2; (3)设 bn=(9﹣n) ,n∈N ,Sn 为 bn 的前 n 项和,当 Sn 最大时,求 n 的值.
* *

21. (1)在 2007 全运会上两名射击运动员甲、乙在比赛中打出如下成绩: 甲:9.4,8.7,7.5,8.4,10.1,10.5,10.7,7.2,7.8,10.8; 乙:9.1,8.7,7.1,9.8,9.7,8.5,10.1,9.2,10.1,9.1; 用茎叶图表示甲,乙两个成绩;并根据茎叶图分析甲、乙两人成绩; (2) 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价, 将该产品按事先拟定的价格进行试销, 得到如下数据: 8.2 8.4 8.6 8.8 9 单价 x(元) 8 75 68 销量 y(件) 90 84 83 80 (I)求回归直线方程 =bx+a,其中 b=﹣20,a= ﹣b

(Ⅱ)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(I)中的关系,且该产品的成本是 4 元/ 件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入﹣成本)

2014-2015 学年福建省漳州市东山二中高二(上)期中数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题(每小题 5 分,共 60 分,每小题仅有一个选项是符合题目要求的). 1.下列程序语句不正确的是( ) A.INPUT“MATH=”;a+b+c B.PRINT“MATH=”;a+b+c C.a=b+c D.a1=b﹣c 【考点】输入、输出语句;赋值语句. 【专题】阅读型. 【分析】本题考查的是基本算法语句的写法,根据基本算法语句的格式逐一分析即可解题. 【解答】解:输入语句输入的只能是一个(或几个)变量或具体数值,不能是运算公式 所以 A 不正确,其他选项格式正确 故选 A 【点评】本题考查的是基本算法语句的写法,解题的关键是熟练掌握语句的概念与格式,属 于基础题. 2.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销售点.公司 为了调查产品销售的情况, 需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本, 记这项调查 为①; 在丙地区中有 20 个特大型销售点, 要从中抽取 7 个调查其销售收入和售后服务情况, 记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( ) A.分层抽样法,系统抽样法 B.分层抽样法,简单随机抽样法 C.系统抽样法,分层抽样法 D.简单随机抽样法,分层抽样法 【考点】分层抽样方法;系统抽样方法. 【专题】应用题. 【分析】此题为抽样方法的选取问题.当总体中个体较少时宜采用简单随机抽样法;当总体 中的个体差异较大时,宜采用分层抽样;当总体中个体较多时,宜采用系统抽样. 【解答】解:依据题意,第①项调查中,总体中的个体差异较大,应采用分层抽样法; 第②项调查总体中个体较少,应采用简单随机抽样法. 故选 B. 【点评】本题考查随机抽样知识,属基本题型、基本概念的考查.

3.已知 x、y 满足条件

则 2x+4y 的最小值为(



A.6 B.﹣6 C.12 D.﹣12 【考点】简单线性规划. 【专题】计算题.

【分析】画出不等式组对应的可行域,将目标函数变形,画出目标函数对应的直线,由图得 到当直线过 A 点时纵截距最小,z 最小. 【解答】解:作出平面区域如下图所示,令 z=2x+4y,欲求 z 的最小值, 即求 y= 在 y 轴上截距的最小值.可以看出当直线过点(3,﹣3)时,纵截距最小.

∴zmin=2×3+4×(﹣3)=﹣6. 故选 B.

【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域:直线定边界,特殊点定区域结合图形求函数 的最值,属于中档题. 4.下列不等式一定成立的是( A.lg(x + )>lgx(x>0) C.x +1≥2|x|(x∈R) D.
2 2

) B.sinx+ (x∈R) ≥2(x≠kx,k∈Z)

【考点】不等式比较大小. 【专题】探究型. 【分析】由题意,可对四个选项逐一验证,其中 C 选项用配方法验证,A,B,D 三个选项 代入特殊值排除即可 【解答】解:A 选项不成立,当 x= 时,不等式两边相等; B 选项不成立,这是因为正弦值可以是负的,故不一定能得出 sinx+
2 2

≥2;

C 选项是正确的,这是因为 x +1≥2|x|(x∈R)?(|x|﹣1) ≥0; D 选项不正确,令 x=0,则不等式左右两边都为 1,不等式不成立. 综上,C 选项是正确的. 故选:C. 【点评】本题考查不等式大小的比较,不等式大小比较是高考中的常考题,类型较多,根据 题设选择比较的方法是解题的关键 5.甲、乙两位运动员在 5 场比赛的得分情况如茎叶图所示,记甲、乙两人的平均得分分别 为 ,则下列判断正确的是( )

A. C.

;甲比乙成绩稳定 ;甲比乙成绩稳定

B. D.

;乙比甲成绩稳定 ;乙比甲成绩稳定

【考点】茎叶图. 【专题】计算题;概率与统计. 【分析】由茎叶图,得出 5 场比赛甲、乙的得分,再计算平均数与方差,即可得到结论. 【解答】解:5 场比赛甲的得分为 16、17、28、30、34,5 场比赛乙的得分为 15、26、28、 28、33 ∴ = (16+17+28+30+34)=25, = (81+64+9+25+81)=52, ∴ ,乙比甲成绩稳定 = (15+26+28+28+33)=26 = (121+4+4+49)=35.6

故选 D. 【点评】本题考查茎叶图、平均数及标准差等知识,考查计算能力.属基础题 6.已知{an}是公差为 2 的等差数列,且 a1,a3,a4 成等比数列,则数列{an}的前 9 项和等于 ( ) A.0 B.8 C.144 D.162 【考点】等差数列的前 n 项和. 【专题】计算题;等差数列与等比数列. 【分析】由题意可得, 和公式可求 【解答】解:由题意可得, ∴ ∴a1=﹣8 ∴ =0 ,结合等差数列的通项可求 a1,然后代入等差数列的求

故选 A 【点评】本题主要考查了等差数列 的通项公式、求和公式及等比数列的性质的简单应用, 属于基础试题 7.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 8,则输入的数是( )

A.2 或 2 B.2 或﹣2 C.﹣2 或﹣2 D.2 或﹣2 【考点】程序框图. 【专题】计算题;概率与统计. 2 3 2 3 【分析】分 x =8 和 x =8 时两种情况加以讨论,解方程并比较 x 与 x 的大小,最后综合即 可得到本题的答案. 2 3 【解答】解:根据程序框图中的算法,得输出的结果可能是 x 或 x , 2 ①当输出的 8 是 x 时,x 可能等于±2 2 3 ∵x ≥x ,∴x≤0,此时 x=﹣2 ; 3 ②当输出的 8 是 x 时,x 可能等于±2 2 3 ∵x <x ,∴x>0,此时 x=2 综上所述,得输入的 x=2 或﹣2 故选:D 【点评】本题以程序框图为载体,求方程的解 x 值,着重考查了算法语句与方程、不等式解 法等知识,属于基础题. 8.设 a>0,若关于 x 的不等式 x+ ≥5 在 x∈(1,+∞)恒成立,则 a 的最小值为( )

A.16 B.9 C.4 D.2 【考点】函数恒成立问题. 【专题】计算题;不等式的解法及应用. 【分析】利用基本不等式,确定 x+ 【解答】解:∵a>0,x>1, ∴x+ =(x﹣1)+ +1≥2 +1 的最小值,即可求得 a 的最小值.

∵关于 x 的不等式 x+

≥5 在 x∈(1,+∞)恒成立,

∴ ≥4 ∴a≥4 ∴a 的最小值为 4 故选 C. 【点评】本题考查恒成立问题,考查基本不等式的运用,正确求最值是关键.

9. 是 x1,x2,…,x100 的平均数,a 是 x1,x2,…,x40 的平均数,b 是 x41,x42,…,x100 的平均数,则下列各式正确的是( ) A. = B. = C. =a+b D. =

【考点】众数、中位数、平均数. 【分析】这 100 个数的平均数是 a+b 还是 (a+b) ,这都很容易让人误解.我们可以从概率 及加权平均数的角度来思考. 【解答】解:设 Pi 是 x1,x2,…,x100 中 xi 被抽到的概率, qi 是 x1,x2,…,x40 中 xi 被抽到的概率, ri 是 x41,x42,…,x100 中 xi 被抽到的概率, 则 Pi= qi,Pi= ri. (x1q1+x2q2+…+x40q40)+ (x41r41+…+x100r100)

故 x1,x2,…,x100 的平均数 = = a+ b.

故选 A. 【点评】本题除了上述方法外,我们还可以先分别求出 x1+x2+…+x40=40a, x41+x42+…+x100=60b,再求 . 10.函数 f(x)在[a,b]上有定义,若对任意 x1,x2∈[a,b],有 ,则称 f(x)在[a,b]上具有性质 P.设 f(x) 在[1,3]上具有性质 P,现给出如下命题: ①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的; ②f(x )在 上具有性质 P; ③若 f(x)在 x=2 处取得最大值 1,则 f(x)=1,x∈[1,3]; ④任意 x1,x2,x3,x4∈[1,3],有 . 其中真命题的序号是( ) A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】函数的性质及应用;简易逻辑. 【分析】①反例:f(x)= ,即可判断出正误;
2 2 2

②不正确,反例:取函数 f(x)=﹣x,在[1,3]上具有性质 P;即可判断出 f(x )=﹣x , 在 上不具有性质 P;

③?x∈[1,3],1=f(2)=



.可得

,即可得出.

④任意 x1,x2,x3,x4∈[1,3],有 ≤

, ,

∈[1,3],可得

.即可得出: ,进而判断出正 误. 【解答】解:设 f(x)在[1,3]上具有性质 P,现给出如下命题: ①不正确,反例:f(x)= 在[1,3]上的图象不是连续不断的; ②不正确, 反例: 取函数 f (x) =﹣x, 在[1, 3]上具有性质 P; 而f (x ) =﹣x , 在 上不具有性质 P; ③?x∈[1,3],1=f(2)
2 2

,在[1,3]上满足性质 P,但是 f(x)

=



.∴

,∴f

(x)=f(4﹣x)=1,因此正确. ④任意 x1,x2,x3,x4∈[1,3],有 ∴ ≤ , , .∴ ,正确. 其中真命题的序号是③④. 故选:D. 【点评】本题考查了“凹函数”的性质及其应用、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计 算能力,属于难题. 二.填空题(本大题共 5 小题,每题 4 分,共 16 分.) 11.用辗转相除法求两个数 45、150 的最大公约数是 15 . 【考点】用辗转相除计算最大公约数. ∈[1,3],

【专题】计算题;算法和程序框图. 【分析】本题考查的知识点是辗转相除法,根据辗转相除法的步骤,将 45、150 代入易得到 答案. 【解答】解:∵150=45×3+15, 45=15×3 ∴150 与 45 的最大公约数为 15, 故答案为:15 【点评】本题考查的知识点是辗转相除法,对任意整数 a,b,b>0,存在唯一的整数 q,r, 使 a=bq+r,其中 0≤r<b,这个事实称为带余除法定理,若 c|a,c|b,则称 c 是 a,b 的公因 数. 若 d 是 a, b 的公因数, 且 d 可被 a, b 的任意公因数整除则称 d 是 a, b 的最大公因数. 当 d≥0 时,d 是 a,b 公因数中最大者.若 a,b 的最大公因数等于 1,则称 a,b 互素.累次利 用带余除法可以求出 a,b 的最大公因数,这种方法常称为辗转相除法. 12.将二进制数 10101(2)化为十进制数为 21 ,再化为四进制数为 111(4) . 【考点】进位制. 【专题】计算题;转化思想;分析法;算法和程序框图. 【分析】进制转换为十进制的方法是依次累加各位数字上的数×该数位的权重;利用“除 k 取 余法”是将十进制数除以 4,然后将商继续除以 4,直到商为 0,然后将依次所得的余数倒序 排列即可得到答案. 【解答】解:10101(2)=1×2 +0×2 +1×2 +0×2 +1×2 =21, 21÷4=5…1 5÷4=1…1 1÷4=0…1 故 21(10)=111(4) 故答案为:21,111(4) . 【点评】本题考查的知识点是算法的概念,考查了进位制换算的方法﹣﹣除 K 取余法,由 二进制转化为十进制的方法,我们只要依次累加各位数字上的数×该数位的权重,即可得到 结果. 13.阅读图所示的程序框图,运行相应地程序,输出的 s 值等于 ﹣3 .
0 1 2 3 4

【考点】循环结构.

【专题】计算题. 【分析】直接利用循环框图,计算循环的结果,当 k=4 时,退出循环,输出结果. 【解答】解:由题意可知第 1 次判断后,s=1,k=2, 第 2 次判断循环,s=0,k=3, 第 3 次判断循环,s=﹣3,k=4, 不满足判断框的条件,退出循环,输出 S. 故答案为:﹣3.

【点评】本题考查循环结构的作用,注意判断框的条件以及循环后的结果,考查计算能力.

14.在平面直角坐标系中,不等式组

(a>0)表示的平面区域的面积为 5,直

线 mx﹣y+m=0 过该平面区域,则 m 的最大值是



【考点】简单线性规划. 【专题】作图题. 【分析】本题需要在平面直角坐标系中作出不等式组对应的区域,由面积为 5 可求得 a=2, 又知直线 mx﹣y+m=0 过定点(﹣1,0) ,斜率为 m,结合图象可知,过点 A 时 m 取最大值, 代入可求值.

【解答】 解: 不等式组

表示的平面区域如图所示, 其中 A(a,2a) , B(a,﹣ ) ,

∴△ABC 的面积为

,解得,a=2,故 A(2,4) ,B(2,﹣1) .

又直线 mx﹣y+m=0 可化为 y=m(x+1) ,可知直线过定点(﹣1,0) ,斜率为 m 结合图象可知该直线过点 A(2,4)时,m 取最大值,把点 A 的坐标代入直线可得,m= , 故答案为:

【点评】本题为线性规划问题,关键是作出可行域,还要得出已知直线的过定点的特点,斜 率为 m,代值即可求解,属中档题. 15.数列{an}的通项公式 an=ncos 【考点】数列的求和. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】先求出 cos 结论. 【解答】解:因为 cos ∴ncos ∴ncos =0,﹣1,0,1,0,﹣1,0,1…; 的规律,进而得到 ncos 的规律,即可求出数列的规律即可求出 +1,前 n 项和为 Sn,则 S2012= 3018 .

=0,﹣2,0,4,0,﹣6,0,8…; 的每四项和为 2;

∴数列{an}的每四项和为:2+4=6. 而 2012÷4=503; ∴S2012=503×6=3018. 故答案为:3018. 【点评】本题主要考察数列的求和,解决本题的关键在于求出数列各项的规律. 三.解答题: (本大题共 7 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). (2014 秋?漳州校级期中) (3)请认真阅读下列程序框图:已知程序框图 函数关系式为 中的

,程序框图中的 D 为函数 f(x)的定义域,把此程序框图中

所输出的数 xi 组成一个数列{xn} (Ⅰ)若输入 ,请写出数列{xn}的所有项;

(Ⅱ)若输出的无穷数列{xn}是一个常数列,试求输入的初始值 x0 的值;

(Ⅲ)若输入一个正数 x0 时,产生的数列{xn}满足:任意一项 xn,都有 xn<xn+1,试求正 数 x0 的取值范围.

【考点】程序框图. 【专题】计算题;算法和程序框图. 【分析】 (Ⅰ)根据 f(x)解析式确定出 D,把 x0= 代入程序框图中计算,得到 xi?D 时,

确定出数列{xn}的所有项即可; (Ⅱ)根据输出的无穷数列{xn}是一个常数列,确定出输入的初始值 x0 的值即可; (Ⅲ)根据题意列出不等式,根据正数 x0,求出解集,确定出正数 x0 的取值范围即可. 【解答】解: (Ⅰ)当 x0= 则输出的数列为{ 时,x1=f( )= ,x2=f( )= ,x3=f( )=﹣1,

, ,﹣1};

(Ⅱ)数列{xn}是一个常数列,则有 x1=x2=…=xn=x0,即 x0=f(x0)= 解得:x0=1 或 x0=2, 则输入的初始值 x0 为 1 或 2 时输出的为常数列; (Ⅲ)由题意知:xn+1=f(xn)= >xn,



∵x0>0,∴xn>0,有
2

>xn,

得 4xn﹣2>xn(xn+1) ,即 xn ﹣3xn+2<0,即(xn﹣2) (xn﹣1)<0, 有 xn+1>xn,须(x0﹣2) (x0﹣1)<0, 解得:1<x0<2, 则当正数 x0 在(1,2)内取值时,所输出的数列{xn}对任意正整数 n 满足 xn<xn+1. 【点评】此题考查了程序框图,弄清程序框图中的运算程序是解本题的关键. 16.某初级中学共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如表:

初一年级 初二年级 初三年级 373 x y 女生 377 370 z 男生 已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到初二年级女生的概率是 0.19. (1)求 x 的值; (2)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在初三年级抽取多少名? (3)已知 y≥245,z≥245,求初三年级中女生比男生多的概率. 【考点】等可能事件的概率;分层抽样方法. 【专题】综合题;概率与统计. 【分析】 (1)先根据抽到初二年级女生的概率是 0.19,做出初二女生的人数, (2)再用全校的人数减去初一和初二的人数,得到初三的人数,全校要抽取 48 人,做出每 个个体被抽到的概率,做出初三被抽到的人数. (3)由题意,y+z=500,y≥245,z≥245,即可求出初三年级中女生比男生多的概率. 【解答】解: (1)∵在全校学生中随机抽取 1 名,抽到初二年级女生的概率是 0.19 即: =0.19,

∴x=380. (2)初三年级人数为 y+z=2000﹣(373+377+380+370)=500, 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生, 应在初三年级抽取的人数为 ×500=12 名.

(3)由题意,y+z=500,y≥245,z≥245,基本事件共有 11 个,y>z,共有 5 个 则 y>z 的概率为 .

【点评】本题考查分布的意义和作用,考查分层抽样,是一个统计的综合题,题目运算量不 大,也没有难理解的知识点,是一个基础题.

17.已知函数 f(x)=

﹣mx,其中 m 为实常数.

(1)当 m= 时,求不等式 f(x)<x 的解集; (2)当 m 变化时,讨论关于 x 的不等式 f(x)+ ≥0 的解集. (3)f(x)>﹣1 在 x>2 恒成立,求 m 的范围. 【考点】函数恒成立问题;其他不等式的解法. 【专题】计算题;分类讨论;函数思想;转化思想;判别式法;不等式的解法及应用. 【分析】 (1)直接把 m= 代入不等式 f(x)<x,求解一元二次不等式得答案; (2)把不等式 f(x)+ ≥0 化简,然后分类讨论求得不等式的解集; (3)由 f(x)>﹣1 在 x>2 恒成立,可得 x ﹣2mx+2>0 在 x>2 恒成立.转化为△ =(﹣ 2m) ﹣8<0 或
2 2

,分别求解后取并集得答案.

【解答】解: (1)当

时,由 f(x)<x,得

,即 x(x﹣3)<0.

∴不等式的解集是{x|0<x<3}; (2)由 f(x)+ ≥0,得 当 2m﹣1>0,即 当 2m﹣1<0,即 m ,即 x[x﹣(2m﹣1)]≥0.

时,不等式的解集为{x|x≤0 或 x≥2m﹣1}. 时,不等式的解集为{x|x≥0 或 x≤2m﹣1}.

当 2m﹣1=0,即 m= 时,不等式的解集为 R; (3)f(x)>﹣1 在 x>2 恒成立,即 ∴x ﹣2mx+2>0 在 x>2 恒成立. 则△ =(﹣2m) ﹣8<0 或
2 2

﹣mx>﹣1 在 x>2 恒成立.



解得:



【点评】本题考查一元二次不等式的解法,考查了函数恒成立问题,训练了利用“三个二次” 求解参数范围的方法,是中档题. 18.在等差数列{an}中,a1+a2=5,a3=7,记数列{ (1)求数列{an}的通项公式; (2)求 Sn,求证:Sn≤ ; (3)是否存在正整数 m、n,且 1<m<n,使得 1、Sm、Sn 成等比数列?若存在,求出所 有符合条件的 m、n 的值;若不存在,请说明理由. 【考点】数列的求和;等比数列的性质. 【专题】方程思想;转化思想;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 【分析】 (1)利用等差数列的通项公式即可得出; (2)利用“裂项求和”与“放缩法”即可得出; (3)假设存在正整数 m、n,且 1<m<n,使得 S1、Sm、Sn 成等比数列,可得: . .利用﹣3m +6m+1>0.解得 m,即可得出.
2

}的前 n 项和为 Sn.

【解答】 (1)解:设等差数列{an}的公差为 d, ∵ ,即 ,解得 ,

∴an=1+3(n﹣1)=3n﹣2. * ∴数列{an}的通项为 an=3n﹣2(n∈N ) .

(2)证明:∵ ∴数列 = 的前 n 项和



=



(3)解:假设存在正整数 m、n,且 1<m<n,使得 S1、Sm、Sn 成等比数列, 则 .即 .


2


2

∵n>0,∴﹣3m +6m+1>0.即 3m ﹣6m﹣1<0. ∵m>1,∴ ∵m∈N ,∴m=2. 此时 .
*



∴存在满足题意的正整数 m、n,且只有一组解,即 m=2,n=16. 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法、不等式的解法及其 性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 19.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,将其成绩(均为整数)分成六 段[40,50) ,[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100]后,画出如下部分频率 分布直方图.观察图形,回答下列问题: (1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)估计这次考试的及格率(60 分以上为及格) ; (3)估计这次考试的平均分.

【考点】频率分布直方图;用样本的频率分布估计总体分布. 【专题】图表型. 【分析】 (1)利用各组的频率和为 1,第四小组的频率等于 1 减去其它小组的频率和.各小 组的频率等于各组的纵坐标乘以组距. (2)将第三,四,五,六组的频率加起来,乘以 100%即得到这次考试的及格率.

(3)利用各个矩形的宽的中点乘以相应的矩形的长,再将各个乘积加起来即得到这次考试 的平均分. 【解答】解: (1)因为各组的频率和为 1,所以第四组的频率 f4=1﹣ (0.025+0.015*2+0.01+0.005)×10=0.3 (2)依题意,60 分及以上的分数所在的第三,四,五,六组的频率和为 0.75 所以抽样学生的考试及格率为 75%. (3)平均分为 45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71 【点评】利用频率分布直方图时,一定注意纵坐标是 ;利用频率分布直方图求数据的

平均值,是将各个矩形的宽的中点乘以相应的矩形的长,再将各个乘积加起来.

20.已知函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)?f(y) ,且 f(1)= . (1)当 n∈N 时,求 f(n)的表达式; * (2)设 an=n?f(n) ,n∈N ,求证 a1+a2+a3+…+an<2; (3)设 bn=(9﹣n) ,n∈N ,Sn 为 bn 的前 n 项和,当 Sn 最大时,求 n 的值.
* *

【考点】数列的求和;数列的函数特性;等比数列的通项公式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 (1)由于函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)?f(y)对任意的实数 x,y 都成立,故 可令 x=n,y=1,再由 f(1)= 得到 f(n)的表达式; (2)由(1)知,an=n?f(n)= 即可得证; (3)由(1)和 bn=(9﹣n) ,n∈N 可求 bn 的表达式,进而求出 Sn,由于数列
*

,故可用错位相减法求出 a1+a2+a3+…+an 的表达式,

为一种特殊函数,故可利用函数单调性得到 Sn 最大时的 n 值. 【解答】解: (1)令 x=n.y=1,得到 f(n+1)=f(n)?f(1)= f(n) , 所以{f(n)}是首项为 、公比为 的等比数列,即 f(n)= (2)∵ , ; ,



两式相减得:



整理得 (3)∵f(n)= ,而 bn=(9﹣n)

. ,n∈N ,则 bn=
*



当 n≤8 时,bn>0;当 n=9 时,bn=0;当 n>9 时,bn<0; ∴n=8 或 9 时,Sn 取到最大值. 【点评】本题主要考查数列求和的错位相减法法、等比数列的前 n 项和公式,着重考查考生 的运算能力. 21. (1)在 2007 全运会上两名射击运动员甲、乙在比赛中打出如下成绩: 甲:9.4,8.7,7.5,8.4,10.1,10.5,10.7,7.2,7.8,10.8; 乙:9.1,8.7,7.1,9.8,9.7,8.5,10.1,9.2,10.1,9.1; 用茎叶图表示甲,乙两个成绩;并根据茎叶图分析甲、乙两人成绩; (2) 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价, 将该产品按事先拟定的价格进行试销, 得到如下数据: 8.2 8.4 8.6 8.8 9 单价 x(元) 8 75 68 销量 y(件) 90 84 83 80 (I)求回归直线方程 =bx+a,其中 b=﹣20,a= ﹣b

(Ⅱ)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(I)中的关系,且该产品的成本是 4 元/ 件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入﹣成本) 【考点】程序框图;线性回归方程. 【专题】计算题;图表型;数形结合;概率与统计. 【分析】 (1)作出茎叶图,根据茎叶图的集中与分散情况结合中位数即可作出判断. (2) (I)利用平均数公式求得样本中心点的坐标,根据样本中心点在回归直线上,求系数 a 的值; (II)根据题意构造函数,利用函数求得函数值取得最大值时的定价. 【解答】解: (1)如图所示,茎表示成绩的整数环数,叶表示小数点后的数字.

由上图知,甲中位数是 9.05,乙中位数是 9.15,乙的成绩大致对称,可以看出乙发挥稳定性 好,甲波动性大. (7 分) (2) (I) = (8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5, (2 分) = (90+84+83+80+75+68)=80, (4 分) a= =80+20×8.5=250,可得: =﹣20 +250, (5 分) 2 (II)工厂获得利润:z=(x﹣4)y=﹣20x +330x﹣1000, 当 x= 时,Zmax=361.25(元) (7 分)

【点评】本题(1)考查茎叶图,关键是根据数据作出茎叶图,难点在于据图分析射击中的 集中与分散情况,得出谁发挥稳定. (2)考查了回归直线的性质及回归系数的求法,考查了 回归分析的应用,熟练掌握回归分析的思想方法是解题的关键.


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