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最新高考数学(理)一轮复习第九章 解析几何达标测试(四十六) 双曲线习题及答案

课时达标检测(四十六) 双 曲 线 x2 y2 1.已知双曲线 2- =1(a>0)的离心率为 2,则 a=( a 3 A.2 B. 6 2 C. 5 2 D.1 ) x2 y2 3 解析:选 D 因为双曲线的方程为 2- =1,所以 e2=1+ 2=4,因此 a2= a 3 a 1,a=1.选 D. x2 y2 2.若双曲线 2- 2=1 的离心率为 3,则其渐近线方程为( a b A.y=±2x 1 C.y=± x 2 解析:选 B B.y=± 2x D.y=± 在双曲线中离心率 e= = 2 x 2 ) c a b ?b? 1+? ?2= 3,可得 = 2,故 a ?a? 双曲线的渐近线方程是 y=± 2x. x2 y2 3.双曲线 2- 2=1 的两条渐近线互相垂直,那么它的离心率为( a b A.2 C. 2 解析:选 C B. 3 D. 3 2 ) ? b? b 2 2 2 2 由渐近线互相垂直可知?- ?· =-1,即 a =b ,即 c =2a , ? a? a 即 c= 2a,所以 e= 2. x2 y2 4.(2016·天津高考)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的焦距为 2 5,且 a b 双曲线的一条渐近线与直线 2x+y=0 垂直,则双曲线的方程为( A. -y =1 4 ) x2 2 B.x - =1 4 2 y2 3x2 3y2 C. - =1 20 5 解析:选 A 3x2 3y2 D. - =1 5 20 由焦距为 2 5,得 c= 5.因为双曲线的一条渐近线与直线 2x b 1 +y=0 垂直,所以 = .又 c2=a2+b2,解得 a=2,b=1,所以双曲线的方程为 a 2 x2 4 -y2=1. 5.(2016·北京高考)双曲线 2- 2= 1(a>0,b>0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA,OC 所在的直线,点 B 为该双曲线的焦点.若正方形 OABC 的边长为 2, 则 a=________. 解析:不妨令 B 为双曲线的右焦点,A 在第一象限,则 双曲线如图所示. ∵四边形 OABC 为正方形,|OA|=2, π ∴c=|OB|=2 2,∠AOB= . 4 ∵直线 OA 是渐近线,方程为 y= x,∴ =tan∠AOB=1,即 a=b. 又∵a2+b2=c2=8,∴a=2. 答案:2 x2 y2 a b b a b a 一、选择题 1. 若实 k 满足 0<k<9, 则曲线 A.离心率相等 C.实半轴长相等 解析:选 D - =1 与曲线 - =1 的( 25 9-k 25-k 9 B.虚半轴长相等 D.焦距相等 x2 y2 x2 y2 ) 由 0<k<9 ,易知两曲线均为双曲线且焦点都在 x 轴上,由 25+9-k= 25-k+9,得两双曲线的焦距相等. 2.已知双曲线 C 的渐近线方程为 y=±2x,且经过点(2,2),则 C 的方程为 ( ) A. - =1 3 12 x2 y2 B. x2 12 - =1 3 y2 C. - =1 3 12 解析:选 A y2 x2 D. y2 12 - =1 3 x2 由题意,设双曲线 C 的方程为 -x2=λ(λ≠0),因为双曲线 4 y2 22 y2 2 2 C 过点(2,2),则 -2 =λ,解得 λ=-3,所以双曲线 C 的方程为 -x =-3, 4 4 即 - =1. 3 12 x2 y2 x2 y2 3.设 F1,F2 分别是双曲线 2- 2=1 的左、右焦点,若双曲线上存在点 A, a b 使∠F1AF2=90°且|AF1|=3|AF2|,则双曲线的离心率为( A. 5 2 15 2 B. 10 2 ) C. D. 5 因为∠F1AF2=90°,故|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2=4c2,又|AF1| 2 2 解析:选 B c2 =3|AF2|,且|AF1|-|AF2|=2a,所以|AF1|=3a,|AF2|=a,则 10a =4c ,即 2= a 5 c 10 ,故 e= = (负值舍去). 2 a 2 4.设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点是 F,左、右顶点分别是 A1,A2, 过 F 作 A1A2 的垂线与双曲线交于 B, C 两点.若 A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线 的斜率为( A.± 1 2 ) B.± 2 2 x2 y2 a b C.±1 解析:选 C D.± 2 b? b ? 由题设易知 A1(-a,0),A2(a,0),Bc, ,C?c,- ?.∵A1B⊥ a? a ? 2 2 b2 - a b A2C,∴ · =-1,整得 a=b.∵渐近线方程为 y=± x,即 y=±x,∴ c+a c-a a 渐近线的斜率为±1. b2 a 5.(2017·江南十校联考)已知 l 是双曲线 C: - =1 的一条渐近线,P 2 4 是 l 上的一点,F1,F2 分别是 C 的左、右焦点,若 PF1 · PF2 =0,则点 P 到 x 轴的距离为( A. 2 3 3 ) B. 2 2 6 3 x2 y2 C.2 解析:选 C D. 由题意知 F1(- 6,0),F2( 6,0),不妨设 l 的方程为 y= 2 x,点 P(x0, 2x0),由 PF1 · PF2 =(- 6-x0,- 2x0)·( 6-x0,- 2x0) =3x2 2,故点 P 到 x 轴的距离为 2|x0|=2,故选 C. 0-6=0,得 x0=± x2 y2 6.已知双曲线 2- 2=1 与直线 y=2x 有交点,则双曲线离心率的取值范围 a b 为( ) A.(1, 5) C.( 5,+∞) 解析:选 C B.(1, 5 ] D.[ 5,+∞) ∵双曲线的一条渐近线方程为 y= x,则由题意得 >2,∴e b a b a = = c

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