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§1.3.2函数的极值与导数(课件)


1.3.2函数的极值 与导数
永宁县回民高级中学 马国宝
高二数学 选修2-2

第一章

导数及其应用

复习:
单调性与导数有何关系?
设函数y=f(x)在某个区间内可导,
?如果f ′(x)>0,则f(x)为增函数; ?如果f ′(x)<0,则f(x)为减函数;

引入:

y

y=f(x)
o

x

函数的极值定义
y y

使函数取得极值的 点x0称为极值点
x0

o

x0

x

o

x

一般的,设函数f(x)在点x0附近有定义, ?如果对X0附近的所有点,都有f(x)<f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值, 记作y极大值= f(x0); ?如果对X0附近的所有点,都有f(x)>f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值= f(x0); ◆函数的极大值与极小值统称为极值. (极值即峰谷处的 值)

【关于极值概念的几点说明】
(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大 小情况; (2)极值点是自变量的值,极值指的是函数值; (3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值 未必大于极小值; (4)函数的极值点一定在区间的内部,区间的端点不能 成为极值点。
f ( x3 )
f ( x4 )

y

f ( x1 )

f ( x2 )

O

a

x1

x2

x3

x4

b

x

【问题探究】极值与导数的关系
函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?在极 值点附近的导数符号有什么规律?
f ( x3 )
f ( x4 )

y

f ( x1 )

f ?(a) ? 0 f ?( x) ? 0 f ?( x) ? 0
f ?( x) ? 0 f ?( x) ? 0 f ?(b) ? 0

f ( x2 )

O

x1

a

b

x2

x3

x4

x

结论:函数在极值点处的导数值为0.在极值点左右两侧 的导数符号互异。

【问题探究】如何判断或求函数的极值点
x f ’(x) f (x) (…,a) a (a, …)

单调递减

0
极小值f(a)
b

+
单调递增
(b, …)

x

(…,b)

f ’(x)
f (x)

+
单调递增

0
极大值f(b)

单调递减

口诀:左正右负,极大值;左负右正,极小值。

探究
1、导数为0的点一定是函数的极值点吗?
不一定
3 例如:函数 f ( x) ? x

y

y?x
f ?( x) ? 0

3

f ?( x) ? 0

o

x

探究
2、y ? f (x)在某一点的导数为0是函数 y ? f (x) 在这点取得极值的 必要非充分 条件。
若 f ( x0 )是极值,则

f ?( x0 ) ? 0 ;

反之,若 f ?( x0 ) ? 0 , f ( x0 ) 不一定是极值。

探究
3、通过以上探索,你能归纳出可导函数 在某点 x0 取得极值的充要条件吗?
f 充要条件: '( x0 ) ? 0 且点 x0 的附 近左右两侧的导数值符号相反。

练习1
(1)如图是函数 y ? f ? x ? 的图象,试找出函数 y ? f ? x ?的 极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点?

y ? f ' ? x? (2)如果把函数图象改为导函数 的图象? y
y ? ff' ? x ? y ? ? x?

x3

a x1 o x2

x4 x5

x6

b

x

答: 1、x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点,其中x1,x5是函 数y=f(x)的极大值点,x3,x6函数y=f(x)的极小值点。 2、x2,x4是函数y=f(x)的极值点,其中x2是函数y=f(x) 的极大值点,x4是函数y=f(x)的极小值点。

如何求函数的极值:

1 3 例1 求函数 y ? x ? 4x ? 4的极值。 3 解:(定义域为R,)y′=x2-4 由y′=0可得x=-2或 x=2
当x变化时,y′, y的变化情况如下表:

x y′ y

(-∞,-2) +

-2 0
极大 值

(-2,2)



2 0
极小值

(2,+∞)

+

28/3 因此,当x=-2时, y极大值=28/3
当x=2时, y极小值=-4/3

-4/3

函数 y ? x3 ? 4 x ? 4 的图像如图所示。

1 3

y + 28 3

1 3 y ? x ? 4x ? 4 3

o -2
4 - 3

2 + x

求函数极值(极大值,极小值)的一般步骤:

(1)确定函数的定义域
(2)求方程f’(x)=0的根

(3)用方程f’(x)=0的根,顺次将函数的定义域分成 若干个开区间,并列成表格 (4)由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号,来判断 x0 f(x)在这个根处取极值的情况 若f ’(x0)左正右负,则f(x0)为极大值; 若 f ’(x0)左负右正,则f(x0)为极小值 +

+

求导—求极值点—列表—求极值

x0

练习2
求下列函数的极值:

(1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2; (2) f ( x) ? x ? 27 x; 3 3 (3) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x ; (4) f ( x) ? 3x ? x . 解: 1 (1) f ?( x) ? 12 x ? 1, 令 f ?( x) ? 0, 解得 x ? . 列表: 12
2 3

x

f ?( x)
f (x)

1 (??, ) 12


1 12 0

1 ( ,??) 12 +

单调递减

49 ? 24

单调递增

1 49 1 所以, 当 x ? 时, f (x)有极小值 f ( ) ? ? . 12 24 12

练习2
求下列函数的极值:

(1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2; (2) f ( x) ? x ? 27 x; 3 3 (3) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x ; (4) f ( x) ? 3x ? x . 解: ?( x) ? 3x 2 ? 27 ? 0, 解得 x1 ? 3, x2 ? ?3.列表: (2) 令f
2 3

x

(–∞, –3)

–3

(–3, 3) – 单调递减

3 0

( 3, +∞)

f ?( x)

+

0

+
单调递增

f (x) 单调递增

54

? 54

所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .

练习2
求下列函数的极值:

(1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2; (2) f ( x) ? x ? 27 x; 3 3 (3) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x ; (4) f ( x) ? 3x ? x . 解: ?( x) ? 12 ? 3x 2 ? 0, 解得 x1 ? 2, x2 ? ?2. (3) 令f
2 3

所以, 当 x = –2 时, f (x)有极小值 – 10 ; 当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .

(4) 令f ?( x) ? 3 ? 3x 2 ? 0, 解得 x1 ? 1, x2 ? ?1.
所以, 当 x = –1 时, f (x)有极小值 – 2 ; 当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .

例2:
3 2 已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? 2x 在x ? ?2, x ? 1 处取得极值。

求函数 f ? x ? 的解析式。

解:(1)f ' ? x ? ? 3ax2 ? 2bx ? 2

? f ( x)在x ? ?2, x ? 1取得极值,

? f ?(?2) ? 0, f ?(1) ? 0 即 ?12a ? 4b ? 2 ? 0 解得:a ? 1 , b ? 1 ?
? 3a ? 2b ? 2 ? 0
3

2

? f ? x? ?

1 3 1 2 x ? x ? 2x 3 2

练习3
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,当x=-1时取得极 大值7;当x=3时取得极小值, 求这个极小值及a、b、c的值。

小结:
函数极值的概念 函 数 极 值 与 导 数
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.
y y

? ? o
x0

?
x

?
x0

o

x

求函数极值的方法 求极值的步骤:1.求 函数的定义域与导数,2.求导数等 于零的点,3.列表,4.求极值 函数 y ?

f (x) 在某点x0取得极值的充要条件

f '( x0 ) ? 0 且点x0附近左右两侧的导数值符号相反

作业:
P32 习题1.3 A组 第4、5题的(1)、(4) 附加题:函数 f(x)=alnx+bx2+x 在x=1和x=2 处有极值,求实数a、b的值。

谢 谢 大 家!

再 见


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