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2018届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第二节同角三角函数的基本关系式与诱导公式学案文

第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 sinα 2 2 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin α +cos α =1, =tanα . cosα π 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ±α ,π ±α 的正弦、 余弦、 正切的诱导公式. 2 知识点一 同角三角函数基本关系式 1. 平方关系: sin α +cos α =1, 其等价形式为: sin α =1-cos α , cos α =________. 2.商数关系:__________,其等价形式为:sinα =____________,cosα = 答案 1.1-sin α 2 2 2 2 2 2 sinα . tanα 2. sinα =tanα cosα cosα tanα 12 1.已知 cosα = ,且 α 是第四象限角,则 sinα 的值为________. 13 5 2 解析:由于 α 是第四象限角,故 sinα =- 1-cos α =- . 13 5 答案:- 13 sinα -2cosα 2.已知 =-5,那么 tanα 的值为________. 3sinα +5cosα sinα -2cosα tanα -2 解析: 由 =-5, 知 cosα ≠0, 分子分母同时除以 cosα 可得 = 3sinα +5cosα 3tanα +5 23 -5,解得 tanα =- . 16 23 答案:- 16 3 2 3.(2016?新课标全国卷Ⅲ)若 tanα = ,则 cos α +2sin2α =( 4 ) A. 64 25 B. D. 48 25 16 25 C.1 解析:通性通法:由 3 sinα = ? ? 5 sinα 3 tanα = = , cos α + sin α = 1 ,得 ? cosα 4 4 cosα = ? ? 5 2 2 或 3 sinα =- , ? ? 5 ? 4 cosα =- , ? ? 5 2 24 16 48 64 2 则 sin2α =2sinα cosα = ,则 cos α +2sin2α = + = . 25 25 25 25 光速解法:cos α +2sin2α = cos2α +4sinα cosα 1+4tanα 1+3 64 = = = . 2 2 2 cos α +sin α 1+tan α 9 25 1+ 16 答案:A 知识点二 六组诱导公式 组数 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 2kπ +α (k∈Z) sinα cosα tanα 二 π +α ______ -cosα tanα 函数名不变 符号看象限 答案 -sinα cosα cosα -sinα -tanα 三 -α -sinα ______ -tanα 四 π -α sinα -cosα ______ 函数名改变 符号看象限 五 π -α 2 ______ sinα 六 π +α 2 cosα ______ 10π ? 19π ?+tan?-13π ?=________. 4.计算 sin - 2cos?- ? 4 ? 3 ? 3 ? ? ? ? 4π ? 3π ? π? π? ? ? ? ? 解析 :原式= sin ?2π + ? - 2 cos ?4π + ? - tan ?4π + ? = sin ?π + ? - 2 3 ? 4 ? 3? 3? ? ? ? ? π? π π π 3 3 ? cos?π - ?-tan =-sin + 2cos - 3=- +1. 4? 3 3 4 2 ? 3 3 答案:- +1 2 3 5.已知 tanα = 3,π <α < π ,则 cosα -sinα =________. 2 3 4 4 4 π 解析: ∵tanα = 3, π <α < π , ∴α = π , ∴cosα -sinα =cos π -sin π =-cos 2 3 3 3 3 π 1 3 3-1 +sin =- + = . 3 2 2 2 答案: 3-1 2 热点一 同角三角函数基本关系式的应用 考向 1 运用公式直接求值 【例 1】 (1)若 sinα =- A. C. 12 5 5 12 2 2 2 5 ,且 α 为第四象限角,则 tanα 的值等于( 13 12 B.- 5 5 D.- 12 ) (2)sin 1°+sin 2°+?+sin 89°=________. 【解析】 (1)因为 α 为第四象限的角, 故 cosα = 1-sin α = 2 ? 5 ?2 12 1-?- ? = , ? 13? 13 5 - 13 sinα 5 所以 tanα = = =- .选 D. cosα 12 12 13 (2) 原式= (sin 1°+ sin 89°)+ (sin 2°+ sin 88°)+?+ (sin 44°+ sin 46°)+ 1 2 2 2 2 2 2 2 sin 45°= (sin 1°+ cos 1°)+ (sin 2°+ cos 2°)+?+ (sin 44°+ cos 44°)+ = 1+ 1 2 1 1 1 +1+?+ 1 + =44 .故填 44 . 2 2 2 44个 2 2 2 2 2 2 1 【答案】 (1)D (2)44 2 考向 2 关于 sinα ,cosα 的齐次式问题 【例 2 】 ________. 【解析】 sinα -4cosα tanα -4 = 5sinα +2cosα 5tanα +2 4 sinα -4cosα 2 若 tanα =- ,则 = ________ , sin α + 2sinα cosα = 3 5sinα +2cosα 4 - -4 3 8 = = . 7 ? 4? 5??- ?+2 ? 3? sin α +2sinα cosα sin α +2sinα cosα = 2 2 sin α +cos α 2 2 16 8 -

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