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2013年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 零点问题的研究


2013 年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 零点问题 的研究 一、问题分析 函数的零点是函数图象与 X 轴交点的横坐标,即方程 f(x)=0 的解。它是一个数而不是点 的坐标。结合函数的图象,理解函数的零点与方程的根的联系,转化为判断方程根的存在性 及根的个数。函数的零点是函数图象的一个重要的特征,同时也沟通了函数、方程、不等式 以及算法等内容,在分析解题思路、探求解题方法中起着重要的作用,因此要重视对函数零 点的学习。 二、模型的建立与求解 (一)二分法 二分法的概念 对于在区间[a, b]上连续不断且 f(a)· f(b)<0 的函数 y=f(x), 通过不断地把函数 f(x) 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法 叫做二分法.由函数的零点与相应方程根的关系,可用二分法来求方程的近似解. 给定精确度 ,用二分法求函数 (1)确定区间 (2)求区间 (3)计算 1若 2若 3若 , , : = ,则 · · 就是函数的零点; <0,则令 = <0,则令 = (此时零点 (此时零点 ) ; ) ; ,验证 的中点 ; · 零点近似值的步骤如下: <0,给定精确度 ; (4)判断是否达到精确度 ;即若 骤 2-4. < ,则得到零点近似值 (或 ) ;否则重复步 结论: 由函数的零点与相应方程根的关系,我们可用二分法来求方程的近似解. 问题一: 判断函数 y=x -x-1 在区间[1,1.5]内有无零点, 如果有, 求出一个近似零点(精确度 0.1). 分析:由题目可获取以下主要信息: ①判断函数在区间[1,1.5]内有无零点,可用根的存在性定理判断; 1 3 ②精确度 0.1.解答本题在判断出在[1,1.5]内有零点后可用二分法求解. 解析:因为 f(1)=-1<0,f(1.5)=0.875>0,且函数 y=x -x-1 的图象是连续的曲线,所 以它在区间[1,1.5]内有零点,用二分法逐次计算,列表如下: 区间 (1,1.5) (1.25,1.5) (1.25,1.375) (1.312 5,1.375) 由于|1.375-1.312 5|=0.062 5<0.1, 所以函数的一个近似零点为 1.312 5. 中点值 1.25 1.375 1.312 5 1.343 75 中点函数近似值 -0.3 0.22 -0.05 0.08 3 利用图形计算器解题: 算器所绘出的图像,可大致看出零点所在的位置。 根据图形计 问题二: 求函数 f(x)=x +2x -3x-6 的一个正数零点(精确度 0.1). 解析:由于 f(1)=-6<0,f(2)=4>0,可取区间(1,2)作为计算的初始区间,用二分法逐次 计算,列表如下: 区间 (1,2) (1.5,2) (1.5,1.75) (1.625,1.75) (1.687 5,1.75) 由于|1.75-1.687 5|=0.062 5<0.1, 所以可将 1.687 5 作为函数零点的近似值. 中点 1.5 1.75 1.625 1.687 5 1.718 75 中点函数值 -2.625 0.234 4 -1.302 7 -0.561 8 -0.170 7 3 2 2 利用图形计算器解题: 图形计算器所绘出的图像,可大致看出零点所在的位置。 根据 (二)图像法 问题一: ? 1 (x ? 2) ? 设定义域为R的函数 f(x) ? ?| x - 2 | ? ( 1 x ? 2) ? 若关于x的方程f^2(x)+af

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