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四川省雅安中学2013届高三1月月考 数学文 Word版含答案


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雅安中学 2012-2013 学年高三上期月考试题 数 学 试 题(文科)
(命题人:李 伟 审题人:鲜继裕)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。考试结束后,将答题卷 和机读卡一并收回。

第Ⅰ卷

(选择题 ,共 60 分)
B?

一、本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? ?0,, 1 2? ,集合 B ? ?x x ? 2? ,则 A A. ?2? B. ?0,, 1 2? ( D. ? ( ) )

C. ?x x ? 2?

2.已知 a,b ? R ,若 a ? bi ?(1 ? i)? i3 (其中 i 为虚数单位) ,则 A. a ? ?1,b ? 1 C. a ? 1,b ? ?1 B. a ? ?1,b ? ?1

3 . 已 知 集 合 A ? x x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 , B ? x x 2 ? ax ? 0 , 若 A ? B , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ( ) (B) a ? 0 (C) a ? ? 3 (D)R (
5 5

?

?

D. a ? 1,b ? 1

?

?

(A) ? 3 ? a ? 3

4. 已知 tan ? ? ?2 ,其中 ? 是第二象限角,则 cos? ? (A) ?
5 5

)

(B)

5 5

(C) ?

(D) ?

2 5 5

4 5.若曲线 f ( x) ? x ? x 在点 P 处的切线平行于直线 3x ? y ? 0 ,则点 P 的坐标为

(

)

A.(1,0)

B. (1,5)

C. (1,-3)

D. (-1,2) ( 1 )

6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.2 B.1 C. D.

2 3

1 3

1 1 正(主)视图 (左)视图

1

1 侧

俯视图 7.执行右面的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是( (A)120 (B)720 (C)1440 (D)5040 )

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?x ? y ? 5 ? 0 8.设 x, y满足约束条件? ,则 ( x ? 1)2 ? y 2 的最大值为 ?x ? y ? 0 ?x ? 3 ?
A. 80 B. 4 5 C. 25

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( )

D.

17 2

π 5π 9.已知 ω>0,0<φ<π,直线 x=4和 x= 4 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴, 则 φ=( π (A)4 ) π (B ) 3 π (C)2 3π (D) 4

5],部分对应值如下表. f ( x)的导函数 y ? f ? 10.已知函数 f ( x)的定义域为[?1, ( x) 的图象如图所示.

y

x
f ( x)

-1 1

0 2

4 2

5 1

?1 o

2

4

5

x

t] 下列关于函数 f ( x)的命题: ①函数 y ? f (x)是周期函数; ②函数 f ( x)在[0,2] 是减函数; ③如果当 x ?[?1,

时, f ( x)的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4;④当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ( x)? a 有 4 个零点.其中真命题 的个数有 A.4 个 C.2 个 11. 设 f ( x ) ? ( B.3 个 D.1 个
2x 2 , g ( x ) ? ax ? 5 ? 2a (a ? 0) , 若对于任意 x1 ? [0,1] , 总存在 x 0 ? [0,1] , 使得 g( x 0 ) ? f ( x1 ) x?1



成立,则 a 的取值范围是 5 ? 5? (A) ?4,??? (B) ? 0, ? (C) [ ,4] 2 2 ? ? n 12.数列{an}满足 an+1+(-1) an =2n-1,则{an}的前 60 项和为 (A)3690 (B)3660 (C)1845

?5 ? (D) ? ,? ? ? 2 ? ?

(D)1830

第Ⅱ卷

(非选择题 ,共 90 分)

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分). 13. 某校对高三年级部分女生的身高(单位 cm,测量时精确到 1cm)进行测量后的分组和频率如下: 分组 频率

? ?147,150
0.02

? ?150,153
0.04

? ?153,156
0.08

? ?156,159
0.1

? ?159,162
0.32

? ?162,165
0.26

? ?165,168
0.15

? ?168,171
0.03

已知身高在 153cm 及以下的被测女生有 3 人,则所有被测女生的人数是 14.设 Sn 表示等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且 S9 ? 18 , Sn ? 240 ,若 an?4 ? 30 ? n ? 9? , 则n= 15. 在 ?ABC 中 , 已 知 a,b,c 分 别 为 ?A , ?B , ? C 所 对 的 边 , S 为 ?ABC 的 面 积 . 若 向 量

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p ?(4,a2 ? b2 ? c2 ) ,q ?(1,S )满足 p // q ,则 ? C =
1 16. 当 0<x≤2时,4x<logax,则 a 的取值范围是

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三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
? ?? 17.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x ? cos x ? 2 cos 2 x ? m 在区间 ?0, ? 上的 ? 2?

最大值为 2 . (1)求常数 m 的值; (2)在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边是 a , b , c ,若 f ( A) ? 1 , sin B ? 3 sin C ,
?ABC 面积为

3 3 . 4

求边长 a .

18. (本题满分 12 分)汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的 产量如下表(单位:辆); 轿车 A 轿车 B 轿车 C 舒适型 标准型 100 300 150 450 z 600

按类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆. (Ⅰ)求 z 的值; (Ⅱ)用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本,将该样本看成一个总体,从中任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率; (Ⅲ)用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2, 9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这 8 辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均 数之差的绝对值不超过 0.5 的概率.

19. (本题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中, AB ? AD , AB // CD , CD ? 3 AB ,平面 SAD ? 平面 ABCD , M 是线段 AD 上一点, AM ? AB , DM ? DC , SM ? AD . (Ⅰ)证明: BM ? 平面 SMC ;

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(Ⅱ)设三棱锥 C ? SBM 与 四棱锥 S ? ABCD 的体积分别为 V1 与 V ,求

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S

V1 的值. V
A B C M D

20. (本题满分 12 分)在数列 ?a n ? 中,已知 a1 ?
1? ? ? an ? 2 ? ? ? (1)求证: ? ? 是等差数列; n ? 3 ? ? ? ? ?

7 , a n ? 3a n?1 ? 3 n ? 1 ( n ? 2, n ? N * ) . 2

(2)求数列 ?a n ? 的通项公式 a n 及它的前 n 项和 S n .

21.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? ln x ? b (a , b ? R ) , (1)若函数 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,求实数 a , b 的值; (2)若 f ( x ) 在其定义域内单调递增,求 a 的取值范围.

22.(本题满分 14 分) 设函数 f(x)= ex-ax-2 (1)求 f(x)的单调区间 (2)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时,(x-k) f?(x)+x+1>0,求 k 的最大值

雅安中学 2012-2013 学年高三上期月考试题 数 学 试 题(文科)
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参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的) DCCAA,CBAAD,CD 二、填空题(本大题共 4 题,每小题 4 分,共 16 分) 13.50 14. 15 15.

? 4

16.(

2 ,1 ) 2

三、解答题 17. 解: (1) f ( x) ? 2 3 sin x ? cos x ? 2 cos 2 x ? m

? 2s i n 2( x?
? ?? ∵ x ? ?0, ? ? 2?

?
6

)? m?1

∴ 2x ?

?

? ? 7? ? ?? , ? 6 ?6 6 ?

?? ? ? ? ? 7? ? ∵ 函数 y ? sint 在区间 ? , ? 上是增函数,在区间 ? , ? 上是减函数 6 2 ? ? ?2 6 ?

? ? ?? ∴当 2 x ? ? ? ? 即 x ? 时,函数 f ( x ) 在区间 ?0, ? 上取到最大值. 6 ? 2? 6 2
此时, f ( x )m a x? f ( ) ? m ? 3 ? 2 得 m ? ?1 6 (2)∵ f ( A) ? 1 ∴ sin(2 A ? ∴ 2 sin(2 A ?

?

?
6

)?1

?
6

)?

? 1 ,解得 A ? 0 (舍去)或 A ? 3 2

∵ sin B ? 3 sin C , ∴ b ? 3c

a b c ? ? sin A sin B sinC …………①
3 3 4

∵ ?ABC 面积为 ∴ S ?ABC ?

1 1 ? 3 3 bc sin A ? bc sin ? 2 2 3 4 即 bc ? 3 …………② 由①和②解得 b ? 3, c ? 1

∵ a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A ? 3 2 ? 12 ? 2 ? 3 ? 1 ? cos ∴ a? 7

?
3

18. (1)设该厂本月生产轿车为 n 辆,由题意得, n/50=10/(100+300),所以 n=2000. z=2000-100-300

-150-450-600=400 (2)设所抽样本中有 m 辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本,

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所以 ,解得 m=2 也就是抽取了 2 辆舒适型轿车,3 辆标准型轿车,分别记作 S1,S2;B1,B2,B3,则从中 任取 2 辆的所有基本事件为(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2 ,B1),(S2 ,B2),(S2 , B3),(S1,S2),(B1 ,B2),(B2,B3),(B1,B3)共 10 个,其中至少有 1 辆舒适型轿车的基本 事件有 7 个基本事件:(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3), (S1,S2),所以从中任取 2 辆,至少有 1 辆舒适型轿车的概率为 7/10. (3)样本的平均数为 9 , 那么与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的数为 9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0 这 6 个数, 总的个数为 8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率为 0.75 . 19.(Ⅰ)证明: 平面 SAD ? 平面 ABCD ,平面 SAD 平面 ABCD ? AD ,

SM ? 平面 SAD , SM ? AD ,? SM ? 平面 ABCD ,…………………1 分
BM ? 平面 ABCD, ? SM ? BM .
………………………………2 分

四边形 ABCD 是直角梯形, AB // CD , AM ? AB, DM ? DC,

??MAB, ?MDC 都是等腰直角三角形, ??AMB ? ?CMF ? 45?, ?BMC ? 90?, BM ? CM . …………………………4 分
SM ? 平面 SMC , CM ? 平面 SMC , SM CM ? M , ? BM ? 平面 SMC …………………………………………………………………6 分 (Ⅱ)解: 三棱锥 C ? SBM 与三棱锥 S ? CBM 的体积相等, 由( 1 ) 知 SM ? 平面 ABCD , 1 1 SM ? BM ? CM V1 3 2 得 ? ,……………………………………………9 分 V 1 SM ? 1 ( AB ? CD) ? AD 3 2
设 AB ? a, 由 CD ? 3 AB , AM ? AB, DM ? DC, 得 CD ? 3a, BM ? 2a, CM ? 3 2a, AD ? 4a,

从而

V1 2a ? 3 2a 3 ? ? . …………………………………………………………12 分 V (a ? 3a) ? 4a 8

1? ? a ? ? 7 ? n 2? ? 20. 由(1)知 ? ? 是等差数列,且公差为 1,且 a1 ? n 2 ? 3 ? ? ? ? ?



an ?

1 1 a1 ? 2 ? 2 ? ( n ? 1) ? 1 ? n 3 3n

∴ ∴

an ? n ? 3 n ?

1 2 n 2
6

Sn ? (1 ? 31 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? 4 ? 34 ? ? ? n ? 3n ) ?

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令 Tn ? 1 ? 31 ? 2 ? 3 2 ? 3 ? 3 3 ? 4 ? 3 4 ? ? ? n ? 3 n …………① 则 3Tn ? 1 ? 3 2 ? 2 ? 3 3 ? 3 ? 3 4 ? 4 ? 3 5 ? ? ? (n ? 1) ? 3 n ? n ? 3 n?1 ……② 两式相减得:

? 2Tn ? 31 ? 3 2 ? 3 3 ? 3 4 ? 3 5 ? ? ? 3 n ? n ? 3 n?1
3(1 ? 3 n ) 1 ? n ? 3 n ? 1 ? ? ( 3 ? 3 n ?1 ) ? n ? 3 n ?1 1? 3 2 2n ? 1 n?1 3 Tn ? ?3 ? 4 4 ?

Sn ?

2n ? 1 n?1 3 n ?3 ? ? 4 4 2

21. ∵ f ( x) ? x 2 ? ax ? ln x ? b ∴ f ' ( x) ? 2 x ? a ?

1 x

∴ f (1) ? 1 ? a ? b , f ' (1) ? 3 ? a (1)∵ 函数 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程为 x ? y ? 2 ? 0

?k ? f ' (1) ? 3 ? a ? ?1 ∴ ? ?1 ? f (1) ? 2 ? 0
解得: a ? 4, b ? 0 . (2)

f ( x) ? x 2 ? ax ? ln x ? b 的定义域为 ?x x > 0?
∵ f ( x ) 在其定义域内单调递增 ∴ f ' ( x) ? 2 x ? a ? ∵ 2x ? a ? 令 g( x ) ? 2 x ?

1 >0 在 x ? (0,??) 恒成立 x

1 1 >0( x >0)即 a ? 2 x ? ( x ? 0) x x


1 ( x ? 0) ,则 a ? g( x ) min x
1 1 ? 2 2x ? ? 2 2 , x x

因为 g( x ) ? 2 x ?

当且仅当 2 x ?

2 1 即x? 时取到等号. 2 x

所以 g( x ) min ? 2 2 所以 a ? 2 2 22:(I)函数 f(x)=ex-ax-2 的定义域是 R,f′(x)=ex-a, 若 a≤0,则 f′(x)=ex-a≥0,所以函数 f(x)=ex-ax-2 在(-∞,+∞)上单调递增. 若 a>0,则当 x∈(-∞,lna)时,f′(x)=ex-a<0;当 x∈(lna,+∞)时,f′(x)=ex-a>0;所以,f(x)

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在(-∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)上单调递增. (II)由于 a=1,所以,(x-k) f? (x)+x+1=(x-k) (ex-1)+x+1 故当 x>0 时,(x-k) f? (x)+x+1>0 等价于 k< x+1 ex-1 +x(x>0)① 令 g(x)= x+1 ex-1 +x,则 g′(x)= -xex-1 (ex-1)2 +1= ex(ex-x-2) (ex-1)2

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由(I)知,函数 h(x)=ex-x-2 在(0,+∞)上单调递增,而 h(1)<0,h(2)>0,所以 h(x)=ex-x-2 在(0,+∞)上存在唯一的零点,故 g′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点,设此零点为 α,则有 α∈(1, 2) 当 x∈(0,α)时,g′(x)<0;当 x∈(α,+∞)时,g′(x)>0;所以 g(x)在(0,+∞)上的最小值 为 g(α).又由 g′(α)=0,可得 eα=α+2 所以 g(α)=α+1∈(2,3) 由于①式等价于 k<g(α),故整数 k 的最大值为 2

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