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1[1].1.3集合间的基本运算


1.1.3 集合的基本运算

类比引入

思考:
两个实数除了可以比较大小外,还可以进 行加法运算,类比实数的加法运算,两个集合 是否也可以“相加”呢?

类比引入

思考:
考察下列各个集合,你能说出集合C与集 合A、B之间的关系吗?
(1) A={1,3,5}, B={2,4,6},

C={1,2,3,4,5,6}. (2)A={x|x是有理数}, B={x|x是无理数},
C={x|x是实数}.

集合C是由所有属于集合A或属于B的元素 组成的.

并集概念
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所 组成的集合,称为集合A与B的并集(Union set). 记作:A∪B(读作:“A并B”) 即: A∪B ={x| x ∈ A ,或x ∈ B}
说明:两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只看成一个元素).
Venn图表示: A
A∪B

B

A
A∪B

B

A
A∪B

B

并集例题
例1.设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8}, 求AUB. 解:A ? B ? {4,5,6,8} ? {3,5,7,8} ? {3,4,5,6,7,8}

例2.设集合A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3}, 求AUB. 解:A ? B ? { x | ?1 ? x ? 2} ? { x | 1 ? x ? 3} ? ?x | ?1 ? x ? 3?
可以在数轴上表示例2中的并集,如下图:

类比引入

思考:
求集合的并集是集合间的一种运算,那么, 集合间还有其他运算吗?

类比引入

思考:
考察下面的问题,集合C与集合A、B之 间有什么关系吗?
(1) A={2,4,6,8,10}, B={3,5,8,12},

C={8}.
(2)A={x|x是新华中学2004年9月在校的女同学}, B={x|x是新华中学2004年9月入学的高一年级同学}, C={x|x是新华中学2004年9月入学的高一年级女同 学}. 集合C是由那些既属于集合A且又属于集合

B的所有元素组成的.

交集概念
一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组 成的集合,称为A与B的并集(intersection set). 记作:A∩B(读作:“A交B”) 即: A ∩ B ={x| x ∈ A 且x ∈ B}
说明:两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合A 与B 的公共元素组成的集合.
Venn图表示: A
A∩B

B
A∩B

B

A
A∩B

B

交集例题

例3 新华中学开运动会,设 A={x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学},

B={ x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学}, 求 A? B

解: A ? B 就是新华中学高一年级中那些既参加百 米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合.
所以,A ? B ={x|x是新华中学高一年级既参加百 米赛跑又参加跳高比赛的同学}.

交集例题
例4 设平面内直线 l1上点的集合为 L1 ,直线 l 2 上点的集合 l 2 的位置关系. 为 L2 ,试用集合的运算表示 l1、 解: 平面内直线 l1 、l 2 可能有三种位置关系,即相交于 一点,平行或重合.

l 2相交于一点P可表示为 (1)直线 l1 、
L1 ? L2 ={点P}

l 2平行可表示为 (2)直线 l1、
L1 ? L2 ?

l 2重合可表示为 (3)直线 l1 、
L1 ? L2 ? L1 ? L2

实例引入 问题:
2 ? ? ? x ? 2 x ? 3? ? 0的解集: 在下面的范围内求方程

(1)有理数范围;(2)实数范 围. 并回答不同的范围对问题结果有什么影响? 解:(1)在有理数范围内只有一个解2,即:

?x ? Q ?x ? 2??x

2

? 3 ? 0 ? ?2?

? ?

(2)在实数范围内有三个解2, 3 , ? 3 ,即:

?x ? R ?x ? 2??x

2

? 3 ? 0 ? 2, 3 ,? 3

? ? ?

?

全集概念

一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所 涉及的所有元素,那么就称这个集合全集(Universe set).通常记作U.

补集概念
对于一个集合A ,由全集U中不属于集合A的所 有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集U 的补集 (complementary set),简称为集合A的补集.

记作: A
即: A={x| x ∈ U 且x ?A}
说明:补集的概念必须要有全集的限制. Venn图表示:

U
A A

补集例题
例5.设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3}, B={3,4,5,6},求 A, B. 解:根据题意可知:
U={1,2,3,4,5,6,7,8}, 所以: A={4,5,6,7,8}, B={1,2,7,8}.
说明:可以结合Venn图来解决此问题.

补集例题
例6.设全集U={x|x是三角形},A={x|x是锐角三 角形},B={x|x是钝角三角形}.
求A∩B, (A∪B) 解:根据三角形的分类可知 A∩B= ? , A∪B= {x|x是锐角三角形或钝角三角形}, (A∪B)={x|x是直角三角形}.

知识小结
1.求集合的并、交、补是集合间的基本运算, 运算结果仍然还是集合. 2.区分交集与并集的关键是“且”与“或”, 在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字 眼出发去揭示、挖掘题设条件. 3.注意结合Venn图或数轴进而用集合语言表 达,增强数形结合的思想方法.


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