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河北省新乐市第一中学2016-2017学年高一下学期竞赛数学试题

高一数学竞赛试题 一选择题(共 10 个小题,每题 5 分,共 50 分) 1 已知 {an } 是等差数列, 1 A. 16 B. 17 a ? 2 , a3 ? 4 ,则 a4 ? a5 ? a6 ? ( C. 18 D. 19 ) ?x ? 0 ? 2. 设 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ,则 z ? 3x ? 2 y 的最大值是( ?2 x ? y ? 1 ? A. 3 B. 5 C. 7 D. 8 ) 3 已知△ABC 的三边满足 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 3ab ,则角 C 等于 ( A.15° B.30° C.45° D.60° ) ) 4.设 x 、 y 为正实数,且 x ? 2 y ? 1 ,则 1 1 ? 的最小值为( x y C. 2 D. 3 A. 2 ? 2 2 B. 3 ? 2 2 5 在△ABC 中,边 a、b、c 所对角分别为 A、B、C,且 则△ABC 的形状为 A.等边三角形 C.等腰直角三角形 sin A cos B cos C ? ? , a b c ( ) B.有一个角为 30°的直角三角形 D.有一个角为 30°的等腰三角形 x 6 已知点 P( x, y)到A(0,4)和B(?2,0) 的距离相等,则 2 A.2 B.4 C. 8 2 ? 4 y 的最小值为 D. 4 2 ( ) 7 已知等差数列{an}中, Sn 是它的前 n 项和,若 S16>0, S17<0, 则当 Sn 取最大值时,n 的 值为 A.16 B.9 C.8 D.10 8 如图是一个长方体 ABCD-A1B1C1D1 截去几个角后的 多面体的三视图,在这个多面体中,AB=4,BC=6, CC1=3.则这个多面体的体积为( ) A1 B A1 主视图 C1 A1 C1 C B A D 左视图 A 48 B 36 C 24 D 12 B 俯视图 C1 9 在正整数数列中,由 1 开始依次按如下规则取它的项:第一次取 1,第二次取 2 个连续偶数 2、4;第三次取 3 个连续奇数 5、7、9;第四次取 4 个连续偶数 10、12、14、16;第五次取 5 个连续奇数 17、19、21、23、25.按此规则一直取下去,得到一个子数列 1,2,4,5,7,9, 12,14,16,17,….则在这个子数列中,由 1 开始的第 2008 个数是( A 3953 B 3845 C 1891 D 1953 ) 10. 在等式 1 ? 4 ? 9 ? 1 的分母上的三个括号中各填入一个正整数, 使得该等式成 ? ? ? ? ? ? 立,则所填三个正整数的和的最小值是( A 24 B 36 C 12 D 45 ) 二填空题(共 4 个小题,每题 5 分,共 20 分) 11 取直角坐标系内的两点 P 、 P2 ( x2 , y2 ) ,使 1, x1 , x2 ,7 成等差数列,1, y1 , 1 ( x1 , y1 ) y2 , 8 成 等 比 数 列 , 若 点 P 1 、 P 2 两 点 关 于 直 线 对 称 , 则 直 线 的 方 程 为 __________________________. 12 古希腊数学家把数 1, 3 , 6 , 10 , 15 , 21 ,…,叫做三角形数,它有一定的规律性, 则第 24 个三角形数与第 22 个三角形数的差为__________. 13 若 x ? (??,?1] ,不等式 (m ? m _______ 14. 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=1,AB=2,AD=1 则该 A1D 所在的直线和平面 A 1 ACC1 所成的角 的正弦值等于________. 三 解答题(共 4 小题,每题 10 分,共 40 分) 2 )4 x ? 2 x ? 1 ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 ,B,C 所对的边分别为 15 在锐角 △ ABC 中, 角A 求 a,b,c , 已知 sin A ? ? 2 ,求 b 的值. 2 2 3 , (1) cos(B ? C ) 的值; (2)若 a ? 2 , S△ ABC 16. 临沭县某商场为使销售空调和冰箱获得的总利润达到最大,对即将出售的空调和冰箱相 关数据进行调查,得出下表: 每台空调或冰箱所需资金(百元) 资金 空调 成本 工人工资 每台利润 30 5 6 冰箱 20 10 8 (百元) 300 110 月资金供应数量 问:该商场怎样确定空调或冰箱的月供应量,才能使总利润最大? 的前n项和为S n , 且有a1 17. 已知数列 {an } (Ⅰ)求数列 an 的通项公式; (Ⅱ)若 ? 2,3S n ? 5an ? an?1 ? 3S n?1 (n ? 2). b n ? (2n ? 1)an , 求数列 {b } 的前 n 项和 T . n n 18 如图,已知正方形 ABCD , E 、 F 分别是 AB 、 CD 的中点,将 ADE 沿 DE 折起,如图所 示,记二面角 A ? DE ? C 的大小为 ? (0 ? ? ? ? ) . (1)证明: BF // 平面 ADE ; (2)若△ ACD 为正三角形,试判断点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 是否在直线 EF 上,证 明你的结论,并求角 ? 的余弦值. B C A B E F C E F A D D 高一数学竞赛答案 1---5 C BDBC 6--10 DCAAB 9. 前 n 次总共取了 1 ? 2 ? 3 ? ?n? n(n ? 1) n(n ? 1) 项,满足不等式 ? 2008 的最大整数为 2 2 61? 62 ? 1891 个整数没有被 2 n ? 62 ,前 62 次取了 1953 项,所以子数列中的第 2008 项必是奇数,而

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