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(课堂设计)2014-2015高中数学 1.3 三角函数的诱导公式(一)学案 新人教A版必修4

1.3

三角函数的诱导公式(一)
自主学习

知识梳理 1.设 α 为任意角,则 π +α ,-α ,π -α 的终边与 α 的终边之间的对称关系. 相关角 终边之间的对称关系 π +α 与 关于____对称; α -α 与 α 关于____对称; π -α 与 关于____对称. α 2.诱导公式一~四 (1) 公式一: sin(α + 2kπ ) = ______ , cos(α + 2kπ ) = ______ , tan(α + 2kπ ) = ________,其中 k∈Z. (2) 公式二: sin(π + α ) = ________ , cos(π + α ) = __________ , tan(π + α ) = ________. (3)公式三:sin(-α )=________,cos(-α )=__________,tan(-α )=________. (4) 公 式 四 : sin(π - α ) = ________ , cos(π - α ) = ________ , tan(π - α ) = __________. 自主探究 你能否利用 π +α 与 α 终边之间的对称关系, 从任意角三角函数的定义出发推导诱导 公式二吗?

对点讲练 知识点一 给角求值问题 求下列各三角函数值. 47π (1)sin(-1 200°);(2)cos ;(3)tan 945°. 6 例1

1

回顾归纳 此类问题是给角求值, 主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐 角的三角函数值求解.如果是负角,一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数,要记住 一些特殊角的三角函数值. 变式训练 1 求 sin 1 200°?cos 1 290°+cos(-1 020°)?sin(-1 050°)+tan(- 495°)的值.

知识点二 给值求值问题 例2 sin?3π -α ? sin?α -3π ?+cos?π -α ? 已知 =2,求 的值. cos?3π -α ? sin?-α ?-cos?π +α ?

回顾归纳 (1)诱导公式的使用将三角函数式中的角都化为单角. (2)弦切互化是本题的 一个重要技巧,值得关注. 3 ?π ? 变式训练 2 已知 cos? -α ?= , ?6 ? 3 5 π π ? +α ?-sin2?α - ?的值. 求 cos? ? ? 6? ? 6 ? ? ?

知识点三 化简三角函数式 例3 sin?-2π -θ ?cos?6π -θ ?tan?2π -θ ? 化简: . cos?θ -π ?sin?5π +θ ?

2

回顾归纳 解答此类题目的关键是正确运用诱导公式,如果含有参数 k(k 为整数)一般 需按 k 的奇、偶性分类讨论. sin[?k+1?π +θ ]?cos[?k+1?π -θ ] 变式训练 3 化简: (其中 k∈Z). sin?kπ -θ ??cos?kπ +θ ?

1.明确各诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将角转化为 0~2π 求值 公式二 将 0~2π 内的角转化为 0~π 之间的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 π 公式四 将角转化为 0~ 求值 2 2.诱导公式的记忆 这组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变, 符号看象限”. 其含义是诱导公式两边的函 数名称一致,符号则是将 α 看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α 看成锐角, 只是公式记忆的方便,实际上 α 可以是任意角. 课时作业 一、选择题 1.sin 585°的值为( ) 2 2 3 3 A.- B. C.- D. 2 2 2 2 sin?nπ +α ? 2.若 n 为整数,则代数式 的化简结果是( ) cos?nπ +α ? A.tan nα B.-tan nα C.tan α D.-tan α 3.记 cos(-80°)=k,那么 tan 100°等于( ) 2 2 1-k 1-k A. B.- C.

k k

1-k sin?α -5π ? 4.tan(5π +α )=m,则 的值为( ) cos?π +α ? A.m B.-m C.-1 D.1 1 ? π ? 5.若 sin(π -α )=log8 ,且 α ∈?- ,0?,则 cos(π +α )的值为( 4 ? 2 ? A. 5 3 B.- 5 3 C.± 5 3 D.以上都不对

1-k

2

D.-

k k

2

)

二、填空题 5π 2π ? π? 6.sin?- ?+2sin +3sin =______. 3 3 ? 3?

3

1+2sin 290°cos 430° 的化简结果是________. sin 250°+cos 790° 8.设 f(x)=asin(π x+α )+bcos(π x+β )+2,其中 a、b、α 、β 为非零常数.若 f(2 009)=1,则 f(2 010)=________. 7.代数式 三、解答题 2 9.若 cos(α -π )=- , 3 sin?α -2π ?+sin?-α -3π ?cos?α -3π ? 求 的值. cos?π -α ?-cos?-π -α ?cos?α -4π ?

10.已知 sin(α +β )=1,求证:tan(2α +β )+tan β =0.

§1.3

三角函数的诱导公式(一) 答案

知识梳理 1. 相关角 π +α 与 α -α 与 α π -α 与 α tan α α tan α -tan α -tan α 终边之间的对称关系 关于原点对称; 关于 x 轴对称; 关于 y 轴对称.

2.(1)sin α cos α (2)-sin α -cos (3)-sin α cos α (4)sin α -cos α 自主探究

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解 设 P(x,y)为角 α 终边上任一点, ∵角 α 与 π +α 终边关于原点对称. ∴P(x,y)关于原点的对称点 P′(-x,-y)位于角 π +α 的终边上. 2 2 ∴|OP′|=|OP|= x +y =r. 由任意角三角函数的定义知: -y sin(π +α )= =-sin α ,

r

-x cos (π +α )= =-cos α ,

r -y y tan(π +α )= = =tan α . -x x

借助任意角三角函数的定义同样可以推得公式三、公式四. 对点讲练 例 1 解 (1)sin(-1 200°)=sin(-4?360°+240°) =sin 240° =sin(180°+60°) 3 =-sin 60°=- ; 2 47π 11π 11π (2)cos =cos( +6π )=cos 6 6 6 π π 3 =cos(2π - )=cos = ; 6 6 2 (3)tan 945°=tan(2?360°+225°)=tan 225° =tan(180°+45°)=tan 45°=1. 变式训练 1 解 原 式 = sin(3?360° + 120°)?cos(3?360° + 210°) - cos(2?360°+300°)?sin(2?360°+330°)-tan(360°+135°) =sin(180°-60°)?cos(180°+30°)-cos(360°-60°)?sin(360°-30°)- tan(180°-45°) =-sin 60°?cos 30°+cos 60°?sin 30°+tan 45° 3 3 1 1 =- ? + ? +1 2 2 2 2 1 = . 2 sin?3π -α ? 例2 解 ∵ =2, cos?3π -α ? ∴tan(3π -α )=2,∴tan α =-2. sin?α -3π ?+cos?π -α ? ∵ sin?-α ?-cos?π +α ? -sin α -cos α sin α +cos α = = -sin α +cos α sin α -cos α 1+tan α = tan α -1 sin?α -3π ?+cos?π -α ? 1-2 1 ∴ = = . sin?-α ?-cos?π +α ? -2-1 3 π? ?5π ? 2? 变式训练 2 解 cos? +α ?-sin ?α - ? 6? ? 6 ? ? 5 π π ? ? ?? ? 2? =-cos?π -? +α ??-sin ? -α ? ? ? 6 ?? ?6 ?

5

?π ? ? 2?π =-cos? -α ?-sin ? -α ? ?6 ? ?6 ? 3 ? ? 3?2? =- -?1-? ? ? 3 ? ? 3 ??
3 2 2+ 3 - =- . 3 3 3 -sin?2π +θ ??cos θ ??-tan θ ? 例 3 解 原式= cos?π -θ ??sin?π +θ ? sin θ ?cos θ ?tan θ = ?-cos θ ???-sin θ ? sin θ ?cos θ ?tan θ = sin θ ?cos θ =tan θ 变式训练 3 解 当 k 为偶数时, 不妨设 k=2n,n∈Z,则 sin[?2n+1?π +θ ]?cos[?2n+1?π -θ ] 原式= sin?2nπ -θ ??cos?2nπ +θ ? sin?π +θ ??cos?π -θ ? = -sin θ ?cos θ -sin θ ??-cos θ ? = -sin θ ?cos θ =-1. 当 k 为奇数时,设 k=2n+1,n∈Z,则 sin[?2n+2?π +θ ]?cos[?2n+2?π -θ ] 原式= sin[?2n+1?π -θ ]?cos[?2n+1?π +θ ] sin[2?n+1?π +θ ]?cos[2?n+1?π -θ ] = sin?π -θ ??cos?π +θ ? sin θ ?cos θ = sin θ ??-cos θ ? =-1. ∴上式的值为-1. 课时作业 =- 1.A [sin 585°=sin(360°+225°)=sin(180°+45°)=- α =tan α ; α ? =tan α .] ? 80°=k, 2 1-k 2 ∴sin 80°= 1-k .∴tan 80°= . sin 2.C [若 n 为偶数,则原式= cos sin?π +α 若 n 为奇数,则原式= cos?π +α 3.B [∵cos(-80°)=k,∴cos 2 .] 2

k

∴tan 100°=-tan 80°=-

1-k

2

k

.]

4.A [∵tan(5π +α )=tan α =m,∴tan α =m. -sin α 原式= =tan α =m.] -cos α 2 2 5.B [∵sin(π -α )=sin α =log2 2- =- , 3 3

6

∴cos(π +α )=-cos α =- 1-sin α 4 5 =- 1- =- .] 9 3 6.0 π? π 2π ? 解析 原式=-sin +2sin?2π - ?+3sin 3 3 3 ? ? 3 3 3 -2? +3? =0. 2 2 2 7.-1 解析 原式 1+2sin?180°+110°??cos?360°+70°? = sin?180°+70°?+cos?2?360°+70°? =- = = 1-2sin 110°cos 70° cos 70°-sin 70°

2

1-2sin 70°cos 70° cos 70°-sin 70° |sin 70°-cos 70°| = cos 70°-sin 70° =-1. 8.3 解析 f(2 009)=asin(2 009π +α )+bcos(2 009π +β )+2 =asin(π +α )+bcos(π +β )+2 =2-(asin α +bcos β )=1. ∴asin α +bcos β =1. f(2 010)=asin(2 010π +α )+bcos(2 010π +β )+2 =asin α +bcos β +2=3. -sin?2π -α ?-sin?3π +α ?cos?3π -α ? 9.解 原式= -cos α -?-cos α ?cos α sin α -sin α cos α = 2 -cos α +cos α sin α ?1-cos α ? = -cos α ?1-cos α ? =-tan α . 2 ∵cos(α -π )=cos(π -α )=-cos α =- , 3 2 ∴cos α = .∴α 为第一象限角或第四象限角. 3 2 当 α 为第一象限角时,cos α = , 3 sin α = 1-cos α =
2

5 , 3

sin α 5 5 ∴tan α = = ,则原式=- . cos α 2 2 2 当 α 为第四象限角时,cos α = , 3 sin α =- 1-cos α =-
2

5 , 3

7

sin α 5 5 ∴tan α = =- ,则原式= . cos α 2 2 10.证明 ∵sin(α +β )=1, π ∴α +β =2kπ + (k∈Z), 2 π ∴α =2kπ + -β (k∈Z). 2 tan(2α +β )+tan β π ? ? ? ? =tan?2?2kπ + -β ?+β ?+tan β 2 ? ? ? ? =tan(4kπ +π -2β +β )+tan β =tan(4kπ +π -β )+tan β =tan(π -β )+tan β =-tan β +tan β =0, ∴原式成立.

8