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精英班第四章二次不等式及其变形


第四章 二次不等式及其变形

1. 不等式的基本性质: 性质一:如果 a ? b, b ? c ,那么 a ? c 。 性质二:如果 a ? b ,那么 a ? c ? b ? c 。 性质三:如果 a ? b, c ? 0 那么 ac ? bc ;如果 a ? b, c ? 0 ,那么 ac ? bc 。 2. 一元二次不等式的解法: 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是二次的整式不等式叫做一元二次不等式。 一般地,设一元二次不等式为 ax 2 ? bx ? c ? 0 或 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) , 当对应的一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的根的判别式 ? ? b 2 ? 4ac ? 0 时, 先求出方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的两个 实数根 x1 , x2 (不妨设 x1 ? x2 ) , 于是不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集为 ?x x ? x1 或x ? x2 ? ;不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集为 ?x x1 ? x ? x2 ? 。 3. 不等式的解集经常用区间来表示。设 a , b 都为实数,并且 a ? b ,我们规定:

①集合 ?x a ? x ? b? 叫做闭区间,表示为 [a, b] ; ②集合 ?x a ? x ? b? 叫做开区间,表示为 (a, b) ; ③集合 ?x a ? x ? b? 或 ?x a ? x ? b? 叫做半开半闭区间,分别表示为 [a, b) 或 (a, b] 。 在上述所有的区间中, a , b 叫做区间的端点。以后我们可以用区间表示不等式的解集。 ④把实数集 R 表示为 (??, ??) ;把集合 ?x x ? a? 、 ?x x ? a? 、 ?x x ? b? 和 ?x x ? b? 分别用区间 [a, ??) 、
(a, ??) 、 (??, b] 和 (??, b) 表示。 a , b 也叫做区间的端点。 ?? ”读作“正无穷大”“ ?? ”读作“负无穷 “ ,

大” 。 4.

数轴标根法:

对于简单的高次不等式, 通常是通过同解变形化为 P( x) ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ? ? ( x ? xn ) ? 0(或 ? 0) 的形式后, 利用数轴标根法求解。数轴标根法的具体步骤如下: ①将 P( x) ? 0 的所有根从小到大依次标在数轴上; ②从最大根的右上方起用一条曲线依次穿越各根; ③根据曲线在 x 轴的上、下方所显示的区间按 P(x) 所要的符号( ? 0 或 ? 0 )写出不等式的解集。

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【例1】

已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图像与 x 轴相交于 (1,0) 与 (3,0) 两点, 则不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集是否确定?若确定,求其解集;若不确定,请给出一个条件,使其解集确定.

【分析】

由二次函数与一元二次不等式的关系,可确定 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集. 由二次函数的图像及一元二次不等式的关系可知: 当 a ? 0 时, ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集为 x x ? 1或x ? 3 ; 当 a ? 0 时, ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集为 ?x 1 ? x ?3?. 故只要给 a 一个具体值或给定 a 的符号,则不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集就是确定的. 已知不等式 x 2 ? ax ? b ? 0 的解集是 ?x 2 ? x ? 3?,求不等式 bx 2 ? ax ? 1 ? 0 的解集. 根据一元二次不等式与一元二次方程的关系,可知 2 和 3 是方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的两根,从而
? 1 1? a ? 2 ? 3 ? 5 , ? ?2 ? 3 ? ? 6 , b 于是 ? 6 x 2 ? 5x ? 1 ? 0 , 6 x 2 ? 5 x ? 1 ? 0 , 即 解得 ? x ? ? x ? ? ? . 2 3? ? ? 1 1? 故所求不等式的解集为 ? x ? ? x ? ? ? . 2 3? ?
1? ? 设 a ? 0 ,解不等式 x 2 ? ? a ? ? x ? 1 ? 0 . a? ? 1? 1? 1 ? ? x 2 ? ? a ? ? x ? 1 ? 0 ? ( x ? a)? x ? ? ? 0 , 由于 a 与 的大小关系不确定, 因此以下分类讨论: a? a? a ? ?

?

?

【拓展】 【分析】

【例2】 【分析】

① a ? 1 时, a ? ② a ? 1 时, a ?

1 1 ,不等式的解为 ? x ? a ; a a 1 ,不等式的解为 ? ; a 1 1 ,不等式的解为 a ? x ? . a a

③ 0 ? a ? 1 时, a ?

【拓展】 【分析】

解关于 x 的不等式 x 2 ? (a ? a 2 ) x ? a 3 ? 0 . 原不等式可变形为 ( x ? a)( x ? a 2 ) ? 0 .显然,方程 ( x ? a)( x ? a 2 ) ? 0 的两根为 x1 ? a, x2 ? a 2 , 而 a ? a 2 ? 0 ? a1 ? 0, a2 ? 1 .于是分为“ a ? 0,0 ? a ? 1, a ? 1, a ? 0, a ? 1 ”五种情况进行讨论.

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① a ? 0 时,有 a ? a 2 ,此时原不等式的解为 ?x x ? a 或 x ? a 2 ; ② 0 ? a ? 1 时,有 a ? a 2 ,此时原不等式的解为 x x ? a 2 或 x ? a?; ③ a ? 1 时,有 a ? a 2 ,此时原不等式的解为 ?x x ? a 或 x ? a 2 ; ④ a ? 0 时,有 x ? 0 ,原不等式的解集为 ?x x ? R, x ? 0?; ⑤ a ? 1 时,有 x ? 1 ,原不等式的解集为 ?x x ? R, x ? 1?.

?

?

?

【例3】

0 ? ? ? ? ,已知不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集是 (? , ? ) ,求不等式

(a ? c ? b) x 2 ? (b ? 2a) x ? a ? 0 的解集.
【分析】 由已知,得 a ? 0 ,? ? ? ? ?

b c ? 0 ,?? ? ? 0 。因此 a ? 0 ,b ? 0 ,c ? 0 ,从而 a ? c ? b ? 0 . a a

设 (a ? c ? b) x 2 ? (b ? 2a) x ? a ? 0 的两根为: ? ' , ? ' , 则有 ? ' ? ? ' ?
2a ? a(? ? ? ) (? ? 1) ? ( ? ? 1) 2a ? b 1 1 ? ? ? ? , a ? c ? b a ? a?? ? a(? ? ? ) (? ? 1) ? ( ? ? 1) (? ? 1) ( ? ? 1)

? '? ' ?

a a 1 1 ? ? ? , a ? c ? b a ? a?? ? a(? ? ? ) ? ? 1 ? ? 1
1

又由已知,

? ?1

?

1

? ?1

?0,

? 1 1 ? 所以不等式 (a ? c ? b) x 2 ? (b ? 2a) x ? a ? 0 的解集为 ? ? ? ? 1 , ? ? 1? . ? ? ?

【例4】 【分析】

解不等式 x 4 ? 3x 2 ? 10 ? 0 . 原不等式可化为 ( x 2 ? 2)( x 2 ? 5) ? 0 ,∵ x 2 ? 5 ? 0 ,即有 x 2 ? 2 ? 0 ,解得 ? 2 ? x ? 2 . ∴原不等式的解集为 x ? 2 ? x ? 2 .

?

?

【拓展】 【分析】

解不等式 x ? x ? 6 . 原不等式可化为 ( x ? 2)( x ? 3) ? 0 , ∵ x ?3?0, 所以 x ? 2 ? 0 , x ? 0 , 又 解得 0 ? x ? 4 . ∴原不等式的解集为 ?x 0 ? x ? 4?.

【例5】

解关于 x 的不等式 x 2 ? (a ? a 2 ) x ? a 3 ? 0 .

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【分析】

原不等式可变形为 ( x ? a)( x ? a 2 ) ? 0 .显然,方程 ( x ? a)( x ? a 2 ) ? 0 的两根为 x1 ? a, x2 ? a 2 , 而 a ? a 2 ? 0 ? a1 ? 0, a2 ? 1 .于是分为“ a ? 0,0 ? a ? 1, a ? 1, a ? 0, a ? 1 ”五种情况进行讨论. ① a ? 0 时,有 a ? a 2 ,此时原不等式的解为 ?x x ? a 或 x ? a 2 ; ② 0 ? a ? 1 时,有 a ? a 2 ,此时原不等式的解为 x x ? a 2 或 x ? a?; ③ a ? 1 时,有 a ? a 2 ,此时原不等式的解为 ?x x ? a 或 x ? a 2 ; ④ a ? 0 时,有 x ? 0 ,原不等式的解集为 ?x x ? R, x ? 0?; ⑤ a ? 1 时,有 x ? 1 ,原不等式的解集为 ?x x ? R, x ? 1?.

?

?

?

【拓展】 【分析】

问正数 p 为何值时,满足不等式 x 2 ? ( p 3 ? p 2 ? 2) x ? p 3 ? 2 p 2 ? 0 的 x 的最大值为 3 . 依题意, x ? 3 是方程 x 2 ? ( p 3 ? p 2 ? 2) x ? p 3 ? 2 p 2 ? 0 的根,代入,有

9 ? 3 p 3 ? 3 p 2 ? 6 ? p 3 ? 2 p 2 ? 0 ,即 2 p 3 ? p 2 ? 3 ? 0 .
∵ 2 p 3 ? p 2 ? 3 ? ( p ? 1)(2 p 2 ? 3 p ? 3) ? 0 , ∴ p ? 1 或 2 p 2 ? 3 p ? 3 ? 0 , 其 ? ? ?15 ? 0 , 故

2 p 2 ? 3 p ? 3 ? 0 无实根.∴ p ? 1 .
此时不等式为 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ,其解为 1 ? x ? 3 ,满足条件. ∴ p ?1.

【例6】 【分析】

若函数 f ( x) ? kx 2 ? 6kx ? (k ? 8) 的定义域为 R ,则 k 的取值范围为________. 此函数的定义域为 R 等价于函数 y ? kx 2 ? 6kx ? (k ? 8) ? 0 对一切 x ? R 都成立. 当 k ? 0 时, y ? 8 ? 0 恒成立;

?? ? 36k 2 ? 4k (k ? 8) ? 0, 当 k ? 0 时, ? 解得 0 ? k ? 1 ,∴ 0 ? k ? 1 .【答案】 0 ? k ? 1 ? k ? 0,

【例7】 【分析】

已知不等式 (m 2 ? 4m ? 5) x 2 ? 4(m ? 1) x ? 3 ? 0 , 对于一切实数 x 恒成立, 求实数 m 的取值范围. ⑴当 m 2 ? 4m ? 5 ? 0 时,有 m ? ?5 或 m ? 1 .
? 1? ① m ? ?5 时,有 24x ? 3 ? 0 ,其解集为 ? x x ? ? ? ,解集不为 R ,故 m ? ?5 ; 8? ?

② m ? 1 时,有 3 ? 0 ,对于一切实数 x 恒成立,因此 m ? 1 .

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? m 2 ? 4m ? 5 ? 0, ⑵ 当 m 2 ? 4m ? 5 ? 0 时 , 有 ? 解得 2 2 ?? ? 16(m ? 1) ? 12(m ? 4m ? 5) ? 0,
1 ? m ? 19 .

?m ? ?5或m ? 1, ,故 ? ?1 ? m ? 19,

综上所述,实数 m 的取值范围是 1 ? m ? 19 . 若对于 x ? R ,恒有
3x 2 ? 2 x ? 2 x2 ? x ? 1 ? n(n ? N ? ) ,求 n 的值.

【例8】 【分析】

∵对任意实数 x 恒有 x 2 ? x ? 1 ? 0 , ∴原不等式去分母,整理得: (3 ? n) x 2 ? (2 ? n) x ? (2 ? n) ? 0 .
? n ? 3, ? 3 ? n ? 0, ? 10 ?? ∴? 2 ?(2 ? n) ? 4(3 ? n)(2 ? n) ? 0, ?n ? 2或n ? 3 . ?

又 n ? N ? ,∴ n ? 1 .
x 2 ? mx ? 1 2x 2 ? 2x ? 3 x 2 ? mx ? 1 2x 2 ? 2x ? 3
2

【拓展】 【分析】

当 m 为何值时, 不等式可化为:

? 1 对任意的 x ? R 都成立? ?1? 0 ? x 2 ? (m ? 2) x ? 4 2x 2 ? 2x ? 3 ?0.

? 又因 2 x 2 ? 2 x ? 3 ? 2? x ? ?

1? 5 2 ? ? ? 0 ,故 x ? (m ? 2) x ? 4 ? 0 恒成立. 2? 2

因为 x 2 的系数为 1 ,所以 ? ? ?? (m ? 2)?2 ? 4 ? 4 ? 0 ,即 (m ? 2) 2 ? 16 ? 0 ,解得 ?6 ? m ? 2 . 即当 ?6 ? m ? 2 时,结论成立.

【例9】

设二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a, b, c ? C) 满足 f (?1) ? 0 , 对于任意实数 x 都有 f ( x) ? x ? 0 , 并
? x ? 1? 且当 x ? (0,2) 时, f ( x) ? ? ? . ? 2 ?
2

⑴求 f (1) 的值; ⑵求证: a ? 0, c ? 0 ; ⑶当 x ? ?? 1,1? 时,函数 g ( x) ? f ( x) ? mx(m ? R) 是单调的,求 m 的取值范围.
? x ? 1? ⑴∵对于任意实数 x 都有 f ( x) ? x ? 0 ,并且当 x ? (0,2) 时, f ( x) ? ? ? . ? 2 ? ?1 ? 1? ∴当 x ? 1 时,有 1 ? f (1) ? ? ? ? 1 ? f (1) ? 1 ,即 f (1) ? 1 . ? 2 ?
2 2

【分析】

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? f (?1) ? 0, ?a ? b ? c ? 0, 1 ⑵由 ? 可得: ? ?b?a ?c? . 2 ? f (1) ? 1, ? a ? b ? c ? 1,

∵对于任意实数 x 都有 f ( x) ? x ? 0 ,即 ax 2 ? (b ? 1) x ? c ? 0 ,∴ ax 2 ?
? a ? 0, 1 ? 1 ∴? 即 ac ? ,从而 c ? 0 . ? ? ? 4ac ? 0, 16 ? 4 ?

1 x?c?0, 2

⑶∵

1 1 1 1 ? a ? c ? 2 ac ? 2 ? ,∴ a ? c ? . 2 16 2 4



f ( x) ?

1 2 1 1 x ? x? 4 2 4



g ( x) ? f ( x) ? mx ?

1 2 ?1 1 ? x ? ? ? m?x ? 4 4 ?2 ?





g ( x) ?

1 2 x ? (2 ? 4m) x ? 1 . 4
2 ? 4m ? 1 ,解得 m ? 1 或 m ? 0 . 2

?

?

又当 x ? ?? 1,1? 时,函数 g (x) 是单调的,∴

【例10】 【分析】

设不等式 2 x ? 1 ? m( x 2 ? 1) 对满足 m ? 2 的一切 m 值都成立,求 x 的取值范围. 原不等式可化为: mx 2 ? 2 x ? 1 ? m ? 0 ,即 m( x 2 ? 1) ? (2x ? 1) ? 0 . 令 f (m) ? m( x 2 ? 1) ? (2x ? 1) ,则问题转化为讨论 f (m) 在 ?? 2,2? 上恒小于 0 时 x 的取值范围. ⑴若 x 2 ? 1 ? 0 ,有 2 x ? 1 ? 0 ? x ?

1 ,则 x ? 1 满足题意; 2
1? 3 ; 2

⑵若 x 2 ? 1 ? 0 , f (m) 在 ?? 2,2? 上单调递增, 故只要 f (2) ? 0 便能满足题设, 解得 1 ? x ? ⑶若 x 2 ? 1 ? 0 , f (m) 在 ?? 2,2? 上单调递减,故只要 f (?2) ? 0 便能满足题设,解得
?1? 7 ? x ? 1. 2

综上所述, x 的取值范围是

?1? 7 1? 3 ?x? . 2 2

【例11】

关于实数 x 的不等式 x ?

(a ? 1) 2 (a ? 1) 2 与 x2 ? 3(a ? 1) x ? 2(3a ? 1) ? 0 (其中 a ? R )的解集 ? 2 2

依次为 A 与 B ,求使 A ? B 的 a 的取值范围. 【分析】 解不等式 x?
(a ? 1) 2 (a ? 1) 2 (a ? 1) 2 (a ? 1) 2 (a ? 1) 2 ?x? ? ? 2a ? x ? a 2 ? 1 , 即 , ? ? 2 2 2 2 2

A ? x 2a ? x ? a 2 ? 1 .

?

?

解不等式 x2 ? 3(a ? 1) x ? 2(3a ? 1) ? 0 ,方程 x 2 ? 3(a ? 1) x ? 2(3a ? 1) ? 0 的两个解为 2 和 3a ? 1 .

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?3a ? 1 ? 2a, ? a ? ?1, 1 故 a ? ?1 ; ?? a ? 时, 2 ? 3a ? 1 , B ? ?x 3a ? 1 ? x ? 2?,若 A ? B ,则 ? 2 3 ? a ? 1 ? 2, ?? 1 ? a ? 1,

a?

? 2 10 ? 1 时, B ? ?x x ? 2?, A ? ? x ? x ? ? ,明显 A ? B ; 9? 3 ? 3

a?

1 时 , 2 ? 3a ? 1 , B ? ?x 2 ? x ? 3a ? 1? , 若 A ? B , 则 3

? 2 ? 2a, ? a ? 1, 故 ?? ? 2 ?a ? 1 ? 3a ? 1, ?0 ? a ? 3,

1 ? a ? 3。

综上可得,使 A ? B 的 a 的取值范围是 ?1,3? ? ?? 1? .

【例12】 【分析】

若关于 x 的不等式 2 ? x 2 ? x ? a 至少有一个负数解,求实数 a 的取值范围. 当 x ? a ? 0 时, 2 ? x 2 ? x ? a ? x 2 ? x ? a ? 2 ? 0 ,若要使不等式至少有一个负数解,则方程
x 2 ? x ? a ? 2 ? 0 必须满足 ? ? 1 ? 4(a ? 2) ? 0 ,即 a ? ?

9 ; 4

当 x ? a ? 0 时, 2 ? x 2 ? ?( x ? a) ? x 2 ? x ? a ? 2 ? 0 .另 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 ? 2 ,若要使不等式至 少有一个负数解,则必须满足 f (0) ? 0 ,即 a ? 2 ? 0 , a ? 2 .
? 9 ? 综上可得,实数 a 的取值范围是 ? ? ,2 ? . ? 4 ?

【练习1】 已知不等式① x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 和② x 2 ? 6 x ? 8 ? 0 及③ 2 x 2 ? 9 x ? m ? 0 , 若要使同时满足①②的

【分析】

x 也满足③,则有( ). C .m ? 9 A.m ? 9 B.m ? 9 D.0 ? m ? 9 由①,得 1 ? x ? 3 ,由②,得 2 ? x ? 4 ,所以同时满足①②的 x 的范围是 2 ? x ? 3 .
? f (2) ? 0, ?m ? 10 ? 0, 设 f ( x) ? 2x 2 ? 9x ? m ? 0 ,要使同时满足①②的 x 也满足③,只须 ? 即? 解 ? f (3) ? 0, ? m ? 9 ? 0,

得 m ? 9 .【答案】 C

【练习2】 解不等式 2 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 . 【分析】

1 因为 ? ? 0 ,方程 2 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的解是 x1 ? ? , x 2 ? 2 . 2

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? ? 1 故不等式的解集是 ? x x ? ? 或x ? 2? 2 ? ?

【练习3】 解不等式 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 . 【分析】 原不等式可化为 ( x ? 1)( x ? 3) ? 0 ,∵ ( x ? 1) ? 0 ,则有 ( x ? 3) ? 0 ,解得 x ? ?3 或 x ? 3 . ∴原不等式的解集为 x x ? ?3或x ? 3 .

?

?

【练习4】 解关于 x 的不等式 2 x 2 ? ax ? 2 ? 0 . 【分析】 ①当 ? ? 0 ,即 a ? ?4 或 a ? 4 时,
? ? a ? a 2 ? 16 ? ? a ? a 2 ? 16 ? ? 原不等式的解集为 ? x x ? 或x? ?; 4 4 ? ? ? ?

②当 ? ? 0 ,即 a ? ?4 时,若 a ? 4 ,则原不等式可变成 ( x ? 1) 2 ? 0 ,其解集为 ?x x ? R且x ? ?1?; 若 a ? ?4 ,则原不等式可变成 ( x ? 1) 2 ? 0 ,其解集为 ?x x ? R且x ? 1?; ③当 ? ? 0 ,即 ?4 ? a ? 4 时,原不等式的解集为 R .

【练习5】 若 a ? 0 ,对于一切实数 x 不等式 ax 2 ? ax ? a ? 3 ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. 【分析】 本题相当于已知不等式的解集为 R ,求 a 的取值范围.
? a ? 0, 因为 x ? R ,总有 ax 2 ? ax ? a ? 3 ? 0 恒成立,则有 ? 解得 a ? 0 . 2 ?? ? a ? 4a(a ? 3) ? 0,

【练习6】 若同时满足不等式 x 2 ? x ? 2 ? 0 和 2 x2 ? (5 ? 2a) x ? 5a ? 0 的 x 的整数值只有 ?2 ,求 a 的取值范 围. 【分析】
? x 2 ? x ? 2 ? 0, ? x ? ?1或x ? 2, 解不等式 ? 2 得? ?2 x ? (5 ? 2a) x ? 5a ? 0, ?(2 x ? 5)( x ? a) ? 0.

a?

? x ? ?1或x ? 2, 5 ? 时, ? 5 为使不等式组有唯一整数解 ?2 ,只需 ?2 ? ? a ? 3 ,即 ?3 ? a ? 2 ; ? ? x ? ? a, 2 ? 2 ?

a?

? x ? ?1或x ? 2, 5 时, ? 无解; 2 ?(2 x ? 5)( x ? a) ? 0.
? x ? ?1或x ? 2, 5 ? 5 此时使不等式组有唯一整数解 ?2 的 a 不存在. 时, ? ?a?x?? , 2 ? 2 ?

a?

综上可得, a 的取值范围是 [?3,2)

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