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《1.2.1 任意角的三角函数》导学稿


必修四-----1.2.1 任意角的三角函数 高一( )班 姓名 ____________ 学号 _____________ 一、学习目标: 1. .能借助单位圆陈述任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,能解释任意角三角函数定 义的内涵, 2.能够利用 α 终边上任意一点的坐标,正确计算 α 的任意三角函数值。 3.会判断正弦函数、余弦函数值和正切函数的值在各个象限的符号。 4 .能根据定义理解公式一, 能归纳和概括出公式一的结构特征。 5 .能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。 课时安排:2 课时 目标说明:目标 1、2 是第一课时的重点,目标 1 是第一课时的重点。 目标 4,5 是第二课时的重点,目标 5 是第二课时的重点 P 二、学习过程 第一课时 (一)回忆原有知识 问题 1.在初中是如何定义锐角三角函数的?

c
tan ? ?

?

a
M

sin ? ?

cos? ?

O

b

问题 2.在直角坐标系中,设角 α 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的非负半轴重合, 如图 1,点 P 是锐角 ? 的终边上一点,设点(x,y),OP=r=_____________________,
sin ? ? _______,cos ? ? _______, tan ? ? _________ 若改变 P 点在锐角 ? 的终边上的位置,问题 2 中的三个比值会改变吗?为什么?

y P α O x

y P

P1

α O x

图1 特殊地:当 OP=1 时,点 P(x,y)是角锐角 α 的终边与单位圆的交点。锐角三角函数可用直角

MP y 坐标系内点的坐标表示为: sin ? ? MP ? y = ____, cos ? ? OM ? x =_____, tan ? ? ? OM x OP r OP r
规定:在直角坐标系中,以原点 O 为圆心,以单位长度为半径的圆叫做单位圆 结论:锐角 ? 的函数值只与____有关,而与点 P 在角的__________________________无关. 锐角三角函数是以___________为自变量,以__________为函数值的函数。
1

(二)学习新知识 导学:在半径为单位长度 1 的圆中,角 α 的弧度数的绝对值等于圆心角所对的弧长(符号由 α 的终边的旋转方向决定)。任意角 α (弧度数)确定,则必有终边上的点 P 与角 α 对应。 那么任意角 α 确定,则单位圆上的点________________________确定。

1、任意角的三角函数定义:设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么: (1)y 叫做 ? 的_______,记作 sin? ,即__________ (2)x 叫做 ? 的_______,记作 cos? ,即__________ y (3)

y 叫做 ? 的______,记作 tan?, 即__________ x

P(x,y)

正弦、余弦,正切都是以______________为自变量, 以单位圆上点的_________________为函数值的函数。 以上三种函数统称三角函数. 注意:(1)? 表示一个角,又是一个实数(弧度数) (2)角的集合与______之间可以建立一一对应关系。 (3)三角函数可以看成是自变量为__________的函数。 2 三角函数的定义域 三角函数 定义域

?

A(1,0)

O

x

sin ?

cos?
tan ?
3.三角函数值的在各个象限的符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限

sin ? cos?

tan ?
规律:
2

4.样例学习及变式训练 例 1.求

5? 7? 的正弦、余弦和正切值 , 3 6

变式:在直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边作角 ? ,它的终边交单位圆于 A 两点,已知 A 点 的横坐标分别是-

2 ,求 cos? 及 sin ? , tan ? 。 10

例 2:已知角 ? 终边上一点的坐标为 P(-4,-3),求角 ? 的各个三角函数值。 思路一;

思路二:

思考:可以利用角 ? 终边上任意一点的坐标来定义任意角的三角函数吗? 一般地,设角 ? 终边上任意一点的坐标 P(x,y),它与原点的距离为 r(r>0), r ? 三角函数 定义 定义域

x 2 ? y 2 ,则

sin ? cos?

tan ?
3

变式训练:已知角 ? 终边在直线 y=

3 x 上,求角 ? 的各个三角函数值。

例 3.确定下列三角函数值的符号: (1)cos

7 11 ? ; (2)sin( ?465? ); (3)tan ? 12 3

【变式训练】求证:当不等式组 ?

?sin ? ? 0 成立时,角 ? 为第三象限角.反之也对. ? tan ? ? 0

4

第二课时 5.诱导公式一 导学:因为 ? ? k ? 360 与? _____________,所以
?

由三角函数的定义有 sin(? ? k ? 360 ) ? ________ ? ________
?

y

?的终边

cos(? ? k ? 360? ) ? ________ ? _______ tan(? ? k ? 360? ) ? ________ ? _______

r
o
x

P ( x, y )

y
M

x

结论:

作用:

6.样例学习及变式训练 例 5.求下列三角函数值: ?1? sin 780?;(2)sin1480 10 ; ? 3? cos
o /

9? ? 11? ? ; ? 4 ? tan ? ? ? 4 ? 6 ?

? 11? 变式训练:求值 cos ? ? ? 3

? ? 71? ? ? sin ? ? ? ? 6

? ? 19? ? ? ? tan ? ? ? ? 3 ?

5

7.三角函数线的概念 问题 1:如图,设角α 为第一象限角,其终边与单位圆的交点为 P(x,y), 则 cos? ? x , sin ? ? y 都是正数,你能分别用一条线段表示 角α 的正弦值和余弦值吗?

y
P(x,y)

_____ ? y ? sin ? ,

_____ ? x ? cos?

O

x
y

问题 2:如图,设角α 为第三象限角,其终边与单位圆的交点为 P(x,y), 则 cos? ? x , sin ? ? y 都是负数,你能分别用一条线段表示 角α 的正弦值和余弦值吗?

_____ ? y ? sin ? , _____ ? x ? cos?
规定:线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向,反向时为负方向. 规定了始点和终点,带有方向的线段,叫做有向线段.

O P(x,y)

x

▲正弦线、余弦线:设角α 的终边与单位圆的交点为 P,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M, sin ? ? ____,cos ? ? ______ ,MP 叫做正弦线,OM 叫做余弦线 问题 3:如图,设角α 为第一象限角,其终边与单位圆的交点为 P(x,y),则 tan ? ? 正数,用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适?那么其他象限呢?

y 是 x

y
P(x,y)

y

y

y
M

O

x

O

x

O P(x,y)

x

O

x P

▲正切线: 过点 A (1, 0) 作单位圆的切线, 与角α 的终边或其反向延长线相交于点 T, 则 AT=tan α .________叫做正切线。 ▲请在各个象限画出正弦线、余弦线、正切线。 归纳:三角函数线的特点:

问题 4:当角α 的终边在坐标轴上时,角α 的三角函数线如何?

6

8.练习: (1).作出下列

? 5?
3 6 ,

,?

2? 13? 的正弦线,余弦线,正切线 ,? 3 6

思考:从单位圆中的三角函数线你能得出三角函数的那些性质?

(2).下列不等式中,正确的个数是( ( 3) tan130? ? tan140?
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 (C)



( 1) sin130? ? sin140? (2) cos130? ? cos140?

(3).观察下列不等式: sin

?
6

?

?
6

? tan

?
6

, sin

?
4

?

?
4

? tan

?
4

, sin

?
3

?

?
3

? tan

?
3

你有什么一般猜想?

思考:对于不等式 sin a < a < tan a (其中α 为锐角),你能用数形结合思想证明吗?

7

(三)

课堂小结

请同学们总结本节课学习的内容 一个概念:___________________概念;任意角的三角函数 一个判断:___________________判断;三角函数值符号 一组诱导公式: sin(? ? 2k? ) ? sin ? ;cos(? ? 2k? ) ? cos ? ; tan(? ? 2k? ) ? tan ? ; 一组三角函数线:正弦线、余弦线、正切线。

(四)课外作业
第一课时:作业本:教材 P20 习题 1.2(A 组) 第 2,3,7 第二课时:作业本:教材 P20 习题 1.2(A 组) 第 1,4,9(1)(3),

2.《学习与评价》p9-12

达标训练(1)--(12);

p14

拓展训练(1)-(6)

8

(1) ? 的正弦、余弦值分别为( (A)

7 3



3 1 3 1 3 1 , , ,? (C) (D) ? 2 2 2 2 2 2 (2)角 ? 终边过点(-1,2),则 cos ? ? ( ) 5 2 5 5 2 5 (A) (B) (C) ? (D) ? 5 5 5 5 2 (3)若点 P 在角 ? 的终边上,且 OP ? 2 ,则点 P 的坐标是( ) 3 (A) (1, 3) (B) ( 3,1) (C) (?1, ? 3) (D) ( ?1, 3) sin ? cos ? (4)若 ? 为第二象限角,则 ) ? ?( sin ? cos ?
(B) ? (A)1
0

3 1 ,? 2 2

(B)0

(C)2

(D)-2 ) (D) 3

(5)若 420 角的终边所在直线上有一点 (?4, a) ,则 a 的值为( (A) 4 3 (B) ?4 3 (C) ?4 3 (6)下列三角函数值的符号相同的是( )

13 ? ? 和 cos(? ) 6 6 ? 13 (D) sin(? ) 和 tan ? 6 6 (7)若三角形的两内角 A、B 满足 sin A? cos B ? 0 ,则此三角形的形状为( 13 ? 6 6 13 11 (C) sin ? 和 tan ? 6 3
(A) sin(?

?

) 和 cos

(B) sin

(A)锐角三角形

(B)钝角三角形

(C)直角三角形

) (D)不能确定 )

(8)若 ? 的终边经过点 P(?b, 4) ,且 cos ? ? ?

(A)3 (B) ?3 (C) ?3 (9)如果角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在函数 y ? 5x( x ? 0) 的图像上, 那么 cos ? ? ( )

3 ,则 b 的值为( 5 (D) 5

26 26 1 (C) ? (D) ? 26 26 5 0 0 (10)如果角 ? 的终边过点 P(2sin 30 , ?2cos 30 ) ,则 cos? 的值等于 (11)(I)若 sin ? ? ____ 象限角; cos? ? 0 ,则 ? 是第 (II) sin 2? 。 cos 2 的符号是 2 x, (12) 且 cos ? ? 则 sin ? ? ? 是第二象限角,P( x, 5) 为其终边上一点, 4 (13)已知角 ? 的终边上有一点 P(?3a, 4a)(a ? R且a ? 0) ,求 sin ? , cos ? 。
(A) ? (B)

26 26





(14)求下列三角函数值:
9

(I) sin(?1485 ) ;
0

(II) cos

19? ; 3

(III) tan

11? 。 6

拓展训练

, ) ,则 sin ? ,cos ? , tan ? 的大小顺序是( 4 2 (A) sin ? ? cos ? ? tan ? (B) tan ? ? cos ? ? sin ? (C) cos ? ? tan ? ? sin ? (D) tan ? ? sin ? ? cos ?
(1)若 ? ? ( (2)已知点 P(3, y) 在角 ? 的终边上,且满足 y ? 0, cos ? ?

? ?



3 ,则 tan ? 的值等于( 5



4 3 4 (C) (D) ? 3 4 3 cos x sin x tan x ? ? (3)函数 y ? 的值域是( ) sin x cos x tan x
(A) ? (B) (A) ?1? (A) sin (B) ?3? (C) ??1,3? (D) ?1, 0? ) (D) cos 2? (4)设 ? 是第四象限角,则以下函数值一定是负值的是(

3 4

?

2

(B) cos

?

2

(C) tan

?

2

i n ?? (5) 已知角 ? 的终边上有一点 P(? 3, y), y ? 0 , 且s

2 y, 则c o s ?? 4



(6)已知角 ? 的终边过点 (3a ? 9, a ? 2) ,且 cos ? ? 0,sin ? ? 0 ,则 ? 的取值范围 是 。

(7)已知

sin ? ? 2cos ? ? 1 ,则 ? 在第 cos ?

象限

(8)已知 sin ? ? tan ? ? 0 ,则角 ? 构成的集合为



1.2.1

任意角的三角函数
10

高一( )班 姓名 ____________ 学号 _____________ 一、学习目标: 1.能陈述任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,借助锐角三角函数、坐标系、单 位圆体 体验定义形成过程。 2 .能用自己的话解释任意角三角函数定义的 的内涵,从而认识三角函数的定义域、函数值的 符号。 3 .能根据定义理解公式一, 能归纳和概括出公式一的结构特征。 4 .能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。 重点:理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 难点:1.用单位圆上点的坐标刻画三角函数。学生熟悉的函数 y ? f ( x) 是实数到实数的对应, 解决本节的难点关键是明确任意角三角函数首先是实数(弧度数)到点的坐标的对应,然后才 是实数(弧度数)到实数(横坐标或纵坐标)的对应。 2.三角函数线(任意角的正弦、余弦、正切函数值的几何表示) 课时安排:2 课时 二、学习过程 第一课时 (一)回忆原有知识 问题 1.在初中是如何定义锐角三角函数的?

P

sin ? ?

a c b c

c
?

cos? ?
tan ? ?

a

a b

O

b

M

问题 2.在直角坐标系中,设角 α 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,如图 1, 点 P 是锐角 ? 的终边上一点,设点(x,y),OP=r=_____________________, sin ? ? _______,cos ? ? _______, tan ? ? _________ 若改变 P 点在锐角 ? 的终边上的位置,问题 2 中的三个比值会改变吗?为什么?

y P

y P

P1

α O x O

α x

图1

11

特殊地: 当 OP=1 时,点 P(x,y)是角锐角 α 的终边与单位圆的交点。锐角三角函数可用直角 坐标系内点的坐标表示为: sin ? ?

MP y OM x ? = ____, cos ? ? ? =_____, OP r OP r

tan ? ?

MP y ? OM x

(规定:在直角坐标系中,以原点 O 为圆心,以单位长度为半径的圆叫做单位圆) 结论:锐角 ? 的函数值只与 ? 有关,而与点 P 在角的终边上的位置无关. 锐角三角函数是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数。 (二)习得任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义的概念 问题 3. 引入弧度制,在半径为单位长度的圆中,角 α 的弧度数的绝对值等于圆心角所对的弧 长(符号由角 α 的终边的旋转方向决定)。任意角 α (实数即弧度数)确定,则必有终边上 的点 P 的坐标与角 α 对应。 那么任意角 α 确定, 则单位圆上点的坐标或坐标的比值唯一确定。

任意角的三角函数定义:设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么: (1)y 叫做 ? 的正弦,记作 sin? ,即 sin?=y (2)x 叫做 ? 的余弦,记作 cos? ,即 cos?=x (3) 叫做 ? 的正切(tangent),记 tan?,即 tan?=

y (x≠0) x

正弦、余弦,正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。以 上三种函数统称三角函数. (引导学生理解概念的:三角函数的自变量、对应关系、函数值分别是什么?) 结论:(1)角 ? 表示一个角,又是一个实数(弧度数) (2)角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系。 (3)三角函数可以看成是自变量为实数的函数。

12

y
P(x,y) O
(三)三角函数定义运用 例 1.求

?

A(1,0 x
)

5? 7? 的正弦、余弦和正切值 , 3 6

变式:
.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个角 ?,? , 它们的终边分别交单位圆于 A,B 两点(如图).
2 2 5 已知 A,B 两点的横坐标分别是 10 , 5 . 求 cos ? ,cos ? 的值;
O y A B

x

及 sin ? ,sin ? , tan ? , tan ? 。
(1)由任意角三角函数的定义可知 cos ? ?
(2)设点 A,B 纵坐标分别为 y A , yB ,则 ( 如图,解得 y A ?
7 2 5 , yB ? 10 5

2 2 5 , , cos ? ? 10 5

2 2 2 5 2 ) ? y A2 ? 1, ( ) ? yB 2 ? 1 10 5

7 2 5 1 由任意角三角函数定义, tan ? ? 10 ? 7, tan ? ? 5 ? 2 2 5 2 10 5

例 2:已知角 a 终边上一点的坐标为 P(-4,-3),求角 a 的各个三角函数值。 思路一; 思路二:

思考:可以利用角 ? 终边上任意一点的坐标来定义任意角的三角函数吗?

13

结论:一般地,设角 ? 终边上任意一点的坐标 P(x,y),它与原点的距离为 r,则 sin ? ?

y , r

cos ? ?

x MP y , tan ? ? ? 。 r OM x
3 x 上,求角 a 的各个三角函数值。

变式训练:已知角 a 终边在直线 y=

解:(1)当角?的终边在y= 3x (x>0)上时, 取点(1, 3 )

则r ? 2
tan a ? y ? 3 x

? sin a ?

y 3 x 1 ? cos a ? ? r 2 r 2

(2)当角?的终边在y= 3x (x<0)上时, 取点(-1,- 3 )

则r ? 2
3

x 1 y y 3 cos a ? ? ? tan a ? ? ?? r 2 r 2 x (四)三角函数的定义域与三角函数值的符号
? sin a ?
三角函数 定义域 R R

sin ?

cos?
tan ?
{? | ? ? R且? ?

?
2

? k? , k ? Z }

思考: sin ? ,cos ? , tan ? 在各象限的符号问题 ?

sin ?
y
o x

cos?
y
o x

tan ?
y
o x

规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦

sin ?

y

全为+

o

x

14

例 3:确定下列三角函数值的符号: (1)cos

7 11 ? ; (2)sin( ?465? ); (3)tan ? 12 3

解: (1) ?

7 7 ? 是第二象限的角, ? cos ? ? 0. 12 12

(2) ? -465? =-2 ? 360? +255?,即-465?是第三象限的角, ? sin( ?465? ) ? 0.
求证:当不等式组 成立时,角 ? 为第三象限角.反之也对. 11 5 ? tan 11 ??? 0 ? (3) ? ? ? 2? ? ? ,即 是第四象限的角, 3 3 3 证明: 11 ? ? 0 成立,所以 ? 角的终边可能位于第三 ?因为①式 tan ? sin ? 0. 3 或第四象限,也可能位于y 轴的非正半轴上; 例4.

?sin ? ? 0

又因为②式 tan? ? 0 成立,所以角? 的终边可能位于 第一或第三象限. 因为①②式都成立,所以角? 的终边只能位于第三象限. 于是角 ? 为第三象限角.
巩固练习:书本 15 页:4,6 ,20 页:9 反过来请同学们自己证明 . 第二课时 (五)诱导公式一 思考:因为 ? ? k ? 360 与? 终边相同,所以
?

由三角函数的定义有 sin(? ? k ? 360 ) ? __ ? ______
?

y

?的终边

cos(? ? k ? 360 ) ? __ ? ______
?

tan(? ? k ? 360? ) ? __ ? ______
结论:终边相同的角的同一三角函数的值相等. 作用:

r
o
x

P ( x, y )

y
M

x

可以把任意角的正弦, 余弦, 正切函数值,化为00 到3600的角的同一三角函数值 (方法在00 到3600 之间找出与它终边相同的角)。

15

例 5.求下列三角函数值: ?1? sin 780?;(2)sin1480o10/ ; ? 3? cos

9? ? 11? ? ; ? 4 ? tan ? ? ? 4 ? 6 ?

?1? sin 780 ? ? sin( 60 ? ? 2 ? 360 ?) 解:
? 3 ? cos
9? ? ? 2 ? cos( ? 2? ) ? cos ? 4 4 4 2

? sin 60? ?

3 2

? 71? ?? 2? ? 19 ? tan )? ? tan( )?? ? 4 ? tan(?cos ?? ? 113? 变式训练:求值 ? ? sin ? ? ? ? tan ? ? 6 3 ? ?

11? ?6

?

?
6

6?

?

?

?

3 3

? 11? 解: cos ? ? ? 3

? ? 71? ? sin ? ?? ? ? 6

? ? 19? ? ? tan ? ? ? ? ? 3 ?

?? ?? ?? ? ? ? ? cos ? ?4? ? ? ? sin ? ?12? ? ? ? tan ? 6? ? ? 3? 6? 3? ? ? ?
? cos

?
3

? sin

?
6

? tan

?
3

(六)习得三角函数线的概念 1 1 α 为第一象限角,其终边与单位圆的交点为 P(x,y),则 cos? ? x , 问题 1:如图,设角 ? ? ? 3 ? 1? 3 α 的正弦值和余弦值吗? sin ? ? y 都是正数,你能分别用一条线段表示角 2 2

y
P(x,y)

y
P(x,y)

O
| MP |? y ? sin ? , | OM |? x ? cos ?

x

O

M

x

问题 2:如图,设角α 为第三象限角,其终边与单位圆的交点为 P(x,y),则 cos? ? x , sin ? ? y 都是负数,你能分别用一条线段表示角α 的正弦值和余弦值吗?

? | OM |? x ? cos ? , ? | OM |? x ? cos ? ,

y

16

y

规定:线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向,反向时为负方向. 规定了始点和终点,带 有方向的线段,叫做有向线段. 正弦线、余弦线:设角α 的终边与单位圆的交点为 P,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M, ,MP 叫做正弦线,OM 叫做余弦线 sin ? ? cos ? ?

问题 3:如图,设角α 为第一象限角,其终边与单位圆的交点为 P(x,y),则 tan ? ? 负数,用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适?那么其他象限呢?

y 是 x

y
P(x,y)

y

y

y
M

O

x

O

x

O P(x,y)

x

O

x P

正切线:过点 A(1,0)作单位圆的切线,与角α 的终边或其反向延长线相交于点 T,则 AT=tan α .________叫做正切线。

小结三角函数线的特点:请在上图做出相应的三角函数线。 1、都是规定起点、终点的有向线段。 2、正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化,余弦线和正切线的始点都是定点,分别是原 点 O 和点 A(1,0).

问题 4:当角α 的终边在坐标轴上时,角α 的三角函数线如何? 当角α 的终边在 x 轴上时,正弦线、正切线分别变成一个点; 当角 α 的终边在 y 轴上时,余弦线变成一个点,正切线不存在.

练习:1、作出下列各角的正弦线,余弦线,正切线
17

? 5?
3 6 ,

,?

2? 13? ,? 3 6

思考:从单位圆中的三角函数线你能得出三角函数的那些性质?

2、下列不等式中,正确的个数是( ( 3) tan130? ? tan140?
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 (C)



( 1) sin130? ? sin140? (2) cos130? ? cos140?

3、观察下列不等式: sin

?
6

?

?
6

? tan

?
6

, sin

?
4

?

?
4

? tan

?
4

, sin

?
3

?

?
3

? tan

?
3

你有什么一般猜想? 思考:对于不等式 sin a < a < tan a (其中α 为锐角),你能用数形结合思想证明吗?

证明 : ? S ?OAP ? S扇形OAP ? S ?OAT y
1 1 1 .OA.MP ? .? .OA2 ? .OA. AT 2 2 2

T P M A x

? MP ? ? ? AT 即sin ? ? ? ? tan?

O

(七) 课堂小结和课外作业 请同学们总结本节课学习的内容 一个概念:___________________概念;任意角的三角函数 一个判断:___________________判断;三角函数值符号 一组诱导公式:

sin?? ? 2k? ? ? sin ?
cos?? ? 2k? ? ? cos?

一组三角函数线:正弦线、余弦线、正切线。

tan?? ? 2k? ? ? tan?

课外作业: 1. 作业本:教材 P20 习题 1.2(A 组) 第 1,2,3, 2. (1)书本 15 页练习:3,5,6,7 (2) 《学习与评价》p61-64 页,

18

19


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