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《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分54抛物线


开卷速查(五十四)

抛物线

A 级 基础巩固练 1.已知点 A(2,0),抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F,射线 FA 与抛物 线 C 相交于点 M,与其准线相交于点 N,则|FM|∶|MN|=( A.2∶ 5 C.1∶ 5 B.1∶2 D.1∶3 )

解析:射线 FA 的方程为 x+2y-2=0(x≥0). 1 如图所示,知 tanα=2, 5 ∴sinα= 5 . 过 M 点作准线的垂线,交准线于点 G, 由抛物线的定义知|MF|=|MG|, |FM| |MG| 5 1 ∴|MN|=|MN| =sinα= 5 = .故选 C. 5 答案:C 2.O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2=4 2x 的焦点,P 为 C 上一 点,若|PF|=4 2,则△POF 的面积为( A.2 C.2 3 )

B.2 2 D.4

解析:利用|PF|=xP+ 2=4 2,可得 xP=3 2,

1 ∴yP=± 2 6.∴S△POF=2|OF|· |yP|=2 3. 故选 C 项. 答案:C 3.设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF| =5,若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为( A.y2=4x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x )

B.y2=2x 或 y2=8x D.y2=2x 或 y2=16x

p 解析:设点 M 的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得|MF|=x0+2 p =5,则 x0=5-2.
?p ? 又点 F 的坐标为 ?2,0? ,所以以 MF 为直径的圆的方程为 (x- ? ?

p? ? ?x- ?+(y-y0)y=0. x0)· 2
? ?

将 x=0,y=2 代入得 px0+8-4y0=0, y2 0 即 2 -4y0+8=0,所以 y0=4. p? ? 由 y2 0=2px0,得 16=2p?5-2?,
? ?

解之得 p=2,或 p=8. 所以 C 的方程为 y2=4x 或 y2=16x.故选 C. 答案:C 4.点 M(5,3)到抛物线 y=ax2 的准线的距离为 6,那么抛物线的方 程是( )

A. y=12x2 B. y=12x2 或 y=-36x2 C. y=-36x2

1 1 D. y=12x2 或 y=-36x2 1 1 解析:将 y=ax2 化为 x2=ay,当 a>0 时,准线 y=-4a,由已知得 1 1 1 1 3+4a=6,∴a=12,∴a=12.当 a<0 时,准线 y=-4a,由已知得|3 1 1 1 x2 1 +4a|=6, ∴a=-36或 a=12(舍). ∴抛物线方程为 y=12或 y=-36x2, 故选 D. 答案:D 5.设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点 F,且和 y 轴 交于点 A.若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( A.y2=± 4x C.y2=4x
?

)

B.y2=± 8x D.y2=8x
?

?a ? 解析:由抛物线方程知焦点 F?4,0?,

a? a? ? ? ∴直线 l 为 y=2?x-4?,与 y 轴交点 A?0,-2?.
? ? ? ?

1 ∴S△OAF=2· |OA|· |OF| 1 a a a2 =2· |-2|· |4|=16=4.

∴a=± 8. ∴抛物线方程为 y2=± 8x,故选 B. 答案:B 6.已知直线 y=k(x-m)与抛物线 y2=2px(p>0)交于 A、B 两点, 且 OA⊥OB,OD⊥AB 于 D.若动点 D 的坐标满足方程 x2+y2-4x=0, 则 m=( A.1 C.3 ) B.2 D.4 则

?b=-1, k 解析:设点 D(a,b),则由 OD⊥AB 于 D,得?a ?b=k?a-m?,

km b=- ,a=-bk;又动点 D 的坐标满足方程 x2+y2-4x=0,即 1+k2 a2+b2-4a=0,将 a=-bk 代入上式,得 b2k2+b2+4bk=0,即 bk2+b k3 m km 2 +4k=0,- 2- 2+4k=0,又 k≠0,则(1+k )(4-m)=0,因 1+k 1+k 此 m=4,故选 D. 答案:D 7.已知动圆圆心在抛物线 y2=4x 上,且动圆恒与直线 x=-1 相 切,则此动圆必过定点__________. 解析:因为动圆的圆心在抛物线 y2=4x 上,且 x=-1 是抛物线 y2 =4x 的准线,所以由抛物线的定义知,动圆一定过抛物线的焦点(1,0). 答案:(1,0) 8.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交 y 轴于点 A,抛物线上有一 → = OA → + OF → (O 为 坐 标 原 点 ) , 则 △ BOF 的 面 积 是 点 B 满 足 OB __________.

解析: 由题可知 F(1,0), 可设过焦点 F 的直线方程为 y=k(x-1)(可 知 k 存在),则 A(0,-k), ∴B(1,-k),由点 B 在抛物线上,得 k2=4,k=± 2,即 B(1,± 2), 1 1 S△BOF=2· |OF|· |yB|=2×1×2=1. 答案:1 9.已知直线 y=k(x-2)(k>0)与抛物线 y2=8x 相交于 A,B 两点, F 为抛物线的焦点,若|FA|=2|FB|,则 k 的值为__________. 解析:直线 y=k(x-2)恰好经过抛物线 y2=8x 的焦点 F(2,0),由
2 ? ?y =8x, ? 可得 ky2-8y-16k=0, 因为|FA|=2|FB|, 所以 yA=-2yB, ? ?y=k?x-2?,

8 8 2 则 yA+yB=-2yB+yB=k,所以 yB=-k ,yA· yB=-16,所以-2yB =- 16,即 yB=± 2 2,又 k>0,故 k=2 2. 答案:2 2 10.已知抛物线 E:x2=2py(p>0),直线 y=kx+2 与 E 交于 A、B →· → =2,其中 O 为原点. 两点,且OA OB (1)求抛物线 E 的方程; (2)点 C 坐标为(0,-2),记直线 CA,CB 的斜率分别为 k1,k2,证
2 2 明:k1 +k2 -2k2 为定值.

解析:(1)将 y=kx+2 代入 x2=2py,得 x2-2pkx-4p=0. 其中 Δ=4p2k2+16p>0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=2pk,x1x2=-4p.
2 x1 x2 2 → → OA· OB=x1x2+y1y2=x1x2+2p· 2p=-4p+4.

1 由已知,-4p+4=2,p=2. 所以抛物线 E 的方程 x2=y. (2)由(1)知,x1+x2=k,x1x2=-2.
2 y1+2 x1 +2 x 2 1-x1x2 k1= x = x = x =x1-x2, 1 1 1

同理 k2=x2-x1,
2 2 2 2 所以 k2 1+k2-2k =2(x1-x2) -2(x1+x2)

=-8x1x2=16. B级 能力提升练

11.已知 P 是抛物线 y2=4x 上一动点,则点 P 到直线 l:2x-y+3 =0 和 y 轴的距离之和的最小值是( A. 3 C.2 ) B. 5 D. 5-1

解析:由题意知,抛物线的焦点为 F(1,0).设点 P 到直线 l 的距离 为 d,由抛物线的定义可知,点 P 到 y 轴的距离为|PF|-1,所以点 P 到直线 l 的距离与到 y 轴的距离之和为 d+|PF|-1.易知 d+|PF|的最小 值为点 F 到直线 l 的距离,故 d+|PF|的最小值为 以 d+|PF|-1 的最小值为 5-1. 答案:D x2 y2 12.已知抛物线 y =2px 的焦点 F 与双曲线 7 - 9 =1 的右焦点重
2

|2+3| = 5,所 2 +?-1?2
2

合, 抛物线的准线与 x 轴的交点为 K, 点 A 在抛物线上, 且|AK|= 2|AF|, 则△AFK 的面积为( A.4 C.16 ) B.8 D.32

解析:由题可知抛物线焦点坐标为 F(4,0).过点 A 作直线 AA′垂 直于抛物线的准线,垂足为 A′,根据抛物线定义知,|AA′|=|AF|, 在△AA′K 中,|AK|= 2|AA′|,故∠KAA′=45° ,所以直线 AK 的倾 斜角为 45° ,直线 AK 的方程为 y=x+4,代入抛物线方程 y2=16x 得 y2=16(y-4),即 y2-16y+64=0,解得 y=8.所以△AFK 为直角三角 1 形,故△AFK 的面积为2×8×8=32. 答案:D

13.如图所示,抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点 P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上. (1)写出该抛物线的方程及其准线方程; (2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 y1+y2 的值及直线 AB 的斜率. 解析:(1)由已知条件,可设抛物线的方程为 y2=2px(p>0).∵点 P(1,2)在抛物线上,∴22=2p×1,解得 p=2.故所求抛物线的方程是 y2 =4x,准线方程是 x=-1. (2)设直线 PA 的斜率为 kPA,直线 PB 的斜率为 kPB,则 kPA= (x1≠1),kPB= y2-2 (x ≠1), x2-1 2 y1-2 x1-1

∵PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补,∴kPA=-kPB. 由 A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得
2 y1 =4x1,① 2 y2 =4x2,②

y1-2 y2-2 ∴1 =-1 ,∴y1+2=-(y2+2). 2 2 4y1-1 4y2-1 ∴y1+y2=-4.
2 2 由①-②得,y1 -y2 =4(x1-x2),

∴kAB=

y1-y2 4 = =-1(x1≠x2). x1-x2 y1+y2

14.[2014· 安徽]如图,已知两条抛物线 E1:y2=2p1x(p1>0)和 E2: y2=2p2x(p2>0),过原点 O 的两条直线 l1 和 l2,l1 与 E1,E2 分别交于 A1,A2 两点,l2 与 E1,E2 分别交于 B1,B2 两点.

(1)证明:A1B1∥A2B2; (2)过 O 作直线 l(异于 l1,l2)与 E1,E2 分别交于 C1,C2 两点.记△ S1 A1B1C1 与△A2B2C2 的面积分别为 S1 与 S2,求S 的值.
2

解析:(1)设直线 l1,l2 的方程分别为 y=k1x,y=k2x(k1,k2≠0),

? ?y=k1x, ?2p1 2p1? 则由? 2 得 A1? k2 , k ?, ? 1 1 ? ?y =2p1x, ? ?y=k1x, ? ?2p2 2p2? 由? 2 得 A2? k2 , k ?. ? 1 1 ? ?y =2p2x, ? ?2p1 2p1? ?2p2 2p2? 同理可得 B1? k2 , k ?,B2? k2 , k ?. ?
2 2

?

?

2

2

?

?2p1 2p1 2p1 2p1? 所以A→ 1B1=? k2 - k2 , k - k ? ?
2 1 2 1

?

?1 1 1 1? =2p1?k2-k2,k -k ?, ?
2 1 2 1?

?2p2 2p2 2p2 2p2? A→ 2B2=? k2 - k2 , k - k ? ?
2 1 2 1

?

?1 1 1 1? =2p2?k2-k2,k -k ?. ?
2 1 2 1?

p1 → 故A→ 1B1= A2B2,所以 A1B1∥A2B2. p
2

(2)由(1)知 A1B1∥A2B2,同理可得 B1C1∥B2C2,C1A1∥C2A2. 所以△A1B1C1∽△A2B2C2.
? ? S1 ?|A→ 1B1|?2 因此S =? ?. → 2 | A B | ? 2 2?

p1 → |A→ p1 1B1| → 又由(1)中的A1B1=p A2B2知 =p . 2 2 |A→ 2B2| S1 p2 1 故S =p2. 2 2


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