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第4节 综合法 分析法 反证法


数学 第4节 综合法、分析法、反证法 数学 最新考纲 1.了解直接证明的两种基本方法—— 分析法和综合法;了解分析法和综 合法的思考过程和特点. 2.了解反证法的思考过程 和特点. 数学 知识链条完善 考点专项突破 解题规范夯实 数学 知识链条完善 把散落的知识连起来 【教材导读】 1.综合法和分析法有什么区别与联系? 提示:(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”, 其逐步推理,实际上是寻求它成立的充分条件.(2)综合法的特点是从 “已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其逐步推理,实际上是寻找它 成立的必要条件.(3)分析法易于探索解题思路,综合法易于过程表述, 在应用中视具体情况择优选之. 2.用反证法证明问题的一般步骤有哪些? 提示:(1)反设(否定结论):假定所要证的结论不成立,而结论的反面成 立;(2)归谬(推导矛盾):将“反设”作为条件,由此出发,经过正确的推 理导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实 矛盾或自相矛盾;(3)定论(肯定结论):矛盾产生的原因在于“反设”的 谬误,既然结论的反面不成立,从而肯定了结论成立. 数学 知识梳理 1.直接证明 (1)综合法 从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演绎推理,一 步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明.我们把这样的思维方法 称为综合法. 综合法是“由因导果”,即由已知条件出发,推导出所要证明的命题结论. 因此,综合法又叫作顺推证法或由因导果法. (2)分析法 从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的 充分条件,直到归结为这个命题的条件,或者归结为定义、公理、定理等, 我们把这样的思维方法称为分析法.分析法是一种执果索因的证明方法.这 种证明方法的逻辑依据是三段论式的演绎推理方法. 数学 2.间接证明——反证法 假定命题结论的反面成立,在这个前提下,若推出的结果与定义、公理、定 理相矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与假定相矛盾,从而说明命题 结论的反面不可能成立,由此断定命题的结论成立,这种证明方法叫作反证 法.反证法是间接证明的一种方法. 数学 夯基自测 1.命题“对于任意角θ ,cos4θ -sin4θ =cos 2θ ”的证明过程:“cos4θ - sin4θ =(cos2θ -sin2θ )(cos2θ +sin2θ )=cos2θ -sin2θ =cos 2θ ”应用 了( B ) (A)分析法 (B)综合法 (C)综合法、分析法结合使用 (D)间接证法 解析:在证明过程中使用了大量的公式和结论,有平方差公式,同角的 关系式,所以在证明过程中,使用了综合法的证明方法. 数学 2.要证明 3 + 7 <2 5 ,可选择的方法有下面几种,其中最合理的是 ( B ) (B)分析法 (D)其他方法 (A)综合法 (C)特殊值法 解析:应选择分析法. 数学 3.用反证法证明命题“若a,b∈N,ab可被5整除,那么a,b中至少有一个 B 能被5整除”时,假设的内容应该是( ) (A)a,b都能被5整除 (C)a,b不都能被5整除 (B)a,b都不能被5整除 (D)a能被5整除 解析:至少有一个”的反面应是“一个都没有”.故应选B. 数学 4.设a,b是两个实数,给出下列条件: ①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1. 其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是 解析:当 a= 2 2 4 ,b= 时

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