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2016年山西省太原市高考数学三模试卷(理科)(解析版)


2016 年山西省太原市高考数学三模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x∈Z||x﹣1|<3},B={x|x2+2x﹣3≥0},则 A∩?RB=( ) A. B. (﹣2,1) (1,4) C.{2,3} D.{﹣1,0} 2.如果复数 于( ) C. D.2 ) (其中 i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反数,那么 b 等

A.﹣6 B.

3.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 2a6=6+a7,则 S9 的值是( A.27 B.36 C.45 D.54 4.下列命题错误的是( )

A.命题“若 x2+y2=0,则 x=y=0”的逆否命题为“若 x,y 中至少有一个不为 0,则 x2+y2≠0” B.若命题 p:? x0∈R,x0+1≤0,则¬p:? x∈R,x+1>0 C.△ABC 中,sinA>sinB 是 A>B 的充要条件 D.若向量 , 满足 ? <0,则 与 的夹角为钝角 5.某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的体积是( )

A.4cm3 B.6cm3 C. 6. 若用如图的程序框图求数列{

D. }的前 100 项和, 则赋值框和判断框中可分别填入 ( )

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A.S=S+ C.S=S+

,i≥100?

B.S=S+

,i≥101? ,i≥101?

,i≥100? D.S=S+

7.已知函教 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的图象与直线 y=b(0<b<A)的三个相 邻交点的横坐标分别是 2,4,8,则 f(x)的单调递增区间是( ) A.[6kπ,6kπ+3],k∈Z B.[6k﹣3,6k],k∈Z C.[6k,6k+3],k∈Z D.[6kπ﹣3,6kπ],k∈Z

8.已知实数 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+y 的最小值是(



A.﹣2 B.2 C.2 D.1 9.已知△ABC 的外接圆半径为 1,圆心为 O,且 3 ( A. ) B. C. D.

,则△ABC 的面积为

10.双曲线 C1:



=1(a>0,b>0)与抛物线 C2:y2=2px(p>0)相交于 A,B 两

点,公共弦 AB 恰过它们公共焦点 F,则双曲线的一条渐近线的倾斜角所在的区间可能是 ( ) A. ( , ) B. ( , ) C. ( , ) D. (0, )

11.已知{an}满足 a1=1,an+an+1=( )n(n∈N*) ,Sn=a1+4a2+42a3+…+4n﹣1an,则 5Sn﹣4nan= ( ) A.n﹣1 B.n C.2n D.n2 12.已知 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的 x∈(0,+∞) ,都有 f[f(x) ﹣log2x]=3,则方程 f(x)﹣f′(x)=2 的解所在的区间是( ) A. (0, ) B. ( ,1) C. (1,2) D. (2,3)

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二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分)
5 13. (x+ ) (2x﹣ ) 的展开式中各项系数的和为 2, 则该展开式中常数项为



14.曲线 f(x)=xlnx 在点 P(1,0)处的切线 l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程 是 . 15.已知 A、B 两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队,A 不排两端,3 个大人有且只要两个 相邻,则不同的排法种数有 . 16.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是棱 CC1 的中点,F 是侧面 BCC1B1 内的动点,且 A1F∥平面 D1AE,则 A1F 与平面 BCC1B1 所成角的正切值的取值范围是 .

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知 a、b、c 分别是△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边,且 2asin(C+ )= b.

(1)求角 A 的值: (11)若 AB=3,AC 边上的中线 BD 的长为 ,求△ABC 的面积. 18.某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别关系,随机抽取 50 名学生,得到如表的数 据表: 倾向“平面几何选讲” 倾向“坐标系与参数方程” 倾向“不等式选讲” 合计 4 6 26 男生 16 8 12 24 女生 4 12 18 50 合计 20 (Ⅰ)根据表中提供的数据,选择可直观判断“选课倾向与性别有关系”的两种,作为选课倾 向的变量的取值,并分析哪两种选择倾向与性别有关系的把握大; (Ⅱ)在抽取的 50 名学生中,按照分层抽样的方法,从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系 与参数方程”的学生中抽取 8 人进行问卷.若从这 8 人中任选 3 人,记倾向“平面几何选讲” 的人数减去与倾向“坐标系与参数方程”的人数的差为 ξ,求 ξ 的分布列及数学期望. 附:K2= .

P(k2≤k0) 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19.在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,且 PA⊥平面 ABCD,点 M 是棱 PA 的中点. (1)若 PA=4,求点 C 到平面 BMD 的距离; (2)过直线 BD 且垂直于直线 PC 的平面交 PC 于点 N,如果三棱锥 N﹣BCD 的体积取到 最大值,求此时二面角 M﹣ND﹣B 的大小的余弦值.

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20.已知抛物线 C:y2=2px 经过点 M(2,2) ,C 在点 M 处的切线交 x 轴于点 N,直线 l1 经过点 N 且垂直于 x 轴. (Ⅰ)求线段 ON 的长; x=my+b 交 C 于点 A 和 B, (Ⅱ) 设不经过点 M 和 N 的动直线 l2: 交 l1 于点 E, 若直线 MA、 ME、MB 的斜率依次成等差数列,试问:l2 是否过定点?请说明理由. 21.已知函数 f(x)=xetx﹣ex+1,其中 t∈R,e 是自然对数的底数. (Ⅰ)若方程 f(x)=1 无实数根,求实数 t 的取值范围; (Ⅱ)若函数 f(x)在(0,+∞)内为减函数,求实数 t 的取值范围. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修 4-1: 几何证明选讲] 22.如图,△ABC 内接于直径为 BC 的圆 O,过点 A 作圆 O 的切线交 CB 的延长线于点 P, ∠BAC 的平分线分别交 BC 和圆 O 于点 D、E,若 PA=2PB=10. (1)求证:AC=2AB; (2)求 AD?DE 的值.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知 曲线 C1: (t 为参数) ,C2: (θ 为参数) .

(Ⅰ)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t= (cosθ﹣2sinθ)=7 距离的最小值. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x﹣1|. (Ⅰ)解不等式 f(x﹣1)+f(x+3)≥6;
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,Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 C3:ρ

(Ⅱ)若|a|<1,|b|<1,且 a≠0,求证:



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2016 年山西省太原市高考数学三模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x∈Z||x﹣1|<3},B={x|x2+2x﹣3≥0},则 A∩?RB=( ) A. B. (﹣2,1) (1,4) C.{2,3} D.{﹣1,0} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B,根据全集 R 求出 B 的补集,找出 A 与 B 补集的交集即可. 【解答】解:由 A 中不等式解得:﹣2<x<4,即 B={﹣1,0,1,2,3}, 由 B 中不等式变形得: (x+3) (x﹣1)≥0, 解得:x≤﹣3,或 x≥1,即 B=(﹣∞,﹣3]∪[1,+∞) , ∴?RB=(﹣3,1) , 则 A∩(?RB)={﹣1,0}. 故选:D.

2.如果复数 于( )

(其中 i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反数,那么 b 等

A.﹣6 B.

C.

D.2

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】先将复数化简,确定其实部和虚部,利用实部和虚部互为相反数,可求 b 的值. 【解答】解:由题意, ∵复数 ∴ ∴b= , = =

(其中 i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反数

故选:C. 3.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 2a6=6+a7,则 S9 的值是( ) A.27 B.36 C.45 D.54 【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】由等差数列的性质结合已知求得 a5=6,然后直接代入项数为奇数的等差数列前 n 项和公式得答案. 【解答】解:在等差数列{an}中, ∵2a6=a5+a7, 又由已知 2a6=6+a7,得 a5=6,
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∴S9=9a5=54. 故选:D. 4.下列命题错误的是( ) 2 2 A.命题“若 x +y =0,则 x=y=0”的逆否命题为“若 x,y 中至少有一个不为 0,则 x2+y2≠0” B.若命题 p:? x0∈R,x0+1≤0,则¬p:? x∈R,x+1>0 C.△ABC 中,sinA>sinB 是 A>B 的充要条件 D.若向量 , 满足 ? <0,则 与 的夹角为钝角 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】A.根据逆否命题的定义进行判断, B.根据含有量词的命题的否定进行判断, C.根据正弦定理以及充分条件和必要条件的定义进行判断, D.根据向量数量积以及夹角关系进行判断. 【解答】解:A.命题“若 x2+y2=0,则 x=y=0”的逆否命题为“若 x,y 中至少有一个不为 0, 则 x2+y2≠0”,正确为真命题, B.若命题 p:? x0∈R,x0+1≤0,则¬p:? x∈R,x+1>0,命题为真命题, C.△ABC 中,sinA>sinB 等价为 a>b,等价为 A>B,则△ABC 中,sinA>sinB 是 A>B 的充要条件为真命题. D.当向量 , 反向共线时,夹角为 180°,满足 ? <0,但 与 的夹角为钝角错误,故 D 错误, 故选:D 5.某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的体积是( )

A.4cm3 B.6cm3 C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体是三棱锥与三棱柱的组合体,由此求出它的体 积即可 【解答】解:根据几何体的三视图,得该几何体是上部为三棱锥,下部为三棱柱的组合体, 三棱柱的每条棱长为 2cm,三棱锥的高为 2cm, ∴该组合体的体积为 V= ×2×2×2+ × ×2×2×2=
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cm2,

选:C.

6. 若用如图的程序框图求数列{

}的前 100 项和, 则赋值框和判断框中可分别填入 (



A.S=S+ C.S=S+

,i≥100?

B.S=S+

,i≥101? ,i≥101?

,i≥100? D.S=S+

【考点】程序框图. 【分析】程序框图的功能是求数列{ }的前 100 项和,数列{ }的通项应为 的形

式,从而可得赋值框内应填的内容,又最后一次进行循环时 i 的值为 100,结合框图即可得 解判断框中的条件. 【解答】解:程序框图的功能是求数列{ 的运算, 数列{ }的通项应为 的形式, , }的前 100 项和 S= + + +… +

则赋值框内应填:S=S+

又由框图可知,计数变量 i 的初值为 1,步长值为 1,故最后一次进行循环时 i 的值为 100, 即当 i≥101 时,满足判断框中的条件,退出循环, 故判断框中的条件应为 i≥101. 故选:B. 7.已知函教 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的图象与直线 y=b(0<b<A)的三个相 邻交点的横坐标分别是 2,4,8,则 f(x)的单调递增区间是( ) A.[6kπ,6kπ+3],k∈Z B.[6k﹣3,6k],k∈Z C.[6k,6k+3],k∈Z D.[6kπ﹣3,6kπ],k∈Z 【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】先根据交点横坐标求出最小正周期,进而可得 w 的值,再由当 x=3 时函数取得最 大值确定 φ 的值,最后根据正弦函数的性质可得到答案.

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【解答】解:∵函教 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的图象与直线 y=b(0<b<A) 的三个相邻交点的横坐标分别是 2,4,8 ∴T=6= ∴ ∴w= ,且当 x=3 时函数取得最大值

×3+φ=

∴φ=﹣ ) ≤

∴f(x)=Asin( πx﹣ ∴﹣ ∴6k≤x≤6k+3 故选 C. πx﹣

8.已知实数 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+y 的最小值是(



A.﹣2

B.2

C.2

D.1

【考点】简单线性规划. 【分析】由题意作平面区域,从而可得当直线 z=2x+y 与圆在第三象限相切时,有最小值, 从而解得. 【解答】解:由题意作平面区域如下,



结合图象可知, 当直线 z=2x+y 与圆在第三象限相切时,有最小值, 此时,d= =2,

故 z=﹣2 , 故选:A. 9.已知△ABC 的外接圆半径为 1,圆心为 O,且 3 ( ) ,则△ABC 的面积为

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A.

B.

C.

D.

【考点】向量的线性运算性质及几何意义. 【分析】由 可得到 ①, ②,

③,这三个式子的两边分别平方即可求出 cos∠AOB,cos∠BOC,cos ∠AOC,从而可以得出 sin∠AOB,sin∠BOC,sin∠AOC,这样根据三角形的面积公式即 可分别求出△AOB,△BOC,△AOC 的面积,从而得到△ABC 的面积. 【解答】解:如图, ;

∴由

得: ①, ②, ; ③;

①两边平方得: ∴ ; ∴ ; ∴OA⊥OB; 同理②③两边分别平方得: ; ∴ ;



∴S△ ABC=S△ AOB+S△ BOC+S△ AOC= 故选:C.

= .

10.双曲线 C1:



=1(a>0,b>0)与抛物线 C2:y2=2px(p>0)相交于 A,B 两

点,公共弦 AB 恰过它们公共焦点 F,则双曲线的一条渐近线的倾斜角所在的区间可能是 ( ) A. ( , ) B. ( , ) C. ( , ) D. (0, )

【考点】双曲线的简单性质.
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【分析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标,将其代入双曲线方程求出 A 的坐标;将 A 代入 抛物线方程求出双曲线的三参数 a,b,c 的关系,求出双曲线的渐近线的斜率,求出倾斜角 的范围. 【解答】解:抛物线的焦点坐标为( ,0) ;双曲线的焦点坐标为(c,0) ∴p=2c ∵点 A 是两曲线的一个交点,且 AF⊥x 轴, ∴将 x=c 代入双曲线方程得到 A(c, )

将 A 的坐标代入抛物线方程得到 4a4+4a2b2﹣b4=0 解得 = 双曲线的渐近线的方程为 y=± x 设倾斜角为 α,则 tanα= = ∴ <α<

=2pc

故选:A. 11.已知{an}满足 a1=1,an+an+1=( )n(n∈N*) ,Sn=a1+4a2+42a3+…+4n﹣1an,则 5Sn﹣4nan= ( ) A.n﹣1 B.n C.2n 【考点】数列的求和. D.n2

【分析】an+an+1=( )n(n∈N*) ,变形为:an+1﹣ 等比数列通项公式即可得出. 【解答】解:∵an+an+1=( )n(n∈N*) , ∴an+1﹣ ∴数列 ∴an= =﹣ ,

=﹣

,利用

是等比数列,首项为 ,公比为﹣1. + ×(﹣1)n﹣1.

4n﹣1an= +(﹣1)n﹣1× ×4n. 4nan= +(﹣1)n﹣1× .

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∴5Sn=n﹣ ∴5Sn﹣4nan=n. 故选:B.

=n+ ﹣



12.已知 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的 x∈(0,+∞) ,都有 f[f(x) ﹣log2x]=3,则方程 f(x)﹣f′(x)=2 的解所在的区间是( ) A. (0, ) B. ( ,1) C. (1,2) D. (2,3) 【考点】根的存在性及根的个数判断;对数函数图象与性质的综合应用. 【分析】根据题意,由单调函数的性质,可得 f(x) ﹣log2x 为定值,可以设 t=f(x)﹣log2x, 则 f(x)=log2x+t,又由 f(t)=3,即 log2t+t=3,解可得 t 的值,可得 f(x)的解析式,对 其求导可得 f′(x) ;将 f(x)与 f′(x)代入 f(x)﹣f′(x)=2,变形化简可得 log2x﹣ =0,令 h(x)=log2x﹣ ,由二分法分析可得 h(x)的零点所在的区间为(1,2) ,结

合函数的零点与方程的根的关系,即可得答案. 【解答】解:根据题意,对任意的 x∈(0,+∞) ,都有 f[f(x)﹣log2x]=3, f x 0 ∞ 又由 ( )是定义在( ,+ )上的单调函数, 则 f(x)﹣log2x 为定值, 设 t=f(x)﹣log2x,则 f(x)=log2x+t, 又由 f(t)=3,即 log2t+t=3, 解可得,t=2; 则 f(x)=log2x+2,f′(x)= 将 f(x)=log2x+2,f′(x)= 可得 log2x+2﹣ 即 log2x﹣ =2, =0, , <0,h(2)=1﹣ > 0, , 代入 f(x)﹣f′(x)=2,

令 h(x)=log2x﹣ 分析易得 h(1)=﹣ 则 h(x)=log2x﹣ 则方程 log2x﹣ 故选 C.

的零点在(1,2)之间, =0,即 f(x)﹣f′(x)=2 的根在(1,2)上,

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分)

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13. (x+ ) (2x﹣ )5 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为 40



【考点】二项式系数的性质. 【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为 2,故可以令 x=1,建立起 a 的方程,解出 a 的值来,然后再由规律求出常数项 【解答】解:由题意, (x+ ) (2x﹣ )5 的展开式中各项系数的和为 2, 所以,令 x=1 则可得到方程 1+a=2,解得得 a=1,故二项式为 由多项式乘法原理可得其常数项为﹣22×C53+23C52=40 故答案为 40 14.曲线 f(x)=xlnx 在点 P(1,0)处的切线 l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是 . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】求出原函数的导函数,求得 f′(1) ,写出切线方程的点斜式,求得 l 与坐标轴围成 的三角形,数形结合求得三角形的外接圆方程. 【解答】解:由 f(x)=xlnx,得 f′(x)=lnx+1, ∴f′(1)=1, 则曲线 f(x)=xlnx 在点 P(1,0)处的切线方程为 y=x﹣1. 如图,切线 l 与坐标轴围成的三角形为 AOB, 其外接圆的圆心为 ∴三角形的外接圆方程是: 故答案为: . ,半径为 . .

15.已知 A、B 两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队,A 不排两端,3 个大人有且只要两个 相邻,则不同的排法种数有 48 . 【考点】计数原理的应用. 【分析】从甲、乙、丙三个大人中任取 2 人“捆”在一起,共有 C32A22=6 种不同排法,则 A 必须在捆绑的整齐与另一个大人之间,此时共有 6×2=12 种排法,最后再在排好的三个元 素中选出四个位置插入 B,即可得出结论. 【解答】解:从甲、乙、丙三个大人中任取 2 人“捆”在一起,共有 C32A22=6 种不同排法,
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则 A 必须在捆绑的整齐与另一个大人之间,此时共有 6×2=12 种排法, 最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入 B, ∴共有 12×4=48 种不同排法. 故答案为:48. 16.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是棱 CC1 的中点,F 是侧面 BCC1B1 内的动点,且 A1F∥平面 D1AE,则 A1F 与平面 BCC1B1 所成角的正切值的取值范围是 .

【考点】直线与平面所成的角. 【分析】设平面 AD1E 与直线 BC 交于点 G,连接 AG、EG,则 G 为 BC 的中点,分别取 B1B、B1C1 的中点 M、N,连接 AM、MN、AN,可得到 A1F 是平面 A1MN 内的直线,观 察点 F 在线段 MN 上运动,即可得到 A1F 与平面 BCC1B1 所成角取最大值、最小值的位置, 从而得到 A1F 与平面 BCC1B1 所成角的正切取值范围. 【解答】解:设平面 AD1E 与直线 BC 交于点 G,连接 AG、EG,则 G 为 BC 的中点 分别取 B1B、B1C1 的中点 M、N,连接 AM、MN、AN,则 ∵A1M∥D1E,A1M?平面 D1AE,D1E? 平面 D1AE, ∴A1M∥平面 D1AE.同理可得 MN∥平面 D1AE, ∵A1M、MN 是平面 A1MN 内的相交直线 ∴平面 A1MN∥平面 D1AE, 由此结合 A1F∥平面 D1AE,可得直线 A1F? 平面 A1MN,即点 F 是线段 MN 上上的动点. 设直线 A1F 与平面 BCC1B1 所成角为 θ 运动点 F 并加以观察,可得 当 F 与 M(或 N)重合时,A1F 与平面 BCC1B1 所成角等于∠A1MB1,此时所成角 θ 达到最 小值,满足 tanθ= =2;

A1F 与平面 BCC1B1 所成角达到最大值, 当 F 与 MN 中点重合时, 满足 tanθ=

=2

∴A1F 与平面 BCC1B1 所成角的正切取值范围为[2,2 故答案为: .

]

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三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知 a、b、c 分别是△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边,且 2asin(C+ )= b.

(1)求角 A 的值: (11)若 AB=3,AC 边上的中线 BD 的长为 ,求△ABC 的面积. 【考点】解三角形. 【分析】 (1)利用正弦定理,结合和角的正弦公式,即可求角 A 的值: (2)若 AB=3,AC 边上的中线 BD 的长为 ,求出 AC,再求△ABC 的面积. 【解答】解: (1)∵2asin(C+ ∴2sinAsin(C+ )= )= b,

sin(A+C) , cosAsinC,

∴sinAsinC+ sinAcosC= sinAcosC+ ∴sinAsinC= cosAsinC, ∴tanA= , ∴A=60°; (2)设 AC=2x, ∵AB=3,AC 边上的中线 BD 的长为 ∴13=9+x ﹣2×3×x×cos60°, ∴x=4, ∴AC=8, ∴△ABC 的面积 S= =6
2





18.某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别关系,随机抽取 50 名学生,得到如表的数 据表: 倾向“平面几何选讲” 倾向“坐标系与参数方程” 倾向“不等式选讲” 合计 4 6 26 男生 16 8 12 24 女生 4 12 18 50 合计 20 (Ⅰ)根据表中提供的数据,选择可直观判断“选课倾向与性别有关系”的两种,作为选课倾 向的变量的取值,并分析哪两种选择倾向与性别有关系的把握大; (Ⅱ)在抽取的 50 名学生中,按照分层抽样的方法,从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系 与参数方程”的学生中抽取 8 人进行问卷.若从这 8 人中任选 3 人,记倾向“平面几何选讲” 的人数减去与倾向“坐标系与参数方程”的人数的差为 ξ,求 ξ 的分布列及数学期望.

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附:K2= P(k2≤k0) 0.100 0.050 0.010 k0 2.706 3.841 6.635 【考点】独立性检验的应用. 【分析】 (Ⅰ)利用 K2=

. 0.005 7.879 0.001 10.828

,求出 K2,与临界值比较,即可得出结

论; (Ⅱ)倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生人数的比例为 20:12=5:3, 从中抽取 8 人进行问卷,人数分别为 5,3,由题意,ξ=﹣3,﹣1,1,3,求出相应的概率, 即可求 ξ 的分布列及数学期望. 【解答】解: (Ⅰ)选倾向“坐标系与参数方程”与倾向“不等式选讲”,k=0,所以这两种选择 与性别无关; 选倾向“坐标系与参数方程”与倾向“平面几何选讲”,K2= ≈6.969>

6.635, ∴有 99%的把握认为选倾向“坐标系与参数方程”与倾向“平面几何选讲”与性别有关; K2= 选倾向“平面几何选讲”与倾向“不等式选讲”, ≈8.464>7.879,

∴有 99.5%的把握认为选倾向“平面几何选讲与倾向“不等式选讲”与性别有关, 综上所述,选倾向“平面几何选讲与倾向“不等式选讲”与性别有关的把握最大; (Ⅱ)倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生人数的比例为 20:12=5:3, 从中抽取 8 人进行问卷,人数分别为 5,3, 由题意,ξ=﹣3,﹣1,1,3,则 P(ξ=﹣3)= ξ 的分布列 ξ P 数学期望 Eξ=(﹣3)× +(﹣1)× +1× +3× = . = ,P(ξ=﹣1)= = ,P(ξ=1)= = ,P(ξ=1)= = ,

﹣3

﹣1

1

3

19.在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,且 PA⊥平面 ABCD,点 M 是棱 PA 的中点. (1)若 PA=4,求点 C 到平面 BMD 的距离; (2)过直线 BD 且垂直于直线 PC 的平面交 PC 于点 N,如果三棱锥 N﹣BCD 的体积取到 最大值,求此时二面角 M﹣ND﹣B 的大小的余弦值.

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【考点】二面角的平面角及求法;点到直线的距离公式. 【分析】 (1) 设 BD 与 AC 相交于点 O, 连接 MO, 则 BD⊥AC, 证明平面 BMD⊥平面 PAC, 过点 A 在平面 PAC 作 AT⊥MO 于点 T,则 AT⊥平面 BMD,利用等面积,可求点 C 到平面 BMD 的距离; (2)连接 ON,则△ONC 为直角三角形,设∠OCN=θ(0<θ< ) ,过 N 作 NQ⊥OC 于

点 Q,则 NQ⊥平面 ABCD,利用三棱锥 N﹣BCD 的体积取到最大值,确定 AP=AC=2 , 以 A 为原点,分别以 AB,AD,AP 所在直线为 x、y、z 轴建立坐标系,求出平面 MND 的 一个法向量、平面 BND 的一个法向量,利用向量的夹角公式,即可求此时二面角 M﹣ND ﹣B 的大小的余弦值. 【解答】解: (1)设 BD 与 AC 相交于点 O,连接 MO,则 BD⊥AC, ∵PA⊥平面 ABCD,BD? ABCD, ∴PA⊥BD, ∴PA∩AC=A, ∴BD⊥平面 PAC, ∵BD? 平面 BMD, ∴平面 BMD⊥平面 PAC, 过点 A 在平面 PAC 作 AT⊥MO 于点 T,则 AT⊥平面 BMD, ∴AT 为点 A 到平面 BMD 的距离, ∵C,A 到平面 BMD 的距离相等, 在△MAO 中,AT= = ; ) ,过 N 作 NQ⊥OC 于

(2)连接 ON,则△ONC 为直角三角形,设∠OCN=θ(0<θ< 点 Q,则 NQ⊥平面 ABCD, ∴VN﹣BCD= 当且仅当 θ=

= NQ= NCsinθ= OC?cosθsinθ= × 时,V 最大,此时 AP=AC=2 ,

sin2θ≤



以 A 为原点,分别以 AB,AD,AP 所在直线为 x、y、z 轴建立坐标系,则有点 、 ,
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设平面 MND 的一个法向量为

,则有

,取 y=1,

则有

, ,易知二面角

∵直线 PC⊥平面 BND,∴平面 BND 的一个法向量为

M﹣ND﹣B 的平面角为锐角 α,则



20.已知抛物线 C:y2=2px 经过点 M(2,2) ,C 在点 M 处的切线交 x 轴于点 N,直线 l1 N x 经过点 且垂直于 轴. (Ⅰ)求线段 ON 的长; x=my+b 交 C 于点 A 和 B, (Ⅱ) 设不经过点 M 和 N 的动直线 l2: 交 l1 于点 E, 若直线 MA、 ME、MB 的斜率依次成等差数列,试问:l2 是否过定点?请说明理由. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【分析】 (Ⅰ)先求出 p 的值,然后求出在第一象限的函数,结合函数的导数的几何意义求 出 N 的坐标即可求线段 ON 的长; (Ⅱ)联立直线和抛物线方程进行削元,转化为关于 y 的一元二次方程,根据根与系数之间 的关系结合直线斜率的关系建立方程进行求解即可. 【解答】解: (Ⅰ)由抛物线 y2=2px 经过点 M(2,2) ,得 22=4p, … 故 p=1,c 的方程为 y2=2x C 在第一象限的图象对应的函数解析式为 y= ,则′= ,

故 C 在点 M 处的切线斜率为 ,切线的方程为 y﹣2= (x﹣2) ,
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令 y=0 得 x=﹣2,所以点 N 的坐标为(﹣2,0) , 故线段 ON 的长为 2 (Ⅱ)l2 恒过定点(2,0) ,理由如下: 由题意可知 l1 的方程为 x=﹣2,因为 l2 与 l1 相交,故 m≠0 由 l2:x=my+b,令 x=﹣2,得 y=﹣ 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 由 消去 x 得:y2﹣2my﹣2b=0 … ,故 E(﹣2,﹣ )



则 y1+y2=2m,y1y2=﹣2b 直线 MA 的斜率为 = =

,同理直线 MB 的斜率为



直线 ME 的斜率为 因为直线 MA、ME、MB 的斜率依次成等差数列,所以 + =2× =1+ ,



=1+

=1+

,…

整理得:



因为 l2 不经过点 N,所以 b≠﹣2 所以 2m﹣b+2=2m,即 b=2 故 l2 的方程为 x=my+2,即 l2 恒过定点(2,0)… 21.已知函数 f(x)=xetx﹣ex+1,其中 t∈R,e 是自然对数的底数. (Ⅰ)若方程 f(x)=1 无实数根,求实数 t 的取值范围; (Ⅱ)若函数 f(x)在(0,+∞)内为减函数,求实数 t 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】 (Ⅰ)先确定原方程无负实数根,令 g(x)= ,求出函数的值域,方程 f(x)

=1 无实数根,等价于 1﹣t?(﹣∞, ],从而求出 t 的范围; (Ⅱ)利用函数 f(x)是(0,+∞)内的减函数,确定 t<1,再分类讨论,即可求实数 t 的 取值范围. 【解答】解: (Ⅰ)由 f(x)=1,可得 x=ex(1﹣t)>0, ∴原方程无负实数根,

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故有

=1﹣t.

令 g(x)=

,则 g′(x)=



∴0<x<e,g′(x)>0;x>e,f′(x)<0, ∴函数 g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减, ∴函数 g(x)的最大值为 g(e)= , ∴函数 g(x)的值域为(﹣∞, ]; 方程 f(x)=1 无实数根,等价于 1﹣t?(﹣∞, ], ∴1﹣t> , ∴t<1﹣ , ∴当 t<1﹣ 时,方程 f(x)=1 无实数根; (Ⅱ)f′(x)=etx[1+tx﹣e(1﹣t)x] 由题设,x>0,f′(x)≤0, 不妨取 x=1,则 f′(1)=et(1+t﹣e1﹣t)≤0, t≥1 时,e1﹣t≤1,1+t≤2,不成立,∴t<1. ①t≤ ,x>0 时,f′(x)=etx[1+tx﹣e(1﹣t)x]≤ 由(Ⅰ)知,x﹣ex+1<0,∴1+ ﹣ (1+ ﹣ ) ,

<0,∴f′(x)<0,

∴函数 f(x)是(0,+∞)内的减函数; ② <t<1, >1,∴ ln >0, ﹣e(1﹣t)x]

令 h(x)=1+tx﹣e(1﹣t)x,则 h(0)=0,h′(x)=(1﹣t)[ 0<x< ln ,h′(x)>0, ln )上单调递增,

∴h(x)在(0,

∴h(x)>h(0)=0,此时,f′(x)>0, ∴f(x)在(0, ln )上单调递增,有 f(x)>f(0)=0 与题设矛盾,

综上,当 t≤ 时,函数 f(x)是(0,+∞)内的减函数.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修 4-1: 几何证明选讲]
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22.如图,△ABC 内接于直径为 BC 的圆 O,过点 A 作圆 O 的切线交 CB 的延长线于点 P, ∠BAC 的平分线分别交 BC 和圆 O 于点 D、E,若 PA=2PB=10. (1)求证:AC=2AB; (2)求 AD?DE 的值.

【考点】相似三角形的判定. 【分析】 (1)通过证明△ABP∽△CAP,然后证明 AC=2AB; (2)利用切割线定理以及相交弦定理直接求 AD?DE 的值. 【解答】 (1)证明:∵PA 是圆 O 的切线∴∠PAB=∠ACB 又∠P 是公共角 ∴△ABP∽△CAP… ∴ =2,

∴AC=2AB… (2)解:由切割线定理得:PA2=PB?PC,∴PC=20 又 PB=5,∴BC=15… 又∵AD 是∠BAC 的平分线, ∴ =2,

∴CD=2DB, ∴CD=10,DB=5… 又由相交弦定理得:AD?DE=CD?DB=50… [选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知 曲线 C1: (t 为参数) ,C2: (θ 为参数) .

(Ⅰ)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t= ,Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 C3:ρ

(cosθ﹣2sinθ)=7 距离的最小值. 【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (Ⅰ)曲线 C1: C2: (t 为参数) ,利用 sin2t+cos2t=1 即可化为普通方程;

(θ 为参数) ,利用 cos2θ+sin2θ=1 化为普通方程.

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(Ⅱ)当 t=

时,P(﹣4,4) ,Q(8cosθ,3sinθ) ,故 M



直线 C3:ρ(cosθ﹣2sinθ)=7 化为 x﹣2y=7,利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性 即可得出. 【解答】解: (Ⅰ)曲线 C1: ∴C1 为圆心是(﹣4,3) ,半径是 1 的圆. C2: (θ 为参数) ,化为 . (t 为参数) ,化为(x+4)2+(y﹣3)2=1,

C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆. (Ⅱ)当 t= 时,P(﹣4,4) ,Q(8cosθ,3sinθ) ,故 M ,

直线 C3:ρ(cosθ﹣2sinθ)=7 化为 x﹣2y=7, M 到 C3 的距离 d= 从而当 cossinθ= ,sinθ=﹣ 时,d 取得最小值 = |5sin(θ+φ)+13|, .

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x﹣1|. (Ⅰ)解不等式 f(x﹣1)+f(x+3)≥6; (Ⅱ)若|a|<1,|b|<1,且 a≠0,求证: .

【考点】不等式的证明;绝对值不等式;绝对值不等式的解法. 【分析】 (Ⅰ)根据绝对值不等式的解法解不等式 f(x﹣1)+f(x+3)≥6 即可; (Ⅱ)利用分析法 进行证明不等式. 【解答】解: ( I)∵f(x)=|x﹣1|. f ∴不等式 (x﹣1)+f(x+3)≥6 等价|x﹣2|+|x+2|≥6, 若当 x≥2 时,不等式等价为 x﹣2+x+2≥6, 即 2x≥6,解得 x≥3. 当﹣2<x<2 时,不等式等价为 2﹣x+x+2≥6, 即 4≥6,此时不成立. 当 x≤﹣2 时,不等式等价为 2﹣x﹣x﹣2≥6, 即 2x≤﹣6,即 x≤﹣3. 综上不等式的解集为(﹣∞,﹣3]∪[3,+∞) . ( II)要证 ,

只需证|ab﹣1|>|b﹣a|, 只需证(ab﹣1)2>(b﹣a)2 而(ab﹣1)2﹣(b﹣a)2=a2b2﹣a2﹣b2+1=(a2﹣1) (b2﹣1)>0, ∵|a|<1,|b|<1, ∴a2<1,b2<1,
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即 a2﹣1<0,b2﹣1<0, 即(a2﹣1) (b2﹣1)>0,成立, 从而原不等式成立.

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2016 年 8 月 1 日

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