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专题五 解析几何知识点归纳


专题五 解析几何知识点归纳
1.直线的倾斜角与斜率

?直线的倾斜角的范围: ? ? [0, ? ) ?直线的倾斜角与斜率关系: k ? tan? (其中? ? )
规律:当 ? ? (0, 当? ?(

?

?
2

2

)时 , k ? 0, 倾斜角越大,斜率越大,反之亦成立

?
2

, ? )时 , k ? 0, 倾斜角越大,斜率越大,反之亦成立

当 ? ? 0 时,斜率 k ? 0 ,当 ? ?

?
2

时,没有斜率

③过 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 两点的直线斜率公式: k ? 2.直线的方程的几种形式 名称 点斜式 斜截式 方程形式

y1 ? y2 (其中x1 ? x2 ) x1 ? x2
适用的直线(局限性)

y ? y0 ? k ( x ? x0 )
不表示垂直于 x 轴的直线

y ? kx ? b

两点式

y ? y1 x ? x1 ? y1 ? y2 x1 ? x2

不表示垂直于 x , y 轴的直线

截距式 一般式

x y ? ?1 a b
Ax ? By ? C ? 0 ( A2 ? B 2 ? 0 )

不表示垂直于 x , y 轴与过原点的直线 直线方程最终都可以化为一般式

(a,0) 的直线可设为 x ? a ? my 即x ? my ? a(其中 m ? 特别提示:过点 P
对斜率是否存在的讨论。 3.两直线的位置关系: (1)利用斜率判断 设直线 l1 : y ? k1 x ? b1和直线l2 : y ? k2 x ? b2 , ? l1 // l2 ? k1 ? k2且b1 ? b2 注:当两直线都没用斜率时也有 l1 // l2

1 ) ,这样设可避免 k

? l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1 注: 当一条直线没有斜率, 而另一条直线斜率为 0 时, 也有 l1 ? l2 (2)利用一般式方程的系数判断 设直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0和直线l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

A1 B1 C1 ? ? ( A2 ? B2 ? C2 ? 0) A2 B2 C2 ? l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 (不需要讨论)
? l1 // l2 ? 4.距离公式:

注:当 A2 ? B2 ? C2 ? 0 时另外考虑

( x2 , y2 )的距离 d ? ?点到点的距离:点 P 1 ( x1 , y1 ) 到点 P2
1

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2

?点到直线的距离:点 P ( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 距离 d ?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2 | C1 ? C2 | A2 ? B 2

?平行线间的距离:设 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 , l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 则 d ? 5.圆的方程 (1)圆的标准方程: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 (r ? 0)
2 2

其中圆心 C ( a, b) ,半径 r

(2)圆的一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0(其中D2 ? E 2 ? 4F ? 0)

? x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ? ( x ?

D 2 E D 2 ? E 2 ? 4F ) ? ( y ? )2 ? 2 2 4

?圆心C (?

D E D 2 ? E 2 ? 4F ,? ),半径r ? 2 2 2
代数法(把直线方程代入圆的方程,

(3)直线与圆的位置关系 位置关系 相 离 相 切 相 交 弦 长 几何法(利用弦心距 d 与半径 r 的大小) 消去 x 或 y ,利用 ? 判断)

d ?r d ?r d ?r
l r 2 ? d 2 ? ( ) 2 其中 l 指弦长 2

??0 ??0 ??0
l ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

注:研究直线与圆的位置关系,常用几何法 ① 圆上一点 P( x0 , y0 ) 引圆 C 的切线有且只有一条 , ...... 当切线斜率不存在时,切线方程为 x ? x0 当切线斜率存在时,切线方程为 y ? y0 ? ?

1 ( x ? x0 ) kCP

② 圆外一点 P( x0 , y0 ) 引圆 C 的切线有 两 条 ,可先设切线方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) . . . 然后利用圆心 C 到切线的距离 d 等于半径 r (易忽略了斜率不存在的那条 ) ............

③ 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则以 AB 为直径的圆的方程为:

( x ? x1 )(x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0
证明:设 M ( x, y ) 为所求圆上的任意一点, AM ? ( x ? x1, y ? y1 ) , BM ? ( x ? x2 , y ? y2 ) 由 AM ? BM ? 0 易得: ( x ? x1 )(x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 即为所求圆的方程。

2

(4)圆与圆的位置关系 位置关系 图形
R r

几何法

公切线条数

外 离

d

d ? R?r

4

R

外 切

r d

d ? R?r

3

R

相 交

r d

R?r ? d ? R?r

2

内切

d

d ? R-r

1

内含

d

d ? R-r

0

重要知识:设圆 C1 : x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 ---?,
2 2

N

圆 C2 : x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 --?
2 2

M

当两圆相交时,公共弦 MN 所在的直线方程求法:
2 2 将两圆方程相减, 即?-?消去 x , y 项, 得: Ax ? By ? C ? 0 ---?,

此方程就是公共弦 MN 所在的直线的方程,

下面解释原因:

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 显然 M , N 符合方程?即: ?

? Ax1 ? By1 ? C ? 0 ? Ax2 ? By2 ? C ? 0

由两点 M , N 确定的直线有且只有一条,方程?表示的就是一条直线,故公共弦 AB 所在的直 线的方程就是 Ax ? By ? C ? 0

3

6.椭圆的定义及其性质 ?定义:
M

| MF1 | ? | MF2 |? 2a(其中2a ?| F1F2 |? 2c)
F1 F2

?标准方程及其性质:

A2
B2

F2
b c a F2 A2

c B1 F1

a b B2

图形

A1 F1

O B1

A1

标准方程

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

焦点

F1 (?c,0), F2 (c,0) 焦距 | F1F2 |? 2c A1 (?a,0), A2 (a,0) B1 (?a,0), B2 (a,0)

F1 (0,?c), F2 (0, c) 焦距 | F1F2 |? 2c A1 (?a,0), A2 (a,0) B1 (?a,0), B2 (a,0)
长轴 | A1 A2 |? 2a , 短轴 | B1 B2 |? 2b

顶点 长轴 | A1 A2 |? 2a , 短轴 | B1 B2 |? 2b 范围 性 质 对称性
a, b, c 的关系

? a ? x ? a,?b ? y ? b

? b ? x ? b,?a ? y ? a

关于 x轴, y轴 及原点 O 对称

a2 ? b2 ? c2

离心率

c e ? ? (0,1) a
b a2 ? c2 ? ? ? 1 ? e2 ?离心率 ? 0,椭圆越圆,离心率 ? 1,椭圆越扁 a a2
过焦点且与长轴垂直的弦长即通径长 d ? 2

通径

b2 a

椭圆的性质要点:六点(4 个顶点+2 个焦点) 、两线(2 条对称轴) 、两形(?椭圆上任意
一点与两焦点构成的三角形,?原点、焦点与短轴顶点构成的三角形)

焦半径公式: 设 M ( x0 , y0 ) 为椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的任意一点, a2 b2

4

则 | MF1 |? a ? ex0 ,

| MF2 |? a - ex0 (左加右减)
2 2

| MF1 |? ( x0 ? c) ? y0
推导过程:

x ? ( x0 ? c) ? b (1 ? 02 ) a
2 2

2

c c ? ( x0 ? a) 2 ?| a ? x0 |? a ? ex ( 0 ? ? a ? x0 ? a ) a a
7.双曲线的定义及其性质 ?定义:
M F1 F2

|| MF1 | ? | MF2 ||? 2a(其中2a ?| F1F2 |? 2c)

?标准方程及其性质:
B2 c b a A2 F2 B1
FB 11 A2 O A1 F1 F2 c a b B 2

图形
F1 A1

标准方程

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

焦点

F1 (?c,0), F2 (c,0) 焦距 | F1F2 |? 2c A1 (?a,0), A2 (a,0)

F1 (0,?c), F2 (0, c) 焦距 | F1F2 |? 2c A1 (?a,0), A2 (a,0)
虚轴端点 B1 (?a,0), B2 (a,0) 实轴 | A1 A2 |? 2a , 虚轴 | B1 B2 |? 2b

顶点

虚轴端点 B1 (?a,0), B2 (a,0) 实轴 | A1 A2 |? 2a , 虚轴 | B1 B2 |? 2b

性 质

范围 对称性
a, b, c 的关系

x ? ?a或x ? a, y ? R

x ? R, y ? ?a或y ? a,

关于 x轴, y轴 及原点 O 对称

c2 ? a2 ? b2

离心率 渐近线

b b c2 ? a2 c ? e2 ? 1 ?离心率越大, 越大即张口越大 e ? ? (1,??) ? ? 2 a a a a
y?? b x a y?? a x b

通径

过焦点且与实轴垂直的弦长即通径长 d ? 2

b2 a

5

双曲线的性质要点:
(1)六点(2 个顶点+2 个焦点+2 个虚轴端点) 、四线(2 条对称轴+2 条渐近线) 、两形(?双 曲线上任意一点与两焦点构成的三角形,?原点、实轴顶点与虚轴端点构成的三角形)

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ? ? ( ? ? 0) 共渐近线的双曲线可设为 a 2 b2 a2 b2 bc bc ? ?b (3)在双曲线中,焦点到渐近线的距离 d ? c a2 ? b2
(2)与 双曲线 8.抛物线的定义及其性质 ?定义:
M' l d M

| MF |? d 定点 F 叫做抛物的焦点,定直线 l 叫做抛物的准线
F

准线 l ?标准方程及其性质:
M' M O F

M

M' O
M

F

M'
O

图形

F

O

M

F

M'

标准方程 焦点 准线方程 范围 对称性 顶点 离心率 通径

y 2 ? 2 px( p ? 0)

y 2 ? ?2 px( p ? 0)

x 2 ? 2 py( p ? 0)

x 2 ? ?2 py( p ? 0)

p F ( ,0) 2 p x?? 2
x ? 0, y ? R

F (?

p ,0) 2 p x? 2

p F (0, ) 2 p y?? 2
y ? 0, x ? R

p F (0,? ) 2 p y? 2
y ? 0, x ? R

x ? 0, y ? R

关于 x 轴对称 原点(0,0)

关于 y 轴对称

e ?1
过焦点且与对称轴垂直的弦长即通径长 d ? 2 p

抛物线的性质特点: (1)标准方程中,一次项定焦点,一次项系数符号定开口;
(2)焦点的非零坐标是一次项系数的 1/4,准线方程中的数是一次项系数的-1/4; (3)|MF|=d 利用此结论, 可实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间相互转化. (4)抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦 AB 性质: 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
2

? | AB |?| AF | ? | BF |? ( x1 ? ) ? ( x2 ? ) ? x1 ? x2 ? p
p2 ? x1 ? x2 ? , y1 ? y2 ? ? p 2 4

p 2

p 2

A'

A

圆心

?以 AB 为直径的圆与准线相切


1 1 2 ? ? | AF | | BF | p
6

F B' B

9.直线与圆锥曲线的位置关系 ?直线与圆锥曲线的位置关系可分为相交、相切、相离 判断方法: 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0( A2 ? B 2 ? 0), 圆锥曲线 C : f ( x, y) ? 0,由?

? Ax ? By ? C ? 0 ,即 ? f ( x, y) ? 0

2 将直线 l 方程与圆锥曲线 C 的方程联立,消去 y 得关于 x的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0

(当然, 也可以消去 x 得关于 y的一元二次方程), 通过一元二次方程的解的情况判断直线

l 与圆锥曲线 C 的位置关系,见下表:
2 方程 ax ? bx ? c ? 0 的解

位置关系 相交 相交 相切 相离

a?0

若曲线是双曲线,有 1 个解,直线与渐近线平行 若曲线是抛物线,有 1 个解,直线与对称轴平行

a?0

??0 ??0 ??0

两个不相等的解 两个相等的解 无实数解

?圆锥曲线的弦长公式
若直线 l 的斜率存在,不妨设直线方程为: y ? kx ? b ,圆锥曲线 C : f ( x, y ) ? 0 , 联立方程组 ?

? y ? kx ? m 2 ,消去 y 得关于 x的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 , ? f ( x, y ) ? 0

2 设直线 l 与曲线 C 的交点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 , x2 是方程 ax ? bx ? c ? 0 的两根,

记? ? b 2 ? 4ac
(1)由韦达定定理可得: x1 ? x2 ? ?

b , a

x1 ? x2 ?

c a

(2)弦长 | AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 | ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 若消去 x ,得关于 y的一元二次方程 ay2 ? by ? c ? 0 则 | AB |? 1 ?

? |a|

1 | y1 ? y2 | k2

? 1?

1 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 2 k

? 1?

1 ? k2 | a |

7

10.解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: ?直线 l1 , l 2 的倾斜角互补 ? k1 ? k2 ? 0 ? OP ? OQ(O为原点 ) ? OP ? OQ ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 (其中 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ) ?在 ?ABC中 , 给出?BAC ? 900 , 等于己知AB? AC ? 0 在 ?ABC中 , 给出?BAC为锐角 , 等于己知AB? AC ? 0 在 ?ABC中 , 给出?BAC为钝角 , 等于己知AB? AC ? 0

? ? ? MA MB ? ? ④给出 ? ? ? ? MP ,等于己知 MP 是 ?AMB 的平分线 ? MA MB ? ? ?
⑤在平行四边形 ABCD中,给出 ( AB ? AD) ? ( AB ? AD) ? 0 ,等于已知 ABCD是菱形; ⑥ 在平行四边形 ABCD中,给出 | AB ? AD |?| AB ? AD | ,等于已知 ABCD是矩形; ⑦ 在 ?ABC中,给出 OA ? OB ? OC ,等于已知 O 是 ?ABC 的外心(三角形外接圆的 圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点) ; ⑧ 在 ?ABC中,给出 OA ? OB ? OC ? 0 ,等于已知 O 是 ?ABC 的重心(三角形的重心是 三角形三条中线的交点) ; ⑨ 在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,等于已知 O 是 ?ABC 的垂心(三角 形的垂心是三角形三条高的交点) ; ⑩ 在 ?ABC中, 给出 OP ? OA ? 心; (11)在 ?ABC中,给出 AD ?
2 2 2

?(

AB AC ? ) (? ? R ? ) 等于已知 AP 通过 ?ABC的内 | AB | | AC |

1 AB ? AC ,等于已知 D 为 BC 边的中点; 2

?

?

8


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