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4.循环结构之数列求和


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高考数学母题
[母题]Ⅰ(4-04):循环结构之数列求和(055)

127

循环结构之数列求和 [母题]Ⅰ(4-04):(2010 年江苏高考试题)如图是一个算法流程图,则输出的 S 的值是
开始 S←1 n←1 S←S+2n S≥33 N n←n+1 Y 输出 S 结束

.

[解析]:输入 S←1 ? S0=1;处理框 S=S+2
n+1

n

? Sn=Sn-1+2 ? Sn-Sn-1=2 ? Sn=S0+(S1-S0)+(S2-S1)+…(Sn-Sn-1)=1+2 +2 +…+2 =
6

n

n

1

2

n

2 -1.判断框 S≥33 ? Sn≥33,且 Sn-1<33 ? n=5.故输出 S5=2 -1=63.

[点评]:当循环体是 A=A+f(n)的形式时为求和型,由循环体是 A=A+f(n)得递推关系是 an=an-1+f(n),
由 an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+f(2)+f(3)+…+f(n),因此问题转化为求 a1 与{f(n)}前 n 项 和(减去 f(1))的和.

[子题](1): (2013 年浙江高考试题)(文)某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等于 . [解析]:本题的实质是求数列{
的和=11 1 1 1 1 }前 4 项的和与 1 的和;由 = }前 4 项 ?{ n(n ? 1) n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? 1)

1 1 9 ? 输出的值=1+(1- )= . 5 5 5

注:本题中的算法功能是典型的数列求和,命题专家的命题立意也在于此.

[子题](2): (2013 年安徽高考试题)如图所示,程序据图(算法流程图)的输出结果为(
开始 s=0,n=2 n<8? 否 输出 s 结束 是 s=s+1/n

)
n=n+2

(A)

1 6

(B)

25 24

(C)

3 4

(D)

11 12

[解析]:由程序框图(算法流程图)知,本题等价于对数列{an}:an=
故选(D).

1 1 1 1 11 ,求和 Sn,由 2n<8 ? n<4 ? n=3 ? S3= + + = . 2n 2 4 6 12

注:由于本题中的循环变量满足 n=2,且 n=n+2,即数列{xn}:x1=2,xn+1=xn+2 ? xn=2n,所以,循环体 s=s+1/n ? s=s+1/2n, 因此,本题也可转化为数列求和.
开始 输入 a

[子题](3): (2012 年山东高考试题)执行下面的程序图,
如果输入 a=4,那么输出的 n 的值为( (A)2 (C)4 (B)3 (D)5
1 3

)

P ? 0, Q ? 1, n ? 0 P?Q




[解析]:本题的实质是求数列{an}:an=4n(n≥0)的前 n 项和 Sn= (4n+1-1)与
数列{bn}:b0=3,bn=2bn-1+1 ? bn+1=2(bn-1+1) ? bn+1=2 ? bn=2 -1 的通项 bn= 2 -1 满足 Sn≥bn,且 Sn-1<bn-1 时,n 的值;由 S0=1,S1=5,S2=21,S3=85;b0=3,b1=7, b2=15,b3=31 ? n=3.故选(B).
n+1 n+2 n+2

P ? P ? an

输出n

Q ? 2Q ? 1
n ? n ?1
结束

128
[子题系列]:
1.(2009 年天津高考试题)(文)阅读程序框图,则输出的 S=(
开始 S=0,i=1 T=i
2

[母题]Ⅰ(4-04):循环结构之数列求和(055)

注:本题把数列通项与数列前 n 项和有机结合,揭示了算法框图的本质,展示了高考算法框图试题的一个流向. )
i=i+1 i>4? 是 否 输出 S 结束

S=S+T

(A)14

(B)20

(C)30 )

(D)55

2.(2012 年天津高考试题)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为(

否 开始 n=1,s=0 s=s+3 -3
n n-1

n=n+1

n≥4?



输出 S

结束

(A)8

(B)18

(C)26 )
否 输出 S

(D)80

3.(2010 年课标高考试题)如果执行下面的框图,输入 N=5,则输出的数等于(
开始 输入 N k=1,S=0 S=S+

1 k (k ? 1)

k<N 是

结束

k=k+1

(A)

5 4

(B)

4 5

(C)

6 5

(D) ) (C)2550

5 6

4.(2007 年宁夏、海南高考试题)如果执行下面的程序框图,那么输出的 s=( (A)2450
开始 k=1

(B)2500
S=0 k≤50? 否 输出 S 结束 是 S=S+2k k=k+1

(D)2652

5.(2013 年广东高考试题)执行如图所示的程 序框图,若输入 n 的值为 4,则输出 s 的值为______. 6.(2013 年辽宁高考试题)执行如图所示程序框图,若输入 n=10,则输出 S=( (A)
5 11

) (D)
9 ,则( 5 72 55

(B)

10 11

(C)

36 55

7.(2013 年浙江高考试题)(理)某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是 (A)a=4
开始 输入 n
i ? 1, s ? 1

) (D)a=5

(B)a=5

(C)a=6

i?n
是 s ? s ? ? i ?1?

否 输出 s 结束

i ? i ?1

第 5 题图

第 6 题图

第 7 题图

第 8 题图

[母题]Ⅰ(4-04):循环结构之数列求和(055)
8.(2011 年北京高考试题)执行如图所示的程序框图,若输入 A 的值为 2,则输出的 P 值为( (A)2 (B)3 (C)4 . 9.(2008 年山东高考试题)执行下面的程序框图,若 p=0.8,则输出的 n=
S=S+2-n

129
) (D)5

开始

输入 p

n=1,S=0

S<p? 否



n=n+1

输出 n

结束

10.(2011 年江西高考试题)下图是某算法的程序框图, 则程序运行后输出的结果是 运行相应的程序,则输出 n 的值为( (A)7 (A)3 (A)18 (A)4 (B)6 (B)4 (B)20 (B)5 ) (C)5 ) (D)6 ) (D)40 ) (D)7 (C)5 (C)21 (C)6 (D)4 . 11.(2013 年天津高考试题)阅读如图所示的程序框图,

12.(2013 年重庆高考试题)执行如图所示的程序框图,则输出的 k 的值是(

13.(2014 年褔建高考试题)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 S 得值等于( 14.(2014 年课标Ⅱ高考试题)执行右图程序框图,如果输入的 x,t 均为 2,则输出的 S=(

第 11 题图 15.(2014 年江西高考试题)阅读如下程序框图, 运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为( (A)7 (B)9 ) (B)17 (D)36 (C)10 (D)11

第 12 题图 )

第 13 题图

第 14 题图

16.(2014 年重庆高考试题)执行如图所示的程序框图, 则输出的 S 值为( (A)10 (C)19

[子题详解]:
1.解:本题的实质是求数列{an}:an=n 的前 4 项和,由 S4=1 +2 +3 +4 =30.故选(C). 2.解:本题的实质是求数列{an}:an=3 -3 =2×3 (n≥1)的前 3 项和 S4;由 a1=2×1,a2=2×3,a3=2×9 ? S3=26.故选(C). 3.解:本题的实质是求数列{an}:an=
1 5 1 1 1 1 的前 5 项和 S5;由 = ? S5=1- = .故选(D). n(n ? 1) n(n ? 1) n n ? 1 6 6
n n-1 n-1 2 2 2 2 2

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[母题]Ⅰ(4-04):循环结构之数列求和(055)

4.解:本题的实质是求数列{an}:an=2n 的前 50 项和 S50=50×51=2550.故选(C). 5.解:本题的实质是求 1 与数列{n-1}的前 3 项和的和,由 s=1+1+2+3=7 ? 输出 s 的值为 7. 6.解:由于本题中的循环变量满足 n=2,且 n=n+2,即数列{xn}:x1=2,xn+1=xn+2 ? xn=2n,所以,循环体 s=s+
1 ( 2 n) 2 ? 1
1 i2 ? 1

? s=s+

,所以,本题的实质是求数列{

1 ( 2 n) 2 ? 1

}的前 5 项和,由

1 ( 2 n) 2 ? 1

=

1 5 1 1 1 1 ( ) ? 前 5 项和 S5= (1- )= . 11 11 2 2n ? 1 2n ? 1 2

故选(A). 7.解:本题的实质是求 1 与数列{an}:an=
9 1 = ? n=4.故选(A). n ?1 5 1 1 3 1 1 11 }的前 n 项和 Sn 满足 Sn>2,且 Sn-1≤2 时,n 的值;由 S1=1,S2=1+ = ,S4=1+ + = ,S4=1+ n 2 2 2 3 6

9 1 1 1 1 1 的前 n 项和 Sn 的和等于 时,n 的值;由 = ? Sn=1? n ?1 n(n ? 1) n(n ? 1) n n ? 1 5

2-

8.解:本题的实质是求数列{

1 1 1 25 + + = >2 ? n=4.故选(C). 2 3 4 12

9.解:本题的实质是求数列{an}:an=2 的前 n 项和 Sn 满足 Sn-1<0.8,且 Sn≥0.8 时,n+1 的值;由 Sn=1-2 ? 1-2 ≥0.8 ? n=3 ? 输出的 n=3+1=4.
n n

-n

-n

-n+1

<0.8,且 1-2

-n

10.解:本题的实质是求数列{an}:an=(-1) +n 的前 n 项和 Sn 满足 Sn>9,且 Sn-1≤9 时,S 的值;由 an=(-1) +n ? a1=0,a2=3,a3=2, a4=5,… ? S1=0,S2=3,S3=5,S4=10 ? 输出的结果是 10. 11.解:本题的实质是求数列{an}:an=(-1) n 的前 n 项和 Sn 满足 Sn≥2,且 Sn-1<2 时,n 的值;由 an=(-1) n ? S1=-1,S2=1,S3=-2, S4=2 ? 输出 n 的值为 4.故选(D). 12.解:本题的实质是求 1 与数列{an}:an=n 的前 n 项和 Sn 的和满足 Sn+1>15,且 Sn-1+1≤15 时,n+1 的值;由 S3+1=1+1 +2 +3 =15 S4+1=1+1 +2 +3 +4 =31 ? n=4 ? 输出的 k=4+1=5.故选(C). 13.解:本题的实质是求数列{an}:an=2 +n 的前 n 项和 Sn 的和满足 Sn≥15,且 Sn-1<15 时,Sn 的值;由 an=2 +n ? S2=9,S3=20 ? 输 出的 S 得值=20.故选(B). 14.解:本题的实质是求 3 与数列{an}:a1=1,an+1= (D). 15.解:由 i=1,i=i+2 ? i=2i-1 ? 本题的实质是求数列{an}:an=lg lg
2n ? 1 的前 n 项和 Sn 的和满足 Sn<-1 时,2n-1 的值;由 an= 2n ? 1 2an 2a 的 S3-a1 的和,由 a1=1,an+1= n ? a2=2,a3=2 ? 输出的 S=3+2+2=7.故选 n n
n n 2 2 2 2 2 2 2 2 n n

2n ? 1 =lg(2n-1)-lg(2n+1) ? Sn=lg1-lg(2n+1)=-lg(2n+1), 所以,-lg(2n+1)<-1 ? lg(2n+1)>1 ? n ≥5 ? 输出的结果 2n ? 1

为 2n-1=9.故选(B). 16.解:由 k=2,k=2k-1 ? k=2 +1;又由 k≥10 ? 2 +1≥10 ? k≥5 ? 本题的实质是求数列{an}:an=2 +1 的前 4 项和 S5;由 an=2 +1 ? S5=19 ? 输出的 S 值为 19.故选(C).
n-1 k-1 k-1 n-1


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