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2009年高考数学二轮专题训练:数列.doc


数列
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、已知 a ? 0, b ? 0, a, b 的等差中项是 ,且 ? ? a ? A.3 B.4 C.5

1 2

1 1 , ? ? b ? , 则? ? ? 的最小值是 a b
D.6

2、设数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式分别为 a n ? ( ) , bn ? ( ) (n ? N ? ) ,它们的前 n 项和
n n

1 3

1 2

依次为 An 和 Bn,则 lim

An ? n?? B n
B.

A.

1 2

3 2

C.

2 3

D.

1 3

3、在数列 {an } 中, a1 ? 1, a2 ? 2, 且an?1 ? an ? 1 ? (?1) n (n ? N*),则S100 ? A.2100 B.2600 C.2800 D.3100

4、已知数列 {an } 中, a3 =2, a7 =1,若 {

1 } 为等差数列,则 a11 等于 an ? 1
C.

A. 0

B.

1 2

2 3

D.-1

5、等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , S9 ? ?18, S13 ? ?52 ,等比数列 {bn } 中, b5 ? a5 , b7 ? a7 , 则 b15 的值为 A.64 B.-64 C.128 D.-128

6 、已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 M 、 N 、 P 三点共线, O 为坐标原点,且 ,则 S 32 等于 ON ? a31 ? OM ? a2 ? OP (直线 MP 不过点 O) A 31 B. 32 C. 15 D. 16

7 、已知数列 {a n }为等差数列 , 函数 y ? sin 2 x ? a 4 cos 2 x的图象关于直线 x ? 数列 {an } 的前 7 项和 S7 等于 A. 7 2 B.— 7 2 C.7

?
8

对称,则

D.—7

8、已知数列 {log2 (an ? 1)}(n ? N * ) 为等差数列,且 a1 ? 5, a2 ? 3, 则a5 等于 A.

5 4

B.—3

C.1

D.5

9、已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 5n ? t (t 是实数),下列结论正确的是 A. t 为任意实数, {an } 均是等比数列 C.当且仅当 t ? 0 时, {an } 是等比数列 B.当且仅当 t ? ?1 时, {an } 是等比数列 D.当且仅当 t ? ?5 时, {an } 是等比数列

10、等差数列 ?a n ? 中, a5 ? a11 ? 30 , a4 ? 7 ,则 a12 的值为 A.15 A.15 B.23 B.21 C.25 C.19 D.37 D.17

11、已知等比数列的公比为 2,且前四项之和等于 1,那么前八项之和等于 12、在实数数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 0 ,| a2 |?| a1 ? 1 | ,| a3 |?| a2 ? 1 | ,?,| an |?| an?1 ? 1 | , 则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 的最大值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

13、数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且对任意 m, n 的都有 am?n ? am ? an ? mn , 则

1 1 1 1 = ? ? ? ??? ? a1 a2 a2 a 2008
2007 2008
B

A

2007 1004

C

2008 2009

D

4016 2009

14、已知 ?an ? 是等差数列, a4 ? 15 , S 5 ? 55 ,则过点 P(3, a3 ), Q(4, a4 ) 直线的斜率 A.4 B.

1 4
n ?1

C.-4

D.-14

?2? 15、已知数列 ?an ? 的通项为 an ? ? ? ?3?
A. 最大项为 0,最小项为 ?

?? 2 ? n ?1 ? ? ?? ? ? 1? ,下列表述正确的是 ?? 3 ? ? ? ?
B. 最大项为 0,最小项不存在

20 81

C. 最大项不存在,最小项为 ?

20 81

D. 最大项为 0,最小项为 a4

二、填空题:请将答案填入答题纸填空题的相应答题上. 16、在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3,前三项和为 21,则 a3+a4+a5= 17、在等比数列 {an } 中,a1=64,公比 q= ? 为_____________. 18、若数列{ an }的前 n项和s n ? .

1 ,则 ? n =a1a2a3?an,则使 ? n 取得最大值的 n 2

1 , a1 ? a9 ? n(n ? 1)

.

19、数列 {an } 中, a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 2, 则通项 an ? _____________. 20、已知等差数列 ?an ? ,若 a2 ? a 4 ? ?? a 2 则公差=__ _.
n

?3 a 6a 1 ,a ? 3 a ? ?? 2 a 1 n? 3? 5 a a ,且 S2 n ? 100 ,

21、对于各数互不相等的正数数组 ?i1 , i2 ,?, in ?( n 是不小于 2 的正整数) ,如果在 p ? q 时有 ,一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组 i p ? iq ,则称 i p 与 i q 是该数组的一个“逆序” 的“逆序数” 。例如,数组 ?2,4,3,1? 中有逆序“2,1” , “4,3” , “4,1” , “3,2” ,其“逆序数” 等 于 4 。 若 各 数 互 不 相 等 的 正 数 数 组 ?a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 ? 的 “ 逆 序 数 ” 是 2 , 则

?a6 , a5 , a4 , a3 , a2 , a1 ? 的“逆序数”是
22 、 已 知 数 列 {an } 中 , 其 前

.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程并演算步骤. , 数 列 {bn } 满 足 n 项 和 为 Sn , 满 足 Sn ? 2an ? 1,n ? N *

bn ? 1 ? l o g , ?N * 1 an n
2

(1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)设数列 {anbn } 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn .

23、已知数列{an}的各项均为正数,观察程序框图, 若 k ? 5, k ? 10时,分别有 S ? (1)试求数列{an}的通项; (2)令 bn ? 2 n , 求b1 ? b2 ? ... ? bm 的值.
a

5 10 和S ? 11 21

24、数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a 2 ? 2, a n ? 2 ? ?1 ? (1)求 a3、a4 及数列 ?an ? 的通项公式;

? ?

1 n? ? 2 n? cos2 , n ? 1,2,3 ? ? ? ?an ? 2 sin 3 2 ? 2

(2)设 Sn ? a1 ? a ? ? ? ? ? an , 求S 2n ,求 S 2 n ; (3)设 cn ? ? ?? 1? a2n , a 为大于零的实数, }的前 n 项和, 问是否存在实数 ? , Tn 为数列(c。
n

使得对任意正整数 n,都有 a ? Tn ? a 2 。?若存在,求 ? 的取值范围;若不存在,说明理由.

25、已知数列 {an } 是等比数列,其前 n 项的和为 Sn, a1 ? 2a 2 ? 0 , S 4 ? S 2 ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 ?an S n ? 的前 n 项的和; (3)求使不等式 a n ?

1 8

1 成立的 n 的集合. 16

26、已知等比数列 {an } 的各项均为正数,且公比不等于 1,数列 {bn } 对任意正整数 n,均有:

(bn?1 ? bn?2 ) ? log2 a1 ? (bn?2 ? bn )log2 a3 ? (bn ? bn?1 )log2 a5 ? 0 成立,又 b1 ? 1, b7 ? 13 。 (1)求数列 {bn } 的通项公式及前 n 项和 Sn ;
(2)在数列 {bn } 中依次取出第 1 项,第 2 项,第 4 项,第 8 项,?,第 2 个新数列 {cn } ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ; (3)当 n ? 3 时,比较 Tn 与 Sn 的大小。
n ?1

项,?,组成一

27、已知一次函数 f ( x)的图象关于直线 x ? y ? 0对称的图象为 C, 且f [ f (1)] ? ?1 ,若点

(n,

an?1 a a )(n ? N * )在曲线C上, 并有a1 ? 1, n?1 ? n ? 1(n ? 2). an an an?1

(1)求 f ( x) 的解析式及曲线 C 的方程; (2)求数列 {an } 的通项公式; (3)设数列 bn ?

a n ?3 1 (n ? 4)的前n项和为Tn , 求证 : Tn ? T3 ? (n ? 4) 。 an 12

28、在等比数列 ?an ? 中,前 n 项和为 Sn ,若 Sm , Sm?2 , Sm?1 成等差数列,则 am , am? 2 , am?1 成等 差数列。 (1)写出这个命题的逆命题; (2)判断逆命题是否为真?并给出证明。

29、已知曲线 C : xy ? 1, 过 C 上一点 An ( xn , yn ) 作一斜率为 kn ? ?

1 的直线交曲线 C 于 xn ? 2
11 . 7

另一点 An?1 ( xn?1 , yn?1 ) ,点列 ? An ? 的横坐标构成数列 ?xn ? ,其中 x1 ? (I)求 xn 与 xn ?1 的关系式; (II)令 bn ?

1 1 ? ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列; xn ? 2 3

(III)若 cn ? 3n ? ?bn (λ 为非零整数,n∈N*) ,试确定 λ 的值,使得对任意 n∈N*,都有 cn+1>cn 成立。

数列参考答案: 一、选择题: 1、C 2、A 3、B 4、B 5、B 6、D 7、C 8、A 9、B 10、B 11、D 12、C 13、D 14、A 15、A 二、填空题: 16、84 17、5 或 8 18、

179 360

19、 2 ? 3

n?1

?1

20、2

21、13

三、解答题: 22 解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2a1 ? 1, a1 ? 1 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2an ?1) ? (2an?1 ?1) ,∴ an ? 2an?1 ∴数列 {an } 是首项为 a1 ? 1 ,公比为 2 的等比数列, ∴数列 {an } 的通项公式是 an ? 2n?1

bn ? 1 ? log 1 2n?1 ? 1 ? (1 ? n) ? n ,∴数列 {bn } 的通项公式是 bn ? n
2

(2) {anbn } ? n ? 2n?1

∴ Tn ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3? 22 ???? ? (n ?1) ? 2n?2 ? n ? 2n?1

2Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ???? ? (n ?1) ? 2n?1 ? n ? 2n
∴ ?Tn ? 1 ? 21 ? 22 ???? ? 2n?1 ? n ? 2n ? 2n ?1 ? n ? 2n 23 解:由框图可知 ∴ Tn ? (n ?1) ? 2n ? 1

S?

1 1 1 ? ? ..... ? ?{an }是等差数列,设公差为d,则有 a1a2 a2 a3 ak ak ?1

1 1 1 1 ? ( ? ) ak ak ?1 d ak ak ?1
?S ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? .... ? ? )? ( ? ) d a1 a2 a2 a3 ak ak ?1 d a1 ak ?1
5 10 ; k ? 10时, S ? 11 21

(1)由题意可知,k=5 时, S ?

5 ?1 1 1 ( ? ) ? ?d a a 11 ?a ? 1 ?a ? ?1 ? 1 6 ?? 问得 ? 1 或 ? 1 (舍去)故an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 ?d ? 2 ?d ? ?2 ? 1 ( 1 ? 1 ) ? 10 ? 21 ? d a1 a11
(3)由(2)可得: bn ? 2 an ? 2 2n?1

? b1 ? b2 ? ... ? bm ? 21 ? 23 ? ... ? 22 m?1 ?
24 解: (1)

2(1 ? 4m ) 2 m ? (4 ? 1) 1? 4 3

?? ? ? 1 a3 ? ?1 ? cos2 ?a1 ? 2 sin 2 ? a1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 3 2? 2 ? 3

2? ? 2 4 ? 1 ? 1? 2 2? a4 ? ?1 ? cos2 ? ?1 ? ?a2 ? ? 2 ? ?a2 ? 2 sin 2 ? 2 ? 3? 3 3 ? 3
一般地, a 2 n ?1 ? ?1 ? 即 a2 n?1 - a2 n?1 =2 即数列{ a2 n?1 }是以 a1 ? 1 ,公差为 2 的等差数列。

? ?

1 2n ? 1 ? 2 2n ? 1 cos2 ? ? a2 n?1 ? 2 ?a 2 n?1 ? 2 sin 3 2 ? 2

? a2n?1 ? 2n ? 1
2n ? 2n 2 ? 1 又 ? a2 m? 2 ? ?1 ? cos2 ? ?a2 n ? 2 sin 2 ? ? a2 n 2 ? 2 3 ? 3
即数列{ a 2 n }是首项为 a 2 ? 2 ,公比为

2 的等比数列 3

? a2n

? 2? ? a2 ? ? ? 3?

n ?1

? 2? ? 2? ? ? 3?

n ?1

?n, n ? 2m ? 1, m ? N ? ? ? n?2 综上可得a n ? ? 2 2 ? ? ?2? ? , n ? 2m, m ? N ? ? ? ?3?
(2) S 2n ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? ?a2n?1 ? a2n ? ?a1 ? a3 ? ? ? ? ? a2n?1 ? ? ?a2 ? a4 ? ? ? ? ? a2n ?
n ?1 ? 4 ?2? ? ? ?1 ? 3 ? ? ? ? ? ?2n ? 1?? ? ?2 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? 3? ? ? ? ?

? 2? ? n ? 6 ? 6?? ? ? 3?
2

n

3) Tn ? ?? ? ? a 2 ? a 4 ? a6 ? ? ? ? ? ?? 1?
n ? ? 6 ?? n ?2? ? ? ? ? ? ?1 ? ?? 1? ? ? ? ? ? 5 ?? ?3? ? ? ?

?

n ?1

a2n

?

n ?1 ? 4 ?2? ? n ?1 ? ?? ? ??2 ? ? ? ? ? ? ?? 1? ? 2 ? ? ? ? 3 ?3? ? ? ? ?

? 2? 注意到对任意自然数 n,1 ? ?? 1? ? ? ? ? 0 ? 3?
n

n

要对任意自然数 n 及正数 a ,都有 a ? Tn ? a 2 , 则必有? ? 0 此时,对任意自然数 n , Tn ? T1 , Tn ? T2

3 ? 2 ?? ? ? a ? a ? T ? ?a ? ? ? , ? 2 2 ? a ? Tn ? a 2 等价于? 2 ,即? 3 ? 2 ?a ? T1 ?a 2 ? ?2? ?? ? ? a ? ? 2 ?
? a 2 3a ? ?当a ? 3时,存在实数 ? ?? n都有a ? Tn ? a 2 ; ? ? 2 ,? 2 ? ?, 使得对任意正整数 ? ? 当0 ? a ? 3时不存在实数 ?,使得对任意正整数 n都有a ? Tn ? a 2
25 解: (1)设等比数列 {an } 的等比是 q,? a1 ? 2a2 ? 0, 且a1 ? 0, 所以q ?

a2 1 ?? . a1 2

a (1 ? q 4 ) 1 1 1 ? S 4 ? S 2 ? , 所以 1 ? a1 (1 ? q) ? , 将q ? ? ,代入上式, 8 1? q 8 2
1 ? (? ) n ?1 .(n ? N ) 2 1 n ?1 2 1 n 2 1 n ?1 1 2 n ?1 ] (2)解:由于 a n ? (? ) , S n ? [1 ? (? ) ], ? a n S n ? [( ? ) ? ( ) 2 3 2 3 2 2
解得: a1 ? 1, 所以 a n ? a1 q
n ?1

8 4 1 4 1 ? ? (? ) n ? ? ( ) n 9 9 2 9 4 1 1 1 ? (? ) n ?1 ? . 显然当 n 是偶数时,此不等式不成立. (3)解: a n ? 16 2 16 1 n ?1 1 1 1 ? ( ) n ?1 ? ( ) 4 ? n ? 5 ,但 n 是正整数, 当 n 是奇数时, (? ) ? 2 16 2 2
故知, a1 S1 ? a 2 S 2 ? ? ? a n S n ? 故使原不等式成立的 n 的集合为 ? 1,3,5?. 26 解: (I)设公比为 q(q ? 1), a3 ? a1q2 , a5 ? a1q4 代入 (bn?1 ? bn?2 )log2 a1 ? (bn?2 ? bn )log2 a3 ? (bn ? bn?1 )log2 a5 ? 0 得

[(bn ?1 ? bn ? 2 ) ? (bn ? 2 ? bn ) ? (bn ? bn ?1 )]log 2 a1 ? 2[(bn ? 2 ? bn ) ? 2(bn ? bn ?1 )]log 2 q ?0
即 (bn ? bn?2 ? 2bn?1 )log2 q ? 0 ∵ q ? 1 ,∴ log2 q ? 0 ,∴ bn ? bn?2 ? 2bn?1 ∴ {bn } 是等差数列

(n ? N)

d?

b7 ? b1 =2 7 ?1

∴ bn ? 2n ? 1, S n ?

n[1 ? (2n ? 1)] ? n2 2

(Ⅱ) cn ? b2n?1 ? 2·2n?1 ?1 ? 2n ?1

Tn ? (21 ?1) ? (22 ?1) ? (23 ?1) ? … ? +(2n ?1)

? (21 ? 22 ? 23 ? … ? +2n ) ? n
? 2(2n ? 1) ? n ? 2n ?1 ? n ? 2 2 ?1

(3) Tn ? Sn ? 2n?1 ? (n2 ? n ? 2)

n ? 3 时, T3 ? S3 ? 2 ? 0, n ? 4 时, T4 ? S4 ? 10 ? 0

猜测 n ? 3(n ? N ) 时, Tn ? Sn 用数学归纳法证明如下 (1) n ? 3 时, T3 ? S3 (已证) (2)假设 n ? k (k ? 3) 时不等式成立,即 2k ?1 ? k 2 ? k ? 2

n ? k ? 1 时, 2k ?2 ? 2·2k ?1 ? 2(k 2 ? k ? 2)
又 2(k 2 ? k ? 2) ? [(k ? 1)2 ? (k ? 1) ? 2] ? k 2 ? k ? 0 ∴ 2k ?2 ? 2(k 2 ? k ? 2) ? (k ? 1)2 ? (k ? 1) ? 2, Tk ?1 ? Sk ?1 即 n ? k ? 1 时,不等式成立。 由(1) (2)知,当 n ? 3(n ? N ) 时, Tn ? Sn 27 解: (1)设 f ( x) ? kx ? b(k ? 0) 解得 k ? 1, b ? ?1, 所以 f ( x) ? x ? 1,曲线C方程为y ? x ? 1;

(2)

a n ?1 ? n ?1 an

利用累乘得 a n ? n! (3) bn ?

1 (n ? 4) n(n ? 1)(n ? 2)

则Tn ? T3 ? b4 ? b5 ? ? ?b n 1 1 1 ? ??? 2?3? 4 3? 4 ?5 (n ? 2)(n ? 1)n 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ? ? ??? ? ) 2 2?3 3? 4 3? 4 4?5 (n ? 2)(n ? 1) (n ? 1)n 1 1 1 ? ( ? ) 2 6 (n ? 1)n 1 ? ??????12分 12 ?
28 解: (1) 在等比数列 ?an ? 中, 前 n 项和为 Sn , 若 am , am? 2 , am?1 成等差数列, 则 Sm , Sm?2 , Sm?1 成等差数列。 (2)数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公比为 q 。由题意知: 2am?2 ? am ? am?1 即 2a1 ? qm?1 ? a1 ? qm?1 ? a1 ? qm

? a1 ? 0, q ? 0,? 2q 2 ? 1 ? 1 ? 0,? q ? 1或q ? ?

1 2

当 q ? 1 时,有 Sm ? ma1, Sm?2 ? (m ? 2)a1, Sm?1 ? (m ? 1)a1, 显然: 2Sm?2 ? Sm ? Sm?1 。此时逆命题为假。

当q ? ?

1 时,有 2Sm? 2 2

1 2a1 (1 ? (? ) m? 2 ) 4 ? 1 ? 2 ? ? a1 ?1 ? (? ) m? 2 ? , 1 3 ? 2 ? 1? 2

1 1 a1 (1 ? (? ) m ) 2a1 (1 ? (? ) m? ) 4 ? 1 ? 2 2 Sm ? Sm?1 ? ? ? a1 ?1 ? (? ) m? 2 ? 1 1 3 ? 2 ? 1? 1? 2 2

? 2Sm?2 ? Sm ? Sm?1 ,此时逆命题为真。
29 解: (1)过 An ( xn , yn ) 的直线方程为 y ? yn ? ?

1 ( x ? xn ) xn ? 2

1 ? ( x ? xn ) ? y ? yn ? ? xn ? 2 联立方程 ? 消去 y 得 ? xy ? 1 ?
x 1 x 2 ? ( yn ? n ) ? 1 ? 0 xn ? 2 xn ? 2
∴ xn x
n?1

? xn ? 2

即 xn ?1 ?

xn ? 2 xn
1 1 ? xn 1 1 xn ? 2 1 3xn ? 2 ? xn 3 ? ?2 ? x ?2 3 xn 2 ? xn 3 3(2 ? xn ) ? n ?1 ? ? ? ? ?2 1 1 1 1 1 1 3 ? xn ? 2 ? ? ? xn ? 2 3 xn ? 2 3 xn ? 2 3 3( xn ? 2)

(2)

bn ?1 bn

∴ ?bn ? 是等比数列

b1 ?

1 1 ? ? ?2 x1 ? 2 3

, q ? ?2 ;

n (3)由(2)知 bn ? (?2) ,要使 cn?1 ? cn
n ?1 n ?1 n n n n 恒成 cn ?1 ? cn ? ? ?3 ? ? (?2) ? ? ?? ?3 ? ? ( ?2) ? ? = 2 ? 3 ? 3? (?2) >0 恒成立,

3 n-1 ) 恒成立. 2 3 n-1 ⅰ。当 n 为奇数时,即 λ <( ) 恒成立. 2 3 n-1 又( ) 的最小值为 1.∴λ <1. 2 3 n-1 ⅱ。当 n 为偶数时,即 λ >-( ) 恒成立, 2 3 n-1 3 3 又-( ) 的最大值为- ,∴λ >- . 2 2 2
即(-1) λ >-(
n

即-

3 <λ <1,又 λ ≠0,λ 为整数, 2

∴λ =-1,使得对任意 n∈N*,都有 cn?1 ? cn . www.jk.zy.w.com


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