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高中数学人教版选修4-5课件:第二讲2.1比较法_图文

第二讲 证明不等式的基本方法 2.1 比较法 [学习目标] 与步骤(重点). 较法. 1.理解用比较法证明不等式的一般方法 2.了解比较法分为作差比较法、作商比 3.会用比较法证明具体的不等式(重点、难点). [知识提炼· 梳理] 1.作差比较法 要比较两个实数的大小,只要考查它们的差的符号: a>b?a-b>0; a=b?a-b=0; a<b?a-b<0. 2.作商比较法 a a (1)理论依据:当 b>0 时,a>b?b>1;a<b?b<1; a a=b?b=1. a (2)定义:证明 a>b(b>0),只要转化为证明b>1, 这种方法称为作商比较法. 温馨提示 使用作商比较法证明不等式 a>b 时,一 定要注意 b>0 这个前提条件. [思考尝试· 夯基] 1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”). a (1)当 b>0 时,a>b?b>1.( a (2)当 b>0 时,a<b?b<1.( ) ) ) a (3)当 a>0,b>0 时,b>1?a>b.( a (4)当 ab>0 时, >1?a>b.( ) b 解析:对于(1),当 b>0 时,a>b,两边同除以 b, a 所以b>1,所以(1)正确;对于(2),当 b>0 时,a<b,两 a 边同除以 b,所以b<1,所以(2)正确;对于(3),当 a>0, a b>0 时,b>1,两边同乘以 b,所以 a>b,所以(3)正确; 对于(4),当 a>0,b>0 时成立,当 a<0,b<0 时, 不成立. 答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 2. 若 x, y∈R, 记 ω=x2+3xy, u=4xy-y2, 则( A.ω >u C.ω ≥u 解析:因为 以 ω≥u. 答案:C B.ω <u D.无法确定 ) ? ?2 3y2 y ω-u=x2-xy+y2=?x-2? + ≥0,所 4 ? ? 3.已知 a,b 都是正实数,则下列关系式成立的是 ( ) A.aabb=abba C.aabb<abba B.aabb≥abba D.aabb≤abba 解析:因为 a,b∈R+,故 abba>0. aabb ?a?a ?b?b ?a?a-b 又abba=?b? ·?a? =?b? , ? ? ? ? ? ? a aabb 当 a>b>0 时, >1,且 a-b>0,故 b a>1; b ab a aabb 当 b>a>0 时,0<b<1,且 a-b<0,故abba>1; aabb 当 a=b 时,abba=1. 答案:B 4. 设 P=a2b2+5,Q=2ab-a2-4a,若 P>Q,则实 数 a,b 满足的条件为________. 解析:P-Q=a2b2+5-2ab+a2+4a=(ab-1)2+(a +2)2,因为 P>Q?P-Q>0.所以 ab≠1 或 a≠-2. 答案:ab≠1 或 a≠-2 b b+m 5.设 a,b,m 均为正数,且a< ,则 a 与 b 的 a+ m 大小关系是________. b+m b m(a-b) 解析: -a= >0. a+ m a(a+m) 又 a,b,m 为正数, 所以 a(a+m)>0,m>0,因此 a-b>0,则 a>b. 答案:a>b 类型 1 用作差比较法证明不等式 [典例 1] - 已知 a,b 是互不相等的正数,n>1,求证: - an+bn>an 1b+abn 1. 证明:(an+bn)-(an-1b+abn-1)=(a-b)(an-1-bn-1). 因为 a,b∈(0,+∞),n>1,n-1>0,a≠b, 所以当 a>b 时,an-1>bn-1, 所以 a-b>0,an-1-bn-1>0, 所以(a-b)(an-1-bn-1)>0,即 an+bn>an-1b+abn-1. 当 a<b 时,an-1<bn-1, 所以 a-b<0,an-1-bn-1<0, 所以(a-b)(an-1-bn-1)>0, 即 an+bn>an-1b+abn-1. 因此总有 an+bn>an-1b+abn-1. 归纳升华 1.作差比较法的一般步骤为:作差→变形(因式分解 或配方)→判断符号→下结论,有时需要分类讨论. 2.作差比较法把比较两个实数(或式)的大小转化为 判断两个实数(或式)的差的符号.其中,作差后如何变形 是证明的关键,对差进行变形时要变彻底, 常用的变形手段有配方、 通分、 有理化和分解因式等, 即可以运用一切有效的恒等变形方法.为便于判断 “差 式”的符号, 常将“差式”变形为一个常数、 几个因式的 积或一个分式等等. 总之, 通过变形只要能够判断出差的 符号是正或负即可. [变式训练] ab2+bc2+ca2. 已知 a>b>c,证明:a2b+b2c+c2a> 证明: a2b + b2c + c2a - ab2 - bc2 - ca2 = (a2b - bc2) + (b2c-ab2)+(c2a-ca2)=b(a2-c2)+b2(c-a)+ac(c-a)= (a-c)(ba+bc-b2-ac)=(a-c)(a-b)(b-c). 因为 a>b>c,所以 a-c>0,a-b>0,b-c>0, 所以(a-c)(a-b)(b-c)>0, 即 a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2. 类型 2 作商比较法证明不等式(自主研析) a+ b [典例 2] 已知 a,b∈R ,求证:aabb≥(ab) + 2 . 解: ab a b a+b a-b b-a =a 2 ·b ?a? 2 =? ? 2 ?b? a-b . (ab) 当 a=b 2 ?a? 时,?b? 2 ? ? a-b =1; a-b a 当 a>b 时,b>1, >0, 2 ?a? 由指数函数的性质知?b? 2 ? ? a-b > 1, a-b a 当 a<b 时,0< <1, <0, b

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