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5.1.1数的概念的扩展_图文

复习回顾

自然数

数 系 的 扩 充

用图形表示包含关系: 整数 有理数 Q

R
无理数 实数

Z

N

问题1:方程

x ?1 ? 0
2

的实根是什么?

问题2:方程

x2 ? 1 ? 0 的实根是什么?



x ?1 ? 0
2

思考?

x

2

? ?1

我们能否将实数集进行扩充,使得在新的

数集中,该问题能得到圆满解决呢?

数系的扩充
问题1:方程 问题2:方程

复数的概念
的实根是什么?

x ?1 ? 0
2

x2 ? 1 ? 0 的实根是什么?

. 我们已经知道:
对于一元二次方程 x2

? 1 ? 0没有实数根

x

2

? ?1

数系的扩充

复数的概念

问题2:方程 x 2 ? 1 ? 0 的实 根是什么?
问题1:方程

x ?1 ? 0
2

的实根是什么?

数的概念的扩展

探究新课
并且规定: (1)i2??1; (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运 算时,原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结 合率和分配率)仍然成立。

现在我们就引入这样一个数 i ,把 i 叫做虚数单位,

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集, 一般用字母C表示 .

复数的代数形式: 通常用字母 z 表示,即

z ? a ? bi (a ? R, b ? R)
实部 虚部

其中

i 称为虚数单位。
R? C ?

讨 论?

复数集C和实数集R之间有什么关系?

?实数b ? 0 ? 复数a+bi ? ?纯虚数a ? 0,b ? 0 ?虚数b ? 0?非纯虚数a ? 0,b ? 0 ? ?

【例1】.说明下列数中,那些是实数,哪些 是虚数,哪些是纯虚数,并指出复数的实 部与虚部。

(1)3 ? 4i
(4) ? 0.5i

3 (2) ? i 2

(3) ? 7

(5)3i

2

(6)1 ? 2i

2

练一练 实数m取什么值时,复数

z ? m ? 1 ? (m ? 1)i
m ? 1时,复数z 是实数.

是(1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?
解: (1)当 m ? 1 ? 0,即 (2)当 m ? 1 ? 0 ,即 (3)当 ?m ? 1 ? 0

m ? 1 时,复数z 是虚数.
即 纯虚数.

? ?m ? 1 ? 0

m ? ?1时,复数z 是

如果两个复数的实部和虚部分别相等,那 么我们就说这两个复数相等.
若a, b, c, d ? R,

?a ? c a ? bi ? c ? di ? ? ?b ? d

【例2]设

x, y ? R, 并且 ( x ? 2) ? 2 xi ? ?3 y ? ( y ?1)i

求 x, y 的值 解:由复数相等的定义,得方程组

? x ? 2 ? ?3 y ? ??2 x ? y ?1

?x ? 1 解得 ? ? y ? ?1

数系的扩充

复数的概念

动手实践.

已知 (2 x ? 1) ? i

? y ? (3 ? y )i ,其中x, y ? R

x与 y .

解:由复数相等的定义,得方程组

?2 x ? 1 ? y ? ?1 ? ?( 3 ? y )

5 解得 x ? , y ? 4 2

数系的扩充

复数的概念

1.虚数单位i的引入; 2.复数有关概念:
复数的代数形式: z ? a ? bi (a ? R, b ? R)

复数的实部 、虚部
虚数、纯虚数 复数相等 a ? bi
?a ? c ? c ? di ? ? ?b ? d


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