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[中学联盟]黑龙江省虎林高级中学高中数学选修4-5第二讲:证明综合法1(gai)


a ?b?b?a ①、对称性:_____________
a ? b, b ? c ? a ? c ②、传递性:______________
a ? b, c ? R ,a+c>b+c ③ 、___________
(可加性)

复习1: 不等式的性质

④ 、a>b, c ? 0 , 那么ac>bc; (可乘性)

a>b, c ? 0,那么ac<bc

(乘法法则) (乘方性)

⑤、a>b>0,那么an>bn.(条件 n ? N , n ? 2 )
n ? N , n ? 2 a ? b ⑥、 a>b>0 那么 (条件 )
n n

(开方性)

复习2:基本不等式
(1)a ? b ? 2 | ab | (a, b ? R) 1 ( 2 ) x ? ? 2 ( x ? 0) x
2 2

(3)a ? b ? c ? 2ab ? 2ac ? 2bc(a, b ? R)
2 2 2

a?b a ?b (4) ? ab ? ? (a, b ? R? ) 1 1 2 2 ? a b 2
2 2

在不 等式的证明中, 我们经常从已知 条件和不等式的性质、 基本不等式等 出发 . 通过逻辑推理, 推导出所要证明 的结论 .

复习3:
比较法是证明不等式的一种最基本、 最重要的一种方法,用比较法证明 不等式的步骤是: ? 作差—变形—判断符号—下结论。 ? 作商—变形—与1比较大小---下结论。 ? 要灵活掌握配方法和通分法对差式 进行恒等变形。
?

天才就是百分之一的灵感,百分之九十九的汗水! 书 山 路 勤勤 为 奋,努 径,学 崖 苦成 作 功! 舟 天 少 成功 小 才 =有 艰苦的劳动 不 在 学 于 习,老 +正确的方法 来海 徒无 力 伤 才 + 少谈空话 悲 能

二 综合法与分析法

虎林高级中学

栾红民

不等式的证明—综合法 一般地,从已知条件出发,利 用定义、公理、定理、性质等, 经过一系列的推理、论证而得出 命题成立,这种证明方法叫做综 合法.

因为c2 ? a2 ? 2ac, b ? 0, 所以b?c2 ? a2 ? ? 2abc.

a?b 2 ? c 2 ? ? b?c 2 ? a 2 ? ? c?a 2 ? b 2 ? ? 6abc. 分析 观察欲证不等式的特点 , 左边3 项每一项都是 两个 数 的平方之和和另一个数 之积 , 右边是三个数 的积的6倍.这种结构特点启发我们 采用如下方法 . 证明 因为b2 ? c2 ? 2bc, a ? 0, 所以a?b2 ? c2 ? ? 2abc. ①
② ③

例1 已知a, b, c ? 0, 且不全相等 , 求证

因为a2 ? b2 ? 2ab, c ? 0, 所以c?a2 ? b2 ? ? 2abc.

由于a, b, c不全相等, 所以上述① ② ③ 式中至少有一 个不取等号 , 把它们相加得

a?b ? c ? ? b?c ? a ? ? c?a ? b ? ? 6abc.
2 2 2 2 2 2

1 y x 练习:1.已知xy ? 0, 求证:xy ? ? ? ?4 xy x y
证明: xy ? 0, 1 ? xy ? ?2 xy y x ? ?2 x y

1 y x ? xy ? ? ? ?4 xy x y

当且仅当x=y时等号成立.

求证 ?1 ? a1 ??1 ? a2 ? ? ? ? ?1 ? an ? ? 2 .
n

例2 已知 a1 , a2 ,? ? ?, an ? R? , 且a1 a2 ? ? ? an ? 1,

分析 观察要证明 的结论, 左边是n 个 因式的积, 右边是2 的n 次方 , 再结合 a1 a2 ? ? ? an ? 1 , 发现如 果能把将左边转化 为a1 , a2 ,? ? ?, an的乘积, 问题就能得到解决 .

本例的结论 是在 条 件a1 a2 ? ? ? an ? 1 下得出的 ,我 们 称 它为条件不等式 . 在证明条件不等 式 时, 命 题 中 的 条 件能启发我们的 证明思路 .

1 ? a1 证明 因为 a1 ? R? , 所以 ? 1 ? a1 ? a1 , 2 即1 ? a1 ? 2 a1 .

同理 ,1 ? a2 ? 2 a2 ,
??????

1 ? an ? 2 an ,
因为a1 , a2 ,? ? ?, an ? R? ,由不等式的性质 ,得

?1 ? a1 ??1 ? a2 ? ? ? ? ?1 ? an ? ? 2n.
因为ai ? 1时,1 ? ai ? 2 ai 取等号, 所以原式在 a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ? 1时取等号.

练习2 . 已知a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1,求证:

1 1 1 ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ? 8 a b c

例3.已知 a ? 2,求证: loga (a ?1) ? loga (a ? 1) ? 1
证明: a ? 2,
? loga (a ? 1) ? 0,loga (a ? 1) ? 0

又 loga (a ? 1) ? loga (a ? 1), log a (a ? 1) ? log a (a ? 1) log a (a ? 1) ? log a (a ? 1) ? 2 1 1 2 ? log a ( a ? 1)? log a a 2 =1 2 2

loga (a ?1) ? loga (a ? 1) ? 1

练习

2. 已知x ? 0, 且x ? 1, 求证: lg x ? log x 10 ? ?2, 或 lg x ? log x 10 ? 2

小结: 综合法是证明不等式的基本方法, 用综合法证明不等式的逻辑关系是: 不等式, A ? B1 ? B2 ? ? B (A 为证明过的 B要证的不等式)

即综合法是:由因导果

作业:P25 1,2
1.设a, b是实数,求证:a ? b ? 1 ? ab ? a ? b
2 2

3.lg 99 ? lg101 ? 4


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