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人教版高中数学高二选修4-5练习:第二讲2.3反证法与放缩法_word版含解析

第二讲 2.3 证明不等式的基本方法 反证法与放缩法 A级 一、选择题 基础巩固 3 3 1.用反证法证明命题“如果 a>b,那么 a> b”时,假设的内容是( 3 3 3 3 ) A. a= b 3 3 3 3 B. 3 a< b 3 3 3 C. a= b,且 a< b 3 3 D. 3 a= b或 a< b 3 3 3 解析:应假设 a≤ b,即 a= b或 a< b. 答案:D 2.实数 a,b,c 不全为 0 的等价命题为( A.a,b,c 均不为 0 B.a,b,c 中至多有一个为 0 C.a,b,c 中至少有一个为 0 D.a,b,c 中至少有一个不为 0 答案:D 3.用反证法证明:若整系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根, 那么 a,b,c 中至少有一个偶数,下列假设中正确的是( A.假设 a,b,c 都是偶数 B.假设 a,b,c 都不是偶数 C.假设 a,b,c 至多有一个偶数 D.假设 a,b,c 至多有两个偶数 -1- ) ) 解析:至少有一个是的否定为都不是. 答案:B 1 1 1 4.设 x,y,z 都是正实数,a=x+ ,b=y+ ,c=z+ ,则 a,b,c 三个 y z x 数( ) A.至少有一个不大于 2 B.都小于 2 C.至少有一个不小于 2 D.都大于 2 1 1 1 解析:因为 a+b+c=x+ +y+ +z+ ≥2+2+2=6,当且仅当 x=y=z x y z =1 时等号成立,所以 a,b,c 三者中至少有一个不小于 2. 答案:C 5. 若不等式 x2-2ax+a>0 对一切实数 x∈R 恒成立, 则关于 t 的不等式 at2 +2t-3<1 的解集为( A.(-3,1) C.? ) B.(-∞,-3)∪(1,+∞) D.(0,1) 解析:不等式 x2-2ax++a>0 对一切实数 x∈R 恒成立, 则Δ=(-2a)2-4a <0,即 a2-a<0,解得 0<a<1, 所以不等式 at2+2t-3<1 转化为 t2+2t-3>0,解得 t<-3 或 t>1. 答案:B 二、填空题 6.某同学准备用反证法证明如下一个问题,函数 f(x)在 0,1]上有意义,且 f(0)=f(1), 如果对于不同的 x1, x2∈0, 1], 都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|, 求证: |f(x1) 1 -f(x2)|< ,那么它的假设应该是________. 2 1 答案:假设|f(x1)-f(x2)|≥ 2 7.lg 9·lg 11 与 1 的大小关系是________. -2- 解析:因为 lg 9·lg 11< lg 9+lg 11 lg 99 lg 100 = < =1, 2 2 2 所以 lg 9·lg 11<1. 答案:lg 9·lg 11<1 8.设 a,b,c 均为正数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR >0”是“P,Q,R 同时大于零”的________条件. 解析:必要性是显然成立的;当 PQR>0 时,若 P,Q,R 不同时大于零, 则其中两个为负,一个为正,不妨设 P>0,Q<0,R<0,则 Q+R=2c<0,这 与 c>0 矛盾,即充分性也成立. 答案:充要 三、解答题 9.已知 x,y>0,且 x+y>2.求证: 证明:(反证法)设 1+x 1+y , 中至少有一个小于 2. y x 1+x 1+y ≥2, ≥2, y x ① ?1+x≥2y, 则? ?1+y≥2x. ② 由①②式可得 2+x+y≥2(x+y),即 x+y≤2,与题设矛盾. 1+x 1+y 所以 , 中至少有一个小于 2. y x 1 1 10.设 a>0,b>0,且 a+b= + .证明: a b (1)a+b≥2; (2)a2+a<2 与 b2+b<2 不可能同时成立. -3- 1 1 a+b 证明:由 a+b= + = ,a>0,b>0,得 ab=1. a b ab (1)由基本不等式及 ab=1,有 a+b≥2 ab=2,即 a+b≥2. (2)假设 a2+a<2 与 b2+b<2 同时成立, 则由 a2+a<2 及 a>0 得 0<a<1; 同理,0<b<1,从而 ab<1,这与 ab=1 矛盾. 故 a2+a<2 与 b2+b<2 不可能同时成立. B级 能力提升 ) 1.若 a>0,b>0,满足 ab≥1+a+b ,那么( A.a+b 有最小值 2+2 2 B.a+b 有最大值( 2+1)2 C.ab 有最大值 2+1 D.ab 有最小值 2+2 2 (a+b)2 解析:1+a+b≤ab≤ , 4 所以(a+b)2-4(a+b)-4≥0, 解得 a+b≤2-2 2或 a+b≥2+2 2, 因为 a>0,b>0,所以 a+b≥2+2 2,故选 A. 答案:A x z 2.设 x,y,z,t 满足 1≤x≤y≤z≤t≤100,则 + 的最小值为________. y t x 1 1 z z 解析:因为 ≥ ≥ ,且 ≥ , y y z t 100 x z 1 z 所以 + ≥ + ≥2 y t z 100 1 z 1 · = , z 100 5 当且仅当 x=1,y=z=10,t=100 时,等号成立. -4- 1 答案: 5 1 3.若数列{an}的通项公式为 an=n2,n∈N*,求证:对一切正整数 n,有 + a1 1 1 7 +…+ < . an 4 a2 1 7 证明:①当 n=1 时, =1< ,所以原不等式成立. a1 4 ②当 n=2 时, 1 1 1 7 + =1+ < ,所以原不等式成立. a1 a2 4 4 ③当 n≥3 时, 1 1 因为 n2>(n-1)· (n+1),所以 2< . n (n-1)· (n+1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + … + = 2 + 2 + … + 2 <1 + +