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2016高三数学一轮复习 第3章 第4课时 三角函数的图象和性质课时训练 文 新人教版


【高考领航】 2016 高三数学一轮复习 第 3 章 第 4 课时 三角函数的 图象和性质课时训练 文 新人教版

A 级 基础演练 1.(2014?高考大纲全国卷)设 a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则( A.a>b>c C.c>b>a B.b>c>a D.c>a>b )

解析:选 C.利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式化简,结合 y=sin x 的单调性比较. sin 35° ∵a=sin 33°,b=cos 55°=sin 35°,c=tan 35°= , cos 35° 又 0<cos 35°<1,∴c>b>a. 2.动点 A(x,y)在圆 x +y =1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12 秒旋转一周.已知 3? ?1 时间 t=0 时,点 A 的坐标是? , ?,则当 0≤t≤12 时,动点 A 的纵坐标 y 关于 t(单位: ?2 2 ? 秒)的函数的单调递增区间是( A.[0,1] C.[7,12] ) B.[1,7] D.[0,1]和[7,12]
2 2

π 解析:选 D.画出图形,设动点 A 与 x 轴正方向夹角为 α ,则 t=0 时,α = ,每秒钟旋转 3 π ?π π ? ?3π ,7π ?,动点 A 的纵坐标 y ,在 t∈[0,1]上 α ∈? , ?,在 t∈[7,12]上 α ∈? 3 2 3 ? 6 ? ? ? 2 ? 关于 t 都是单调递增的.

? π 3π ? 3.若函数 y=f(x)+cos x 在?- , ?上单调递减,则 f(x)可以是( 4 ? ? 4
A.1 B.cos x C.-sin x D.sin x

)

? π? 解析:选 C.-sin x+cos x=cos x-sin x= 2cos?x+ ?, 4? ?
π 3π π ∵- ≤x≤ ,∴0≤x+ ≤π , 4 4 4

? π 3π ? ∴函数 y=-sin x+cos x 在?- , ?上为减函数. 4 ? ? 4

1

π? ? 4.(2015?石家庄模拟)函数 f(x)=tan?2x- ?的单调递增区间是( 3? ? A.? B.?

)

?kπ -π ,kπ +5π ?(k∈Z) ? 12 ? ? 2 12 2 ?kπ -π ,kπ +5π ?(k∈Z) ? 12 ? ? 2 12 2

π 2π ? ? C.?kπ + ,kπ + ?(k∈Z) 6 3 ? ? π 5π ? ? D.?kπ - ,kπ + ?(k∈Z) 12 12 ? ? π π π kπ π kπ 5π 解析:选 B.由 kπ - <2x- <kπ + (k∈Z)得, - <x< + (k∈Z),所以函数 2 3 2 2 12 2 12 π? ? ?kπ π kπ 5π ? f(x)=tan?2x- ?的单调递增区间为? - , + ?(k∈Z). 3? 12 ? ? ? 2 12 2 π? π? ? ? 5.在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos?2x+ ?,④y=tan?2x- ?中,最小 6? 4? ? ? 正周期为 π 的所有函数为( A.②④ C.①②③ ) B.①③④ D.①③

解析:选 C.分别求出各个函数的最小正周期 T. ①y=cos|2x|=cos 2x,T=π . ②由图象知,函数的周期 T=π . ③T=π . π ④T= . 2 综上可知,最小正周期为 π 的所有函数为①②③. 6.(2014?高考山东卷)函数 y= 3 2 sin 2x+cos x 的最小正周期为__________. 2

解析:先将函数化为 y=Asin(ω x+φ )的形式,再依据周期公式进行求解. ∵y= 3 3 1 1 2 sin 2x+cos x= sin 2x+ cos 2x+ 2 2 2 2

π? 1 2π ? =sin?2x+ ?+ ,∴函数的最小正周期 T= =π . 6? 2 2 ? 答案:π 7.(2014?高考江苏卷)已知函数 y=cos x 与 y=sin(2x+φ )(0≤φ <π ),它们的图象有 π 一个横坐标为 的交点,则 φ 的值是__________. 3

2

解析:利用函数 y=cos x 与 y=sin(2x+φ )(0≤φ <π )的交点横坐标,列方程求解. π ? π ? 由题意,得 sin?2? +φ ?=cos , 3 3 ? ? π 因为 0≤φ <π ,所以 φ = . 6 π 答案: 6 8.(2015?洛阳统考)函数 f(x)=sin x+sin(x+60°)的最大值为__________. 3 3 ? π? ? π? 解析:∵f(x)=sin x+sin(x+60°)= sin x+ cos x= 3sin?x+ ?,∴当 sin?x+ ? 6? 6? 2 2 ? ? =1 时,f(x)取得最大值 3. 答案: 3 π π? ? 9.(2014?高考重庆卷)已知函数 f(x)= 3sin(ω x+φ )?ω >0,- ≤φ < ?的图象关于 2 2? ? π 直线 x= 对称,且图象上相邻两个最高点的距离为 π . 3 (1)求 ω 和 φ 的值; 2π ? 3π ? 3 ?π ?α ? ? (2)若 f? ?= ? <α < ?,求 cos?α + ?的值. 3 ? 2 ? ?2? 4 ?6 ? 解析:(1)因为 f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为 π ,所以 f(x)的最小正周期 T=π , 2π 从而 ω = =2.

T

π 又因为 f(x)的图象关于直线 x= 对称, 3 π π 所以 2? +φ =kπ + ,k=0,±1,±2,…. 3 2 π π π 2π π 由- ≤φ < ,得 k=0,所以 φ = - =- . 2 2 2 3 6 3 ?α ? ? α π? (2)由(1)得 f? ?= 3sin?2? - ?= , 2 6? 4 ?2? ? π? 1 ? 所以 sin?α - ?= . 6? 4 ? π 2π π π 由 <α < ,得 0<α - < , 6 3 6 2 π? ? 所以 cos?α - ?= 6? ? = 15 . 4
3

π? 2? 1-sin ?α - ?= 6? ?

2 ?1? 1-? ? ?4?

π? π? 3π ? ?? ? 所以 cos?α + ?=sin α =sin??α - ?+ ? 6? 6? 2 ? ? ?? π? π? π π ? ? =sin?α - ?cos +cos?α - ?sin 6 6 6 6 ? ? ? ? 1 3 15 1 3+ 15 = ? + ? = . 4 2 4 2 8 B 级 能力突破 1.(2014?高考安徽卷)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+π )=f(x)+sin x.当 0≤x<π 时,

f(x)=0,则 f?
1 A. 2

?23π ?=( ? ? 6 ?
3 2

) C.0 1 D.- 2

B.

解析:选 A.根据已知条件判断出 f(x)是以 2π 为周期的周期函数,然后进行求解. ∵f(x+π )=f(x)+sin x, ∴f(x+2π )=f(x+π )-sin x. ∴f(x+2π )=f(x)+sin x-sin x=f(x). ∴f(x)是以 2π 为周期的周期函数. 又 f?

?23π ?=f?4π -π ?=f?-π ?, ? ? ? ? 6? 6? ? 6 ? ? ? ?
6

? π ? ? π? ? π? f?- +π ?=f?- ?+sin?- ?, ? ? ?
6?

?

6?

∴f?

?5π ?=f?-π ?-1. ? ? ? ? 6 ? ? 6? 2 ?5π ?=0, ? ? 6 ?

∵当 0≤x<π 时,f(x)=0,∴f? ∴f?

?23π ?=f?-π ?=1. ? ? ? ? 6 ? ? 6? 2

2. (2014?高考天津卷)已知函数 f(x)= 3sin ω x+cos ω x(ω >0), x∈R.在曲线 y=f(x) π 与直线 y=1 的交点中,若相邻交点距离的最小值为 ,则 f(x)的最小正周期为( 3 π A. 2 2π B. 3 C.π D.2π )

解析:选 C.利用辅助角公式把函数 f(x)表示为正弦型函数,解出交点的横坐标,然后根据 距离求出 ω .

f(x)= 3sin ω x+cos ω x=2sin?ω x+ ?(ω >0). 6

? ?

π?

?

π? π? 1 ? ? 由 2sin?ω x+ ?=1 得 sin?ω x+ ?= , 6 6? 2 ? ? ?
4

π π π 5 ∴ω x+ =2kπ + 或 ω x+ =2kπ + π (k∈Z). 6 6 6 6 π π π 5 令 k=0,得 ω x1+ = ,ω x2+ = π , 6 6 6 6 2π ∴x1=0,x2= . 3ω π 2π π 由|x1-x2|= ,得 = ,∴ω =2. 3 3ω 3 2π 故 f(x)的最小正周期 T= =π . 2 3.(2014?高考新课标全国卷Ⅰ)

如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA,终边为 射线 OP, 过点 P 作直线 OA 的垂线, 垂足为 M.终点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x), 则 y=f(x)在[0,π ]的图象大致为( )

解析:选 B.利用单位圆及三角函数的定义,求出 f(x)的解析式.

? π? 如图所示,当 x∈?0, ?时,则 2? ?
P(cos x,sin x),M(cos x,0),作 MM′⊥OP,M′为垂足,则
sin x, |MM′| f(x) =sin x,∴ = |OM| cos x

5

1 π 1 f(x) ?π ? ∴f(x)=sin xcos x= sin 2x,则当 x= 时,f(x)max= ;当 x∈? ,π ?时,有 2 4 2 |cos x| ?2 ? 1 3π 1 =sin(π -x),f(x)=-sinxcos x=- sin 2x,当 x= 时,f(x)max= .只有 B 选项的图 2 4 2 象符合. 4.(2014?高考大纲全国卷)函数 y=cos 2x+2sin x 的最大值为__________. 解析:先利用二倍角公式化简函数解析式,再利用换元法求最值.

y=cos 2x+2sin x=-2sin2x+2sin x+1,设 t=sin x(-1≤t≤1),则原函数可以化为 y=-2t2+2t+1=-2?t- ? + ,∴当 t= 时,函数取得最大值 . 2

? ?

1?2

?

3 2

1 2

3 2

3 答案: 2 4.(2014?高考大纲全国卷)函数 y=cos 2x+2sin x 的最大值为__________. 解析:先利用二倍角公式化简函数解析式,再利用换元法求最值.

y=cos 2x+2sin x=-2sin2x+2sin x+1,设 t=sin x(-1≤t≤1),则原函数可以化为 y=-2t2+2t+1=-2?t- ? + ,∴当 t= 时,函数取得最大值 . 2

? ?

1?2

?

3 2

1 2

3 2

3 答案: 2 π? ? 5.(2014?高考安徽卷)若将函数 f(x)=sin?2x+ ?的图象向右平移 φ 个单位,所得图象 4? ? 关于 y 轴对称,则 φ 的最小正值是__________. 解析: 根据平移规律, 求出平移后的解析式, 根据平移后的解析式对应的函数为偶函数求解. π? π? ? ? ∵函数 f(x)=sin?2x+ ?的图象向右平移 φ 个单位得到 g(x)=sin?2(x-φ )+ ?= 4? 4? ? ? π ? ? sin?2x+ -2φ ?, 4 ? ? π π 又∵g(x)是偶函数,∴ -2φ =kπ + (k∈Z). 4 2 ∴φ =-


2



π 3π (k∈Z).当 k=-1 时,φ 取得最小正值 . 8 8

3π 答案: 8 6.(2015?保定调研)已知函数 f(x)= 3sin xcos x-cos x. (1)求 f(x)的最小正周期和单调递增区间;
2

? π? (2)当 x∈?0, ?时,求函数 f(x)的最大值和最小值及相应的 x 的值. 2? ?
6

解析:(1)因为 f(x)= 的最小正周期为 π .

3 1 1 π 1 2π sin 2x- cos 2x- =sin(2x- )- ,所以 T= =π ,故 f(x) 2 2 2 6 2 ω

π π π π π 由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z,所以 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 2 6 2 6 3 π π? ? 函数 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?(k∈Z). 6 3? ? π π π 5π (2)因为 0≤x≤ ,所以- ≤2x- ≤ , 2 6 6 6 π π π 1 令 2x- = ,即 x= 时,f(x)有最大值 ; 6 2 3 2 π π 令 2x- =- ,即 x=0 时,f(x)有最小值-1. 6 6

7


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