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一类命题的常规证明及几何本质证明


中 等 数 学

命数



解敬



类 命 题 的 常 规 证 明 及 几 何 本 质 证 明
褚 小 光
中 图 分 类号




开 斌
文 章编号


潘 成 华

文 武 光 华 数学 工作 室


文献 标识 码



在 讲 解 竞 赛题和研 究改造 新 题 时 教 师 往 往





会选 择



类 具有 几 何背 景 的命 题





几何 解 法














例 如 三角 形 恒 等 式

中 有


°



厶。

十 厶。






这 两 个 恒 等 式 的 常 规证 明 均 很 简 单

恒 等式 ① 的 几 何 意 义 三 角 形 的 面 积 等 于 其












丄从










内 心 向 三 边作 垂 线 段 分成 的 三 个 小 四 边 形 的 麵





取得 最 大值

解 析这 競 麵 可 以 棚 命 翻 本 质; 通 过








恒 等式 ② 的 几 何 意 义 设
心 垂足




的垂

讲 授 以 拓 展学 生 的 知 识 面 加 强 知 识 点 之 间 的 内 在 联 系 提 高 综 合 解 题 能 力 本 文撷 取 几 例 加 以


乃 n



分 成 四 个小 三 角 形 的

说明


面积之和 题目














垂足

在 线段

求函数

上 △





的 内 切 圆半径 分 证明


别为
的 最大 值



已知

为直

角 三角形
运 用柯 西 不 等 式 得

代 数 解法

这 是 著 名 的 勾 股定 理 代 数证法
°

因 为 点… 在 线 段 肊 上 所 以




°

收稿










提 示 设法 证 明



常数

再反 复 应 用 上 式 结论


本 文写 作 过 程 中 得 到 了
特 此 感谢


田 廷彦 老 师 的 指 点












参 考文 献











著 数 学 奥 林 匹 克 竞 赛 解 题精 编



南京

大 学 出 版社 李


提示 设

祎 曹 益 华 函 数 概 念 的 本 质 与 定 义 方式 探 究

数学教育学报



2 0

1

4

年第



由 三 角 形 高线 公 式



及 海 伦 公式 得




















注 意到 同理




设无









— —













于 是 由 勾 股 定 理得




几 何 证法

如图







口 分别 为



的 内心 作























垂 足依 次 为







则 亿 易知
















勾 股 定 理 及题设 条件 得

由 纖 条件 一




注意 到


” 甲







同理



由 此得

为等腰直角 二角 形
— —



的外



匕、

中 等 数 学


















边 交于 点



的 中点

n

为内

角 平 分线 与 边



外 接圆 交

根据 西 姆松定 理 知






三 点共 线


于点

证明 仙


设 西 姆松 线

与 内 角 平 分线

交 于点

代 数 证法 记



联结






根 据射 影 定 理 得 丄


由 均值 不 等 式







的等 圆线


先 确定

即证
— — —



设等 腰



的 底边 长 为



腰长为




证明

°


角 证法



倍角 么 式得
° °





人 上 式 并化 简 得 会 代


几 何证 法

如图





为 轴作 点
联结

的 对称




上式 显 然 成 立
又 易证








为轴 作 点

的 对称 点

分别 与

交于 点













、 、 、

故 所证 不 等 式 等 价 于





° °



为 正 三角 形 有



° °
°

只需证

°

± 式 即 为 均 值 不 等式

故 等 腰厶

等腰

从而 联结








几何 证 法



如图



°







垂 足分 别 为
因 为 仏





分别为


的边


劣 弧


又 等腰

等腰

的 中点 所 以




年第














因 此 满 足题 设 条 件 的 三 内 角 为








中 已知


几何 解 法


分 两 种 情 形 讨论


若 在 此 上取








使得
°

如图

求 此三 角 形 的 三 内 角
三角 解 法


显然






题 设条 件

及射 影





定理 得

在边 故

上取点



使得







再 由 正 弦 定 理得










所以

°


入—

又“
°

°


因此



°







°

°




则在



上取




点 显然

使得




°

, ,



在边



仙 上 取点

使得






联结 证 故
















因此





仙五








— —



°








参 考文 献



张玉环







沛 中 法 高 中 最 新数学 课标




巧或

几何 比 较 研究

数 学 教育 学报


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