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江苏省2015届高三数学第五次联考试卷 理


江 苏 大 联 考 2015 届高三第五次联考·数学试卷
考生注意: 1.本试卷共 160 分.考试时间 120 分钟. 2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚. 3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上. 4.交卷时,可根据需要在加注“ ”标志的夹缝处进行裁剪. 5.本试卷主要考试内容:前 4 次联考内容+概率与统计+算法初步+推理与证明+复数. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.把答案填在答题卷中的横线上. 1.已知复数 z=(1+i)(2-i)(i 为虚数单位),则= ▲ . 2.集合 M={x|0<x≤3},N={x∈N|0≤x-1≤1},则 M∩N= ▲ .

3.某算法流程图如图所示,则输出 k 的值是 ▲ . 2 4.用反证法证明命题“若正整数 a,b,c 满足 b -2ac=0,则 a,b,c 中至少有一个是偶数” 时,反设应为 ▲ . 5.已知 i 是虚数单位,则|-|= ▲ . 6.下边茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则 甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 ▲ .

7.某商品在 5 家商场的售价 x(元)和销售量 y(件)之间的一组数据如下表所示: 价格 x(元) 9 9.5 10 10.5 11 销售量 y(件) 11 a 8 6 5 由散点图可知,销售量 y 与价格 x 之间有较好的线性相关关系,且回归直线方程是=3.2x+4a,则 a= ▲ . 8.关于 x,y 的不等式组所构成的区域面积为 ▲ . 1

9.某高校在某年的自主招生考试成绩中随机抽取 50 名学生的笔试成绩,绘制成频率分 布直方图如图所示,若要从成绩在[85,90),[90,95), [95,100]三组内的学生中,用分层 抽样的方法抽取 12 人参加面试,则成绩在[90,100]内的学生应抽取的人数为 ▲ . 10.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,若 acos B+bcos A=2,则 c= ▲ . 11.已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,A 是抛物线上一点,直线 OA 的斜率为(O 为坐标 原点),且 A 到 F 的距离为 3,则 p= ▲ . 12.已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,向量 a=(an-1,-2),b=(4,Sn),满足 a⊥b,则= ▲ . 13.已知 2 =3 =6 ,k∈Z,不等式>k 恒成立,则整数 k 的最大值为 ▲ . 14.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S8=4a3,a7=-2,将此等差数列的各项排成如下三角形 数阵:
a b c 2

若此数阵中第 i 行从左到右的第 j 个数是-588,则 i+j=



.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费,太少又难以满足乘客需求,为此,某市公交 公司在某站台的 60 名候车乘客中随机抽取 15 人,将他们的候车时间作为样本分成 5 组, 如下表所示(单位:min): 组别 候车时间 人数 一 [0,5) 2 二 [5,10) 6 三 [10,15) a 四 [15,20) 2 五 [20,25) 1 (1)估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数; (2)若从上表第三、四组的乘客中选 2 人做进一步的问卷调查,求抽到的两人恰好来自 不同组的概率.

2

16.(本小题满分 14 分) 设 a,b,c 均为正实数. (1)若 a+b+c=1,求证:a +b +c ≥; (2)求证:≥. 17.(本小题满分 14 分) 某城市随机抽取一年(365 天)内 100 天的空气质量指数 API 的监测数据,统计结果如下: API [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] (250,300] >300 中度重污 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 重度污染 染 天数 4 13 18 30 9 11 15 (1)若某企业每天由空气污染造成的经济损失 S(单位:元)与空气质量指数 API(记为 ω ) 的关系式为: S= 试估计在本年内随机抽取一天,该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元的概率; (2)若以上表统计的频率作为概率,求该城市某三天中恰有一天空气质量为轻度污染的 概率.(假定这三天中空气质量互不影响) 18.(本小题满分 16 分)
2 2 2

如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC⊥BC,AC=BC=CC1=2,M,N 分别为 AC,B1C1 的中点. (1)求证:MN∥平面 ABB1A1; (2)线段 CC1 上是否存在点 Q,使 A1B⊥平面 MNQ?说明理由.

19.(本小题满分 16 分) 2 2 已知点 P(4,4),圆 C:(x-m) +y =5 (m<3)与椭圆 E:+=1 (a>b>0)有一个公共点 A(3,1),F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,直线 PF1 与圆 C 相切. (1)求 m 的值与椭圆 E 的方程; (2)设 Q 为椭圆 E 上的一个动点,求·的取值范围. 20.(本小题满分 16 分) 定义函数 fk(x)=为 f(x)的 k 阶函数. (1)求 f(x)的一阶函数 f1(x)的单调区间; (2)讨论方程 f2(x)=1 的解的个数. 3

2015 届高三第五次联考·数学试卷 参 考 答 案 1.3-i 由 z=(1+i)(2-i)得 z=3+i,故=3-i. 2.{1,2} ∵N={1,2},则 M∩N={1,2}. 3.5 因为 10-(1+2+3+4)=0,所以输出 k 的值为 4+1=5. 4.假设 a,b,c 都是奇数 “至少有一个偶数”的否定为“都不是偶数”,即反设应为 “假设 a,b,c 都是奇数”. 5. |-|=|-|=|-2-i|=. 6. 由题意可得甲的平均成绩为 90,设被污损的数字为 x,则依题意可得 83+83+87+99+90+x<450,解得 x<8,所以 x 的值可以为 0、1、2、3、4、5、6、7,所以所 求事件的概率为=. 7.10 由题意得==10,==+6, 回归直线必过点(,),所以+6=-3.2+4a,解得 a=10.

8.9 根据约束条件画出可行域,如图所示.直角梯形 ABCD 的面积为×3(2+4)=9. 9.6 (0.016+0.064+0.06+a+0.02)×5=1,解得 a=0.040.第 3 组的人数为 0.060×5×50=15,第 4 组的人数为 0.040×5×50=10,第 5 组的人数为 0.020×5×50=5, 所以利用分层抽样在 30 名学生中抽取 12 名学生,第 4 组应抽取×12=4 人,第 5 组应抽 取×12=2 人. 则成绩在[90,100]内的学生应抽取的人数为 6. 4

10.2 由 acos B+bcos A=2 得 a·+b·=2? c=2. 2 11.2 设 A(a,b),则有=,即 b=a,∴(a) =2pa,可得 p=a,又∵a+=3,∴p=2. 12. 由题意得 4an-4-2Sn=0,当 n≥2 时,4an-1-4-2Sn-1=0,两式相减得=2,又 a1=2.由等比 n 数列的定义及通项公式可得 an=2 ,所以==. a b c 13.4 设 2 =3 =6 =m,则 a=log2m,b=log3m,c=log6m,所以 ==+=+=2++,∵+>2=2,+=log23+log32<3,∴4<<5,则整数 k 的最大值为 4. 14.29 设数列{an}的公差为 d,由 S8=4a3,a7=-2 得 a1=10,d=-2,则 an=12-2n,令 an=122 2n=-588,解得 n=300.在数阵中,从第 1 行到第 m 行共有 1+3+5+?+2m-1=m 个 2 2 数,∵17 =289<300<18 =324,∴i=18,j=300-289=11,则 i+j=29. 15.解:(1)候车时间少于 10 分钟的概率约为=, 所以候车时间少于 10 分钟的人数约为 60×=32.6 分 (2)将第三组乘客编号为 a1,a2,a3,a4,第四组乘客编号为 b1,b2.从 6 人中任选两人包含以 下基本事 件:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a 3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(b1,b2)共 15 个基本事件, 其中两人恰好来自不同组包含 8 个基本事件,故所求事件的概率为.14 分 16.解:(1)∵a+b+c=1, 2 2 2 2 ∴(a+b+c) =a +b +c +2ab+2bc+2ac=1, 2 2 2 2 2 2 ∵2ab≤a +b ,2bc≤c +b ,2ac≤a +c , 2 2 2 2 2 2 ∴a +b +c +2ab+2bc+2ac=1≤3(a +b +c ), 2 2 2 ∴a +b +c ≥.7 分 (2)由已知得 a+b+c>0, 欲证≥,只需证≥, 2 2 2 2 只需证 3(a +b +c )≥(a+b+c) , 2 2 2 只需证 2a +2b +2c -2ab-2bc-2ac≥0, 2 2 2 即证(a-b) +(b-c) +(c-a) ≥0, 上述不等式显然成立,故原不等式成立.14 分 17.解:(1)设“在本年内随机抽取一天,该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元” 为事件 A, 由 200<S≤600,得 150<ω ≤250,频数为 39,P(A)=.6 分 (2)记空气质量轻度污染为事件 B, 由(1)知 P(B)=, 则 P()=, 记三天中恰有一天空气质量轻度污染为事件 C,则 P(C)=××+××+××=0.441.故三天 中恰有一天空气质量为轻度污染的概率为 0.441.14 分

5

18.解:(1)取 AB 中点 D,连接 DM,DB1. 在△ABC 中,∵M 为 AC 中点,∴DM∥BC,DM=BC. 在矩形 B1BCC1 中,∵N 为 B1C1 中点,∴B1N∥BC,B1N=BC, ∴DM∥B1N,DM=B1N, ∴四边形 MDB1N 为平行四边形,所以 MN∥DB1. ∵MN?平面 ABB1A1,DB1? 平面 ABB1A1, ∴MN∥ 平面 ABB1A1.8 分 (2)线段 CC1 上存在点 Q,且 Q 为 CC1 中点时,有 A1B⊥平面 MNQ. 证明如下:连接 BC1. 在正方形 BB1C1C 中易证 QN⊥BC1 . 又 A1C1⊥平面 BB1C1C,所以 A1C1⊥QN,从而 NQ⊥平面 A1BC1, ∴A1B⊥QN. 同理可得 A1B⊥MQ,∴A1B⊥平面 MNQ. 故线段 CC1 上存在点 Q,使得 A1B⊥平面 MNQ.16 分

19.解:(1)将点 A 代入圆 C 方程,得(3-m) +1=5. ∵m<3,∴m=1. 2 2 故圆 C:(x-1) +y =5.设直线 PF1 的斜率为 k, 则 PF1:y=k(x-4)+4,即 kx-y-4k+4=0. ∵直线 PF1 与圆 C 相切, ∴=,解得 k=,或 k=. 当 k=时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为,不合题意,舍去. 当 k=时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为-4,符合题意. ∴c=4,F1(-4,0),F2(4,0), 2 2 则 2a=AF1+AF2=5+=6,a=3,a =18,b =2, 故椭圆 E 的方程为+=1.8 分 (2)∵=(1, 3),设 Q(x,y),则=(x-3, y-1), ∴·=(x-3)+3(y-1)=x+3y-6,设 z=x+3y, 则是直线 l:3y+x-z=0 在 y 轴上的截距, 6

2

所以当 l 与椭圆 E 相切时,z 取得最大值与最小值. 2 2 把直线方程代入椭圆方程得 2x -2zx+z -18=0, 2 2 2 由 Δ =4z -8(z -18)=-4(z -36)≥0,得-6≤z≤6, 则 x+3y 的取值范围是[-6,6]. ∴·=x+3y-6 的取值范围是[-12,0].16 分 20.解:(1)f1(x)=(x>0),f1'(x)==(x>0), 令 f1'(x)=0,当 a≠0 时,x=e. ∴当 a=0 时,f1(x)无单调区间; 当 a>0 时,f1(x)的单增区间为(0,e),单减区间为(e,+∞); 当 a<0 时,f1(x)的单增区间为(e,+∞),单减区间为(0,e).6 分 (2)由=1,当 a=0 时,方程无解;当 a≠0 时,=. 令 g(x)=(x>0),则 g'(x)==.由 g'(x)=0 得 x=, 从而 g(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减.g(x)max=g()=. 当 x→0 时,g(x)→-∞,当 x→+∞时,g(x)→0. 当 0<<,即 a>2e 时,方程有两个不同解. 当>,即 0<a<2e 时,方程有 0 个解. 当=或<0 即 a=2e 或 a<0 时,方程有唯一解. 综上,当 a>2e 时,方程有两个不同解;当 0<a<2e 时,方程有 0 个解;当 a=2e 或 a<0 时,方 程有唯一解.16 分

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