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2013年4月深圳市高三年级第二次调研考试数学试题及答案(文科)


绝密★启用前

试卷类型:A

2013 年 4 月深圳市高三年级第二次调研考试 数学(文科)
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码 是否正确;之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的 学校、姓名和考生号,同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的 贴条形码区,请保持条形码整洁、不污损。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上。不按要求填涂 的,答案无效。 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉 原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答 的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答。漏涂、 错涂、多涂的答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回。 参考公式: 若锥体的底面积为 S ,高为 h ,则锥体的体积为 V
? 1 3 Sh

2013.4


? π rl

若圆锥底面半径为 r ,母线长为 l ,则圆锥的侧面积为 S



一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集 U A. { 5 } 2.“ x ( x ? 3) ?
0

? ?1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ?

,集合 A
{1, 2}

? ?1 , 2 , 5?

, CU B

? {4 , 5, 6} ,则集合 A ? B ? 2 , 3}

B. ”是“
x ?1 ? 2

C. {1,

D. {3,

4, 6}

”的 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
第 1 页 共 17 页

A.充分不必要条件 C.充要条件

2009 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科)试卷

3.在空间直角坐标系 O
O xy

? xyz

中,过点 M

( ? 4 , ? 2 , 3)

作直线 O M 的垂线 l ,则直线 l 与平面

的交点 P ( x , y , 0 ) 的坐标满足条件
2 y ? 29 ? 0 ? 29 ? 0

A. 4 x ?

B. 4 x ? 2 y C. 4 x ?

2 y ? 29 ? 0 ? 29 ? 0
正视图 左视图

D. 4 x ? 2 y

4.如右图,一个空间几何体的主(正)视图、侧(左)视图都是周长 为 8、一个内角为 60° 的菱形及其一条对角线,俯视图是圆及 其圆心,那么这个几何体的表面积为 A. 5 π C. 3 π 5.已知离心率为 e 的曲线 A.
3 4
2 2 2

B. 4 π D. 2 π
x a ? y ?1
4

俯视图

第 4 题图
? 16 x

,其右焦点与抛物线 y 2 C.
f ( ? 3)

的焦点重合,则 e 的值为 D.
f (x) x ? 0

7

B.
f (x)

23 23

4 3

23 4

6.若奇函数

在区间 (0, ? ? ) 上是增函数,又

=0,则不等式

的解集为

A. ( ? 3, 0 ) ? (3, ? ? ) C. ( ? ? , ? 3) ? (3, ? ? ) 7.设数列 ? a n ? 是等差数列,且 a 2 和,则 A. S 6 C. S 4
? S5 ? S5
? 2

B. ( ? 3, 0 ) ? (0, 3) D.( ? ? , ? 3) ? (0, 3)
? ? 6 , a8 ? 6 , S n

开始

是数列 ? a n ? 的前 n 项
输入 f1(x)

B. S 6 D. S 4 、x
? 4

? S5 ? S5

n=2

8.已知直线 x 与函数 y

与函数 y

? lo g 4 x

图像的交点分别为 A 、 B ,
fn(x)=f' (x) n-1

? ln x 图像的交点分别为 C

、 D ,则直线 A B 与 C D

A.相交,且交点在第一象限 B.相交,且交点在第二象限 C.相交,且交点在第四象限 D.相交,且交点在坐标原点 9.在右程序框图中,当 n ? N ? (n>1)时,函数 导函数.若输入函数 A. C.
2 sin ( x ? 2 sin ( x ?
π 4 π 4 ) )
f 1( x ) ? sin x ? cos x f n( x ) 表示函数 f n -1( x ) 的 f n( x ) 可化为

n=n+1 否 n??009? 是 输出 fn(x)

,则输出的函数 B. ? D. ?

2 sin ( x ? 2 sin ( x ?

π 4 π 4

) )

结束 第 9 题图

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10.某宾馆有 n ( n ? N ? ) 间标准相同的客房,客房的定价将影响入住率.经调查分析,得出 每间客房的定价与每天的入住率的大致关系如下表: 每间客房的定价 每天的住房率 220 元 50℅ 200 元 60℅ 180 元 70℅ 160 元 75℅

对每间客房,若有客住,则成本为 80 元;若空闲,则成本为 40 元.要使此宾馆每天 的住房利润最高,则每间客房的定价大致应为 A.220 元 B.200 元 C.180 元 D.160 元

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.本大题分为必做题和 选做题两部分. (一)必做题:第 11、12、13 题为必做题(第 13 题前一空 2 分,后一空 3 分) , 每道试题考生都必须做答
?
频率 组距

11.已知向量 a

? ( ? 3, 4 )

,向量 b 与 a 方向相反,且 .

?

?

0 .0 3 9
0 .0 2 8

? ? ? b ? ? a , b ? 1 ,则实数 ? ?

0 .0 1 8 0 .0 1 0 0 .0 0 5
时速

12.200 辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布直 方图如图所示,则时速不低于 60km/h 的汽车数 量为 辆.

30 40 50 60 70 80

km / h

第 12 题图

13.数列 { a n } 的前 n 项和是 S n ,若数列 { a n } 的各项按如下规则排列:
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 n ?1 , , , , , , , , , ,? , , ,? , ,? 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 n n n

则 a1 5

?

,若存在正整数 k ,使 S k

? 10

, S k ?1

? 10

,则 a k

?



(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计 算第一题的得分.
14. (坐标系与参数方程选做题)已知点 P 是曲线 C
? x ? 4 co s θ :? (θ ? y ? 3 s in θ

为参数, 0 ? θ

? π)

上一

点,O 为原点.若直线 OP 的倾斜角为 π ,则点 P 的
4

直角坐标为


A

D

15. (几何证明选讲选做题)如右图, A 、 B 是两圆的交 点, AC 是小圆的直径, D 和 E 分别是 CA 和 CB 的延
C

长线与大圆的交点,已知
BC ? AD

AC ? 4 , BE ? 10

,且

B

E

,则 D E =



第 15 题图
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三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤.
16. (本小题满分 12 分) 已知复数 z
? x ? yi ( x, y ? R )

在复平面上对应的点为 M . ,从集合 P 中随机取一个数作为 x ,从集合

(Ⅰ)设集合 P
Q

? ? ? 4, ? 3, ? 2, 0 ? , Q ? ? 0,1, 2 ?

中随机取一个数作为 y ,求复数 z 为纯虚数的概率;
y ?0,4 ?
?x ? 2y ? 3 ? 0 ? ? ,求点 M 落在不等式组:? x ? 0 ?y ? 0 ?

(Ⅱ)设 x ? ? 0,3 ,? 内的概率.

所表示的平面区域

17. (本小题满分 12 分) 如图,已知点
?AOC ? ?

A ( 3 , 4 ) C ( 2 , 0 )点 O , ,

为坐标原点,点 B 在第二象限 , 且
y

OB ? 3

,记
A



学科网

(Ⅰ)求 sin 2? 的值; (Ⅱ)若
学科

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AB ? 7

,求 ? B O C 的面积.
B

?
O C
x

第 17 题图

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18. (本小题满分 14 分) 在直三棱柱 ABC (Ⅰ)求证: BC (Ⅱ)若 A D
?
? A1 B1 C 1 中, A D ? ? A1 B

平面 A1 B C ,其垂足 D 落在直线 A1 B 上.


? A1 BC

3

, AB ? BC ? 2 , P 为 AC 的中点,求三棱锥 P
A1

的体积.
C1

B1

D
A

P

C

B

第 18 题图

19. (本题满分 14 分) 已知函数
f (x) ? 1 3 x ?
3

a ?1 2

x ? bx ? a (a , b ? R )
2

,且其导函数

f ?( x )

的图像过原点.

(Ⅰ)当 a

? 1 时,求函数 f ( x ) ? 0

的图像在 x

? 3 处的切线方程;

(Ⅱ)若存在 x (Ⅲ)当 a
? 0

,使得

f ?( x ) ? ? 9 f (x)

,求 a 的最大值;

时,求函数

的零点个数.

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20. (本题满分 14 分) 已知等比数列 ? a n ? 的公比 q 为 6. (I)求数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ) S n 为数列 ? a n ? 的前 n 项和,b n 设 大小; (Ⅲ)数列 ? a n ? 中是否存在三项,按原顺序成等差数列?若存在,则求出这三项;若 不存在,则加以证明.
? S n ? 3 ? ( ? 1)
n ?1

? 1 ,且 a 1 与 a 4

的一等比中项为 4

2

, a 2 与 a 3 的等差中项

an

2

(n ? N )

?

, 请比较 b n 与 b n ? 1 的

21. (本小题满分 14 分) 如图,已知椭圆 C
2 2

:

x a

2 2

? y

2

? 1( a ? 1)

的上顶点为

A

,右焦点为

F

,直线

AF

与圆

M : x ? y ? 6x ? 2 y ? 7 ? 0

相切.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若不过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 相交于 P 、 Q 两点,且 A P ? A Q
l
??? ???? ? ? 0,

求证:直线

过定点,并求出该定点 N 的坐标.
y
A

l
Q

O

F

x

P

第 21 题图

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2013 年 4 月深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科)答案及评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题每小题 5 分,满分 50 分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

B

A

C

B

C

B

D

D

C

C

二、填空题:本大题每小题 5 分;第 13 题第一空 2 分,第二空 3 分;第 14、15 两小题中选 做一题,如果两题都做,以第 14 题的得分为最后得分),满分 20 分. 11. ?
1 5

. 12.76. 13.

5 6



5 7

. 14. ?

? 12 ? 5



12 ? ?. 5 ?

15. 6 3 .

三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤.
16. (本小题满分 12 分) 已知复数 z
? x ? yi ( x, y ? R )

在复平面上对应的点为 M . , 从集合 P 中随机取一个数作为 x , 从集合 Q

(Ⅰ) 设集合 P

? ? ? 4, ? 3, ? 2, 0 ? , Q ? ? 0,1, 2 ?

中随机取一个数作为 y ,求复数 z 为纯虚数的概率;
?x ? 2y ? 3 ? 0 ? (Ⅱ)设 x ? ? 0 , 3 ? , y ? ? 0 , 4 ? ,求点 M 落在不等式组: ? x ? 0 所表示的平面区内 ?y ? 0 ?

的概率. 解:(1)记 “复数 z 为纯虚数”为事件 A ∵组成复数 z 的所有情况共有 12 个: ? 4, ? 4 ? i, ? 4 ? 2i , ? 3, ? 3 ? i, ? 3 ? 2i , ? 2, ? 2 ? i, ? 2 ? 2i , 0, i, 2i ,且每种情况出现的可能性相等,属于古典概型. ……2 分 其中事件 A 包含的基本事件共 2 个: i, 2i. ………4 分 ∴所求事件的概率为 P ( A ) ?
2 12 ? 1 6

………………6 分

y C B

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D O A x

(2)依条件可知,点 M 均匀地分布在平面区域 ? ( x , y ) | ?
?

?

?0 ? x ? 3 ? ? 内, ?0 ? y ? 4?

属于几何概型. 该平面区域的图形为右图中矩形 O A B C 围成的区域, 面积为 ……8 分 S ? 3 ?4 ?1 2 .
? ? 所求事件构成的平面区域为 ? ( x , y ? ? ? x ? 2 y ? 3 ? 0? ? ? )?x ? 0 ? ,其图形如下图中的三角 ?y ? 0 ? ? ?

第 16 题图 形 O A D (阴影部分) 又直线 x ?
2y ? 3 ? 0

与 x 轴、 y 轴的交点分别为 A (3, 0 ), D (0 ,
? 1 2 ? 3? 3 2 ? 9 4 . ……10

3 2

)

,

所以三角形 O A D 的面积为 S 1



9

∴所求事件的概率为 P ? 17. (本小题满分 12 分)

S1

3 ? 4 ? . ………………12 分 S 12 16

C , 如图, 已知点 A ( 3 , 4 ) , ( 2 , 0 )点 B 在第二象限 , 且 O B ? 3 , O 为坐标原点,记
?AOC ? ?



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(Ⅰ)求 sin 2? 的值; (Ⅱ)若 A B ? 7 ,求 ? B O C 的面积.
学科网 学科 学科

y
? OA ?
? sin ? ? 4 5

A

解:(1) ? A 点的坐标为 (3, 4 ) ,
3 ?4
2 2

?5

, cos ? ?

3 5

………………3 分
24 25

sin 2 ? ? 2 sin ? c o s ? ?

……………6 分

B O

?
C x

(2)(解法一)在 ? O A B 中, O A ? 5, O B ? 3, A B ? 7 ,
? c o s A O B? ? 5 ? 3 ?
2 2

7

2

2 ? 5? 3

? ?

1



第 17 题图

2

? 0 ? ? AO B ? 180?



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? s in ? A O B ?

1 ? (?

1 2

)

2

?

3 2

∴ sin ? B O C ? sin ? A O B ? ? ) sin ? A O B c o s ? ? c o s ? A O B sin ? = ( =

3 2

?

3 5

?

1 2

?

4 5

=

3 3 -4 10

………10 分
? ?BOC

的面积 S

?

1 2

O B ? O C ? sin ? B O C ?

9 3 -1 2 20
? 7

.

………………12 分

(解法二)设 B ( x , y ) ,由 O B ? 3 , A B
?x ? y ? 9 ? , ? 2 2 ? ( x ? 3) ? ( x ? 4 ) ? 4 9 ?
2 2



………8 分

解得: y ? ?

9 3 ? 12 10

,或 y ?

9 3 ? 12 10

又点 B 在第二象限,故 y ?
1 2

9 3 ? 12 10

.

………10 分 ………12 分

? ?BOC

的面积 S

?

OC ? y ?

9 3 -1 2 20

.

18. (本小题满分 14 分) 在直三棱柱 ABC ? A 1 B 1 C 1 中, A D ? 平面 A1 B C ,其垂足 D 落在直线 A1 B 上. (Ⅰ)求证: BC ? A1 B ; (Ⅱ)若 A D ?
3 , AB ? BC ? 2 , P 为 AC 的中点,求三棱锥 P ? A 1 BC 的体积.

(Ⅰ)证明:? 三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 为直三棱柱,
? A1 A ? 平面 ABC ,

A1

C1

又 BC ? 平面 ABC ,
? A 1 A ? BC

B1

------------------------------------------------------2 分

? A D ? 平面 A1 B C ,且 BC ? 平面 A1 B C , ? AD ? BC .

D A

P C



AA 1 ? 平面 A1 AB , AD ? 平面 A1 AB , A 1 A ? AD ? A ,

B

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? B C ? 平面 A1 A B ,----------------------------5 分

第 18 题

图 又 A1 B ? 平面 A1 BC ,
?

BC ? A 1 B -----------------------------------7 分

(2)在直三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 中, A1 A ? AB .
? A D ? 平面 A1 B C ,其垂足 D 落在直线 A1 B 上,

?

AD ? A 1 B .
AD AB 3 2
0

在 R t ? ? A B D 中, A D ?
R t ? ? A B A1

3 , A B ? B C ? 2 , sin ? A B D ?

?

, ? ABD ? 60

0







A A1 ? A B ? tan 6 0 ? 2 3

-------------------------------------------------------------9 分 由(1)知 B C ? 平面 A1 A B , AB ? 平面 A1 AB ,从而 BC ? AB
S ? ABC ? ? 1 2 AB ? BC ? 1 2 ?2?2 ? 2

? P 为 AC 的中点, S ? BCP ?

1 2

S ? ABC ? 1 -----------------------11 分
1 3 2 3 3

? V P ? A BC ? V A ? B C P ?
1

1 3

1

S ? B C P ? A1 A ?

?1? 2 3 ?

---------------------14 分

19.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?
1 3 x ?
3

a ?1 2

2 x ? b x ? a ( a , b ? R ) ,且其导函数 f ? ( x ) 的图像过原点.

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的图像在 x ? 3 处的切线方程; (Ⅱ)若存在 x ? 0 ,使得 f ? ( x ) ? ? 9 ,求 a 的最大值; (Ⅲ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的零点个数. 解: f ( x ) ?
1 3 x ?
3

a ?1 2

2 2 x ? b x ? a , f ? ( x ) ? x ? ( a ? 1) x ? b

由 f ? (0 ) ? 0 得

b ? 0 , f ? ( x ) ? x ( x ? a ? 1) .---------------------2 分

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(Ⅰ) 当 a ? 1 时, f ( x ) ?

1 3

3 2 x ? x ? 1 , f ? ( x ) ? x ( x ? 2 ) , f (3) ? 1 , f ? (3) ? 3

所 以 函 数 f ( x ) 的 图 像 在 x ? 3 处 的 切 线 方 程 为 y ? 1 ? 3( x ? 3) , 即 3 x ? y ? 8 ? 0 --------------------4 分 (Ⅱ) 存在 x ? 0 ,使得 f ? ( x ) ? x ( x ? a ? 1) ? ? 9 ,
? a ?1 ? ? x 9 ? x ( x? ? ) (? 9 x ?) 2 ? 9 ( x ?) ( ? ? , a?? ? 7 , ) 6 x

当且仅当 x ? ? 3 时, a ? ? 7 . 所 以 的 a --------------------9 分









?7

.

(Ⅲ) 当 a ? 0 时, x , f ? ( x ), f ( x ) 的变化情况如下表:
x
(?? , 0)

0
0

( ? ? , a ? 1)

a ?1
0

( a ? 1, ? ? )

f ?( x )
f ( x)

?

?

?

?

极大值

?

极小值

?

-

---------11 分
f ( x)


1 6


3





f (0 ) ? a ? 0



f ( x)









f ( a ? 1) ? a ?

( a ? 1) ? ?

1 ? 3 1 2 1? a ? 3( a ? ) ? ? 0 ? 6 ? 2 4? ? 1 3

又 f (?2) ? ? a ?

14 3

? 0, f ( x ) ?

x

2

3 3 ? ? x ? ( a ? 1) ? a , f ( ( a ? 1)) ? a ? 0 . ? ? 2 2 ? ?
3 2 ( a ? 1)) 内各有一个零点,

所以函数 f ( x ) 在区间 ? ? 2 , 0 ? , (0 , a ? 1), ( a ? 1,

故函数 f ( x ) 共有三个零点。--------------------14 分 注:①证明 f ( x ) 的极小值 f ( a ? 1) ? a ?
1 6 ( a ? 1) ? 0 ( a ? 0 ) 也可这样进行:
3

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g ?( a ) ? ? 1 6

g (a ) ? a ?
2

1 6

( a ? 1) ? ?
3

1 6

( a ? 3 a ? 6 a ? 1)
3 2





(3 a ? 6 a ? 6 ) ? ?

1 2

( a ? 3)( a ? 1)

当 0 ? a ? 1 时, g ? ( a ) ? 0 ,当 a ? 1 时, g ? ( a ) ? 0 ,函数 g ( a ) 在区间 ? 0 , 1? 上是增函数,在 区 间 ?1, ? ? ? 上 是 减 函 数 , 故 函 数 g ( a ) 在 区 间 ? 0, ? ? ? 上 的 最 大 值 为
g (1) ? 1 ? 1 6 (1 ? 1) ? ?
3

1 3

? 0 ,从而 f ( x ) 的极小值 f ( a ? 1) ? a ?

1 6

( a ? 1) ? 0 ( a ? 0 ) .
3

②证明函数 f ( x ) 共有三个零点。也可这样进行: 的 极 大 值 , f ( x) f (0 ) ? a ? 0
f ( a ? 1) ? a ? 1 6 ( a ? 1) ? ?
3

f ( x)









1 ? 3 1 2 1? a ? 3( a ? ) ? ? 0, ? 6 ? 2 4? ?

当 x 无限减小时, f ( x ) 无限趋于 ? ? ; 当 x 无限增大时, f ( x ) 无限趋于 ? ? . 故函数 f ( x ) 在区间 ? ? ? , 0 ? , (0, a ? 1), ( a ? 1, ? ? ) 内各有一个零点, 故函数 f ( x ) 共有三个零点。--------------------14 分 20. (本题满分 14 分) 已知等比数列 ? a n ? 的公比 q ? 1 ,且 a 1 与 a 4 的一等比中项为 4 2 , a 2 与 a 3 的等差中 项为 6 . (I)求数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设 S n 为数列 ? a n ? 的前 n 项和, b n ? S n ? 3 ? ( ? 1)
b n ? 1 的大小;
n ?1

an

2

( n ? N ) ,请比较 b n 与

?

(Ⅲ)数列 ? a n ? 中是否存在三项,按原顺序成等差数列?若存在,则求出这三项;若 不存在,则加以证明. 解 : ( I ) 由 题 意 得 ?
? a a ? a ? a ? (4 ? 2 3 1 4 ? a2 ? a3 ? 2 ? 6 ? 12 ? 2 ) ? 32
2

, 解 得 ?

?a2 ? 4 ? a3 ? 8



?a2 ? 8 --------------------2 分 ? ? a3 ? 4

2009 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科)试卷

第 12 页 共 17 页

由公比 q ? 1 ,可得 a 2 ? 4, a 3 ? 8, q ? 故数列 ? a n ? 的通项公式为 a n ? a 2 q
2 (1 ? 2 )
n

a3 a2

? 2 .--------------------3 分

n?2

? 2 . --------------------5 分
n

(Ⅱ) a1 ? 2, S n ?
n 2

1? 2
n?4

? 2

n ?1

? 2 ,--------------------6 分

b n ? S n ? 3 ? ( ? 1) a n ? ( 2
n

? 2 ) ? ( ? 1)
n

n ?1

2

2n

, bn ?1 ? ( 2

n?5

? 2 ) ? ( ? 1) 2
n

2 ( n ? 1)



b n ? 1 ? b n ? 2 ?1 6 ? 5( ? 1) 2 ? .--------------------8 分 ? ?
n

当 n ? 1 或为正偶数时, b n ? 1 ? b n ? 0, b n ? 1 ? b n ; --------------------9 分 当
bn ?1 ? bn ? 2
n

n


n n


3


n ?1



n?3



,

?1 6 ? 5 ? 2 ? ? 2 ?1 6 ? 5 ? 2 ? ? 0 , b

? b n . ---------10 分

(Ⅲ)假设数列 ? a n ? 中存在三项 a k , a m , a n ( k ? m ? n ) 成等差数列, ---------11 分 则 a k ? a n ? 2 a m ,即 2 ? 2 ? 2 ,1 ? 2
k n m n?k

? 2

m?k

,---------12 分

由 k ? m ? n 知1? 2 --------13 分

n?k

为奇数, 2

m?k

为偶数,从而某奇数 ? 某偶数, 产生矛盾.

所以数列 ? a n ? 中不存在三项,按原顺序成等差数列. --------14 分 21. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :
x a
2 2

? y ? 1 ( a ? 1的 上 顶 点 为 A , 右 焦 点 为 F , 直 线 A F 与 圆 )
2

M : x2 ? y2 ? 6x ? 2 y ? 7 ? 0

相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; 上的点, B 是定点, 点 斜率为 k 且过点 N 的直线 l 与椭圆 C 3 ??? ???? ? 相交于 P 、 Q 两点,若 A P ? A Q 是与 k 无关的值,求点 N 、 B 的坐标. (Ⅱ) N 是圆 x ? y ? 设
2 2

1

2009 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科)试卷

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解 : ( Ⅰ ) 将 圆 M 的 一 般 方 程 x ? y ? 6x ? 2 y ? 7 ? 0 化 为 标 准 方 程
2 2

( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 3 ,
2 2

圆 M 的圆心为 M (3,1) ,半径 r ? 由 A (0,1) , F ( c , 0 )( c ?
2

3 . --------------------1 分

y
a ? 1 ) 得直线 A F :
x c ? y ? 1,

A Q O F

l

即 x ? cy ? c ? 0 ,--------------------2 分
3?c?c c ?1
2

x

由直线 A F 与圆 M 相切,得

?

3,

P

c ?

2 或c ? ?

2 (舍去). -------------------4 分

第 21 题

图 当c ?
2 时, a ? c ? 1 ? 3 ,
2 2

故椭圆 C 的方程为 C :

x

2

? y ? 1 . -------------------5 分
2

3

(Ⅱ)设 N ( m , n )( m ? n ?
2 2

1 3

) ,直线 l : y ? k ( x ? m ) ? n ,代入椭圆 C 的方程

x

2

? y ?1
2

3
2

并整理得: (1 ? 3 k ) x ? 6 k ( n ? km ) x ? 3( n ? km ) ? 3 ? 0 ,
2 2

-------6 分

设 P ( x1 , kx1 ? n ? m k ) 、 Q ( x 2 , kx 2 ? n ? m k ) ,则 x1 , x 2 是上述关于 x 的方程两个不 相等的实数解,
x1 ? x 2 ? ? 6mk 1 ? 3k
2

, x1 x 2 ?

3( m ? 1)
2

1 ? 3k

2

-------8 分
??? ???? ?

(Ⅱ)若不过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 相交于 P 、 Q 两点,且 A P ? A Q ? 0, 求证:直线 l 过定点,并求出该定点 N 的坐标. 解 : ( Ⅰ ) 将 圆 M 的 一 般 方 程 x ? y ? 6x ? 2 y ? 7 ? 0 化 为 标 准 方 程
2 2

( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 3 ,
2 2

圆 M 的圆心为 M (3,1) ,半径 r ?

3 . --------------------1 分

2009 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科)试卷

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A (0,1)

,

F ( c , 0 )( c ?

a ? 1)
2





线

AF :

x c

? y ?1

,



x ? cy ? c ? 0 ,--------------------2 分

由直线 A F 与圆 M 相切,得

3?c?c c ?1
2

?

3,

c ?

2 或c ? ?

2 (舍去). -------------------4 分
x
2

当c ?

2 时, a ? c ? 1 ? 3 ,
2 2

故椭圆 C 的方程为 C :

? y ? 1 . -------------------5 分
2

3

( Ⅱ ) ( 解 法 一 ) 由 A P ? A Q ? 0, 知 A P ? A Q , 从 而 直 线 A P 与 坐 标 轴 不 垂 直 , ------------------6 分 由 A (0,1) 可设直线 A P 的方程为 y ? k x ? 1 ,直线 A Q 的方程为 y ? ? ------------------7 分 将 y ? kx ? 1 代入椭圆 C 的方程
x
2

??? ???? ?

1 k

x ?1 ( k ? 0 ) .

? y ? 1 并整理得: (1 ? 3 k ) x ? 6 kx ? 0 ,
2
2 2

3

解 得 x?0 或 x??

6k 1 ? 3k
2

, 因 此 P 的 坐 标 为 (?

6k 1 ? 3k
2

,?

6k

2 2

1 ? 3k

? 1) , 即

(?

6k 1 ? 3k
2

,

1 ? 3k 1 ? 3k

2 2

) ---------9 分

将上式中的 k 换成 ?

1 k

,得 Q (
2

6k
2

k ?3 k ?3
2
2 2

,

k ?3
2

) .------------------10 分

k ?3

直线 l 的方程为 y ? k ? 3
2

? ?

1 ? 3k 1 ? 3k 6k 1 ? 3k
2

6k

(x ?

6k k ?3
2

)?

k ?3
2

k ?3
2

------------------11 分

k ?3
2

2

化简得直线 l 的方程为 y ?
1 2

4k ? 1 4k

x?

1 2

,------------------13 分

因此直线 l 过定点 N ( 0 , ?

) .------------------14 分

2009 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科)试卷

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( 解 法 二 ) 1? 若 直 线 l 存 在 斜 率 , 则 可 设 直 线 l 的 方 程 为 :
y ? kx ? m ( ? A (0,1) ? l ,? m ? 1 ) , -------1 分
2

代入椭圆 C 的方程 分

x

? y ? 1 并整理得: (1 ? 3 k ) x ? 6 m kx ? 3( m ? 1) ? 0 ,
2
2 2 2

-------6

3

由 l 与椭圆 C 相交于 P ( x1 , kx1 ? m ) 、Q ( x 2 , kx 2 ? m ) 两点, x1 , x 2 是上述关于 x 的方程两 则 个不相等的实数解,从而 ? ? (6 m k ) ? 4 (1 ? 3 k ) ? 3( m ? 1) ? 1 2 (3 k ? 1 ? m ) ? 0
2 2 2 2 2

x1 ? x 2 ? ?

6mk 1 ? 3k
2

, x1 x 2 ?

3( m ? 1)
2

1 ? 3k

2

-------8 分
??? ???? ? A P ? A Q ? 0,
2 2





x1 x 2 ? ( kx1 ? m ? 1)( kx 2 ? m ? 1) ? (1 ? k ) x1 x 2 ? k ( m ? 1)( x1 ? x 2 ) ? ( m ? 1) ? 0 ,

(1 ? k ) ?
2

3( m ? 1)
2

1 ? 3k

2

? k ( m ? 1) ? ( ?

6mk 1 ? 3k
2

) ? ( m ? 1) ? 0
2

整理得: 2 m 2 ? m ? 1 ? 0, ( 2 m ? 1)( m ? 1) ? 0, 由 m ? 1 知 m ? ? 此时 ? ? 9 ( 4 k 2 ? 1) ? 0 , 因此直线 l 过定点 N ( 0 , ? ) .-------12 分
2 1

1 2

.

2 ? 若直线 l 不存在斜率,则可设直线 l 的方程为: x ? m (? A (0,1) ? l ,? m ? 0 ) ,

将 x ? m 代入椭圆 C 的方程

x

2

? y ? 1 并整理得: y ? 1 ?
2 2

m 3

2

,

3
2

Q 当 m ? 3 时, y ? 0 ,直线 l 与椭圆 C 不相交于两点, 这与直线 l 与椭圆 C 相交于 P 、 两
2

点产生矛盾! 当 0 ? m ? 3 时, 直线 l 与椭圆 C 相交于 P ( m , y 1 ) 、 Q ( m , y 2 ) 两点, y 1 , y 2 是关于 y 的方
2

程 y ? 1?
2

m 3

2

的两个不相等实数解,从而 y 1 ? y 2 ? 0 , y 1 y 2 ?

m 3

2

? 1.

2009 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科)试卷

第 16 页 共 17 页

但 A P ? A Q ? m ? ( y 1 ? 1)( y 2 ? 1) ?
2

??? ???? ?

4 3

m

2

??? ???? ? ? 0 ,这与 A P ? A Q ? 0 产生矛盾! ------13 分

因此直线 l 过定点 N ( 0 , ?

1 2

) .-------14 分

注:对直线 l 不存在斜率的情形,可不做证明.

2009 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科)试卷

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