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2013年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 零点问题的研究

2013 年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 零点问题 的研究 一、问题分析 函数的零点是函数图象与 X 轴交点的横坐标,即方程 f(x)=0 的解。它是一个数而不是点 的坐标。结合函数的图象,理解函数的零点与方程的根的联系,转化为判断方程根的存在性 及根的个数。函数的零点是函数图象的一个重要的特征,同时也沟通了函数、方程、不等式 以及算法等内容,在分析解题思路、探求解题方法中起着重要的作用,因此要重视对函数零 点的学习。 二、模型的建立与求解 (一)二分法 二分法的概念 对于在区间[a, b]上连续不断且 f(a)· f(b)<0 的函数 y=f(x), 通过不断地把函数 f(x) 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法 叫做二分法.由函数的零点与相应方程根的关系,可用二分法来求方程的近似解. 给定精确度 ,用二分法求函数 (1)确定区间 (2)求区间 (3)计算 1若 2若 3若 , , : = ,则 · · 就是函数的零点; <0,则令 = <0,则令 = (此时零点 (此时零点 ) ; ) ; ,验证 的中点 ; · 零点近似值的步骤如下: <0,给定精确度 ; (4)判断是否达到精确度 ;即若 骤 2-4. < ,则得到零点近似值 (或 ) ;否则重复步 结论: 由函数的零点与相应方程根的关系,我们可用二分法来求方程的近似解. 问题一: 判断函数 y=x -x-1 在区间[1,1.5]内有无零点, 如果有, 求出一个近似零点(精确度 0.1). 分析:由题目可获取以下主要信息: ①判断函数在区间[1,1.5]内有无零点,可用根的存在性定理判断; 1 3 ②精确度 0.1.解答本题在判断出在[1,1.5]内有零点后可用二分法求解. 解析:因为 f(1)=-1<0,f(1.5)=0.875>0,且函数 y=x -x-1 的图象是连续的曲线,所 以它在区间[1,1.5]内有零点,用二分法逐次计算,列表如下: 区间 (1,1.5) (1.25,1.5) (1.25,1.375) (1.312 5,1.375) 由于|1.375-1.312 5|=0.062 5<0.1, 所以函数的一个近似零点为 1.312 5. 中点值 1.25 1.375 1.312 5 1.343 75 中点函数近似值 -0.3 0.22 -0.05 0.08 3 利用图形计算器解题: 算器所绘出的图像,可大致看出零点所在的位置。 根据图形计 问题二: 求函数 f(x)=x +2x -3x-6 的一个正数零点(精确度 0.1). 解析:由于 f(1)=-6<0,f(2)=4>0,可取区间(1,2)作为计算的初始区间,用二分法逐次 计算,列表如下: 区间 (1,2) (1.5,2) (1.5,1.75) (1.625,1.75) (1.687 5,1.75) 由于|1.75-1.687 5|=0.062 5<0.1, 所以可将 1.687 5 作为函数零点的近似值. 中点 1.5 1.75 1.625 1.687 5 1.718 75 中点函数值 -2.625 0.234 4 -1.302 7 -0.561 8 -0.170 7 3 2 2 利用图形计算器解题: 图形计算器所绘出的图像,可大致看出零点所在的位置。 根据 (二)图像法 问题一: ? 1 (x ? 2) ? 设定义域为R的函数 f(x) ? ?| x - 2 | ? ( 1 x ? 2) ? 若关于x的方程f^2(x)+af(x)+b=0有三 个不同的实根x1、x2、x3,求 的值. (三)代数法 问题一: 求函数 y ? x ? 2 x ? x ? 2 的零点 3 2 解析:令x 3 ? 2 x 2 ? x ? 2 ? 0,? x 2 ( x ? 2) ? ( x ? 2) ? 0 ? ( x ? 2)( x ? 1)( x ? 1) ? 0,? x ? ?1或x ? 1或x ? 2 即函数y ? x 3 ? 2 x 2 ? x ? 2的零点为 - 1,1,2. 利用图形计算器解题: 数有三个零点,分别在-1,1,2的点上。 根据图像得出此函 3 (四)利用函数的单调性 问题一: 求函数f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6的零点个数 解析:易证f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6在定义域(0,??)上连续单调递增, 又有f (1)· f (4)<0, 所以函数f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6只有一个零点 利用图形计算器解题: 算器所绘制的图像,解得函数只有一个零点,在(2,3)之间。 (四)分离参数法 问题一:已知函数 g ( x) ? x ? ax ? 4 在 [2, 4] 上有零点,求 a 的取值范围. 2 根据图形计 2 分析:∵函数 g ( x) ? x ? ax ? 4 在 [2, 4] 上有零点,∴方程 x ? ax ? 4 ? 0 在 [2, 4] 上有实 2 根,即方程 a ? x ? 4 在 [2, 4] 上有实根. x 4 ,则 a 的取值范围等于函数 f ( x) 在 [2, 4] 上的值域. x 4 ( x ? 2)( x ? 2) 又 f ?( x) ? 1 ? 2 ? ? 0 在 x ? [2, 4] 上恒成立,∴ f ( x) 在 [2, 4] 上是增函数. x x2 令 f ( x) ? x ? ∴ f (2) ? f ( x) ? f (4) ,即 4 ? f ( x) ? 5 .∴ 4 ? a ? 5 . (五)零点定理: 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)·f(b)<0,那么 函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是 f(x)=0 的根。 (六)利用图形计算器 (a ?

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