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平面向量的几何运算


选择题

已知 a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足(a-c)·(b-c)=0,则 |c|的最大值是( ).

A.1 B.2

C.

D.

C

又∵





,∴



,∴

的最大值为

选择题



,设

为平面向量,则(

)

A.

B.

C.

D.

D

本题考查平面向量的模、数量积以及分段函数、函数最值,考查向量的加法和减法的几何 意义.中档题.



是以

为邻边的平行四边形的两条对角线对应的向量,所以

选择题

平面向量 角,则 ( )







),且 与 的夹角等于 与 的夹

A.

B. C. D.

D

本题考查平面向量中的有关知识:平面向量基本定理、向量加法的几何含义、向量数量积 的定义以及利用数量积求夹角等基础知识.单选不同的方法难易度不一样,中档题.

方法一)

因为 ,所以

, 即

,所以

,又



方法二)由几何意义知 为以 .

, 为邻边的菱形的对角线向量,又

,故

选择题

设 A1,A2,A3,A4 是平面直角坐标系中两两不向的四点,若



,且 ,则称 A3,A4 调和分割 A1,A2.已知点 C(c,0), D(d??0),(c,d∈R)调和分割点 A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的是( ).

A.C 可能是线段 AB 的中点

B.D 可能是线段 AB 的中点 C.C,D 可能同时在线段 AB 上 D.C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上

D

由题意得



,且



若 C,D 都在 AB 的延长线上,则λ >1,μ >1, 故选 D.

,这与

矛盾,

选择题

已知向量 a,b 满足|a|=|b|=2,a? b=0,若向量 c 与 a-b 共线,则|a+c|的最小值为(



A.1 B. C. D.2

B

如图,设

=b,

=a,则

=a-b

作 CD⊥AB 于 D ∵向量 c 与 a-b 共线 |a+c|的最小值即为| |=

选择题

在平面直角坐标系中,O(0,0),P(6,8),将向量 则点 的坐标是( )

按逆时针旋转

后,得向量



A.

B.

C.

D.

A

方法一:设







方法二:将向量 设 因为| = + |=|

按逆时针旋转 ,则

后得



=(14,2) 在正方形之对

|,所以四边形 OMQ′P 为正方形,所以向量

角线上。

因为



的一半,所以向量



反向且|

|=|

|=|

|=10

所以

=-λ

(λ >0)

由|-λ

|=10 得,λ =



所以



选择题

已知△ABC 为等边三角形,AB=2,设点 P,Q 满足 若 · =- ,则 =( )

=



=(1-λ )

,λ ∈R,

A.

B.

C.

D.

A

如图, 设

,则











·

=- 得



也即

,整理得



解得λ = .

选择题

如图所示,





是圆

上的三点,

的延长线与线段

交于圆内一点

,若

,则 (



A. C.

B. D.

【答案】C

【解析】 试题分析:由于 、 、 三点共线,设 ,则

,由于 方向相反,则存在





三点共线,且点

在圆内,点

在圆上,



,使得 ,因此

, ,所以 ,选 C. 考点:1.共线的平面向量;2.平面向量的线性表示

选择题

在平面直角坐标中, (1)平面内点 G 满足

的三个顶点 A、B、C,下列命题正确的个数是( ) ,则 G 是 的重心;(2)平面内点 M 满足

,点 M 是

的内心;(3)平面内点 P 满足

,则点 P 在边 BC 的垂线上;

A.0 B.1 C.2 D.3

【答案】B

【解析】 试题分析:对(2),M 为 的外心,故(2)错.

对(3), 在 的平分线上,故(3)错.易得(1)正确,故选 B. 考点:三角形与向量.

,所以点 P

选择题

已知



是直线 y=kx+1(k 为常数)上两个不同的点,则关于 x 和 y 的

方程组

的解的情况是(



A.无论 k, C.存在 k,

如何,总是无解 ,使之恰有两解

B.无论 k, D.存在 k,

如何,总有唯一解 ,使之有无穷多解

【答案】B

【解析】由题意,直线

一定不过原点



是直线

上不同的两

点,则 与 不平行,因此 ,所以二元一次方程组 有唯一解. 【考点】向量的平行与二元一次方程组的解.

一定

选择题

如图,空间四边形 OABC 中, BC 的中点,则 等于( )

=a,

=b,

=c.点 M 在 OA 上,且 OM=2MA,N 为

A.

a-

b+

c

B.-

a+

b+

c

C.

a+

b-

c

D.

a+

b-

c

【答案】B

【解析】







(



)-



(b+c)-

a=-

a+

b+

c.

选择题

在四边形 ABCD 中,

=

,且

,则四边形 ABCD 是( )

A.矩形

B.菱形

C.直角梯形

D.等腰梯形

【答案】B

【解析】 试题分析:∵ ,∴ ,∴四边形 ABCD 是平行四边形,又∵

,∴ ,∴四边形 ABCD 是菱形. 考点:平行四边形与菱形的判定,平面向量的数量积.

选择题

在平行四边形

中,

等于





A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】 试题分析:如图,在平行四边形 ABCD 中, ,∴ .

考点:平面向量的加法与减法运算.

选择题

已知

为平行四边形,若向量



,则向量

为(



A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】 试题分析: 考点:向量的减法

选择题

在△ABC 所在的平面内有一点 P,如果 2 ABC 的面积之比是( )







, 那么△PBC 的面积与△

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】欲求两三角形面积之比只需求出高的比,变换已知的向量等式即可得出两三角形 面积之比等于高的比值.2 + = - ,即 2 + = + = ,即

=3

,即点 P 在边 AC 上,且 PC=

AC,即△PBC 与△ABC 高的比是

,两三角形

具有相同的底 BC,故面积之比为

.

选择题

如图,已知



,用



表示

,则

等于(

)

A.



B.



C.-



D.-



【答案】C

【解析】 选 C.













(



)=-





选择题

设 e1,e2 是两个不共线的向量,且 a=e1+λ e2 与 b=- e2-e1 共线,则实数λ =(

)

A.-1

B.3 C.- D.

【答案】D

【解析】∵a=e1+λ e2 与 b=- e2-e1 共线,∴存在实数 t,使得 b=ta,即- e2-e1

=t(e1+λ e2),-

e2-e1=te1+tλ e2,由题意,e1,e2 不共线,∴t=-1,tλ =-

,即λ = ,故选 D.

选择题

四边形 OABC 中,

,若



,则

( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】

试题分析: 考点:向量的加减.

,所以

.

选择题



中,D 为 AB 边上一点,



,则

=( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

试题分析:由已知得,

,故

,故 考点:1、平面向量基本定理;2、向量加法的三角形法则.



选择题



是两个非零向量,则下列命题为真命题的是

A.若 B.若 C.若 D.若存在实数 ,则存在实数 ,使得 ,则 ,使得

【答案】C

【解析】 试题分析:根据向量加法的几何意义, 其中等号当且仅当向量 共线时

成立,由 可得 ,其中 ,由此可知,只有 C 项是正确 的,故选 C. 考点:1、向量加法的几何意义;2、数乘向量与共线向量.

选择题

平面向量 a 与 b 的夹角为 60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|的值为(

)

A.

B.2

C.4

D.12

【答案】B

【解析】由已知|a|=2,|a+2b| =a +4a·b+4b =4+4×2×1×cos 60°+4=12, 所以|a+2b|=2 .

2

2

2

选择题

空间任意四个点 A、B、C、D,则

等于 (



A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】 试题分析:如图,

,故选:B. 考点:向量加减混合运算及其几何意义.

选择题

在平行四边形 交于点 .若

中, ,



交于点 ,则

是线段 ( )

的中点,

的延长线与

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

试题分析:



因为



的中点,

,所以,

=

=





,故选 C.

考点:1、向量的加法,减法几何运算;2、向量共线.

选择题

在平行四边形 于点 ,若 ,

中,

与 ,则

交于点 ( )

是线段

的中点,

的延长线与



A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】

试题分析:由题意可知,



相似,且相似比为

,所以 ,解得,

,由向

量加减法的平行四边形法则可知,

,由向量加法的三角形法则可知,

,故 D 正确。 考点:平面向量的加减法

选择题

关于平面向量 a,b,c,有下列三个命题: ①若 a·b=a·c,则 b=c; ②若 a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,则 k=-3; o ③非零向量 a 和 b 满足|a|=|b|=|a-b|,则 a 与 a+b 的夹角为 30 . (参若 a-(1,k),b=(-2,6),a 其中真命题的序号为( )

A.①②

B.①③

C.②③

D.①②③

【答案】C

【解析】 试题分析:①当 时, ,解得 不一定相等,故①不正确;②若 a∥b,则有 ,故②正确;③令 ,则 为正三角形。设以 为菱形且 。所以 。故③ 为

,因为|a|=|b|=|a-b|,所以 临边的平行四边形为 ,因为

为正三角形,所以

。由向量加法的平行四边形法则可知 正确。 考点:平面向量的加减法、平行及数量积的计算。

选择题

已知向量

,若

,则

(

)

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】 试题分析:因为 ,所以 ,解得 ,即 ,所以

, ,所以 考点:向量共线数量积公式,向量加减法坐标公式

选择题

△ABC 内接于以 O 为圆心,1 为半径的圆,且 ( )

,则

的值为

A.

B.1

C.

D.

【答案】D

【解析】 试题分析:∵ ,即 ,∴ . , 为直径,

∴ 考点:1.向量的加减法运算;2.向量的数量积.

选择题

已知

三个内角 A,B,C 所对的边,若



的面积

,则三角形

的形状是(



A.等腰三角形 C.等腰直角三角形

B.等边三角形 D.有一个为 的等腰三角形

【答案】C.

【解析】

试题分析:由





的平分线垂直边 BC,所以

,再由

,故

是等腰直角三角形,故选 C. 考点:1.向量垂直的充要条件;2.三角形形状的判断;3.求三角形面积公式.

选择题

如图,半圆的直径 径 上的动点,则



为圆心,

为半圆上不同于 )



的任意一点,若

为半

的最小值为(

A.

B.9

C.

D.-9

【答案】C.

【解析】

试题分析:由题意设

,则

,所以

,当

时有最小值 . 考点:向量的运算.

选择题

已知不共线向量 , ( )

,| |=2,|

|=3, ·(

- )=1,则|

- |=

A.

B.2

C.

D.

【答案】A

【解析】 试题分析:由已知 ,可得 ,又 ,故选 A. 考点:向量的运算

选择题

在 ,恒有

所在的平面内,点

满足 ,则( )



,且对于任意实数

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】 试题分析: 过点 作 ,交 于 , 是 边上任意一点,设 在 的左侧,如图,

则 即 令

是 在



上的投影,即 , , , ,



上的投影, ,

故需要



,即 为 的中点,又是

, 边上的高, ,选 C.

是等腰三角形,故有 考点:共线向量,向量的数量积.

填空题

已知两个非零向量 a 与 b,定义|a×b|=|a|·|b|sin θ ,其中θ 为 a 与 b 的夹角.若 a= (-3,4),b=(0,2),则|a×b|的值为________.

【答案】6

【解析】|a|=

=5,|b|=

=2,a·b=-3×0+4×2=8,所以 cos

θ =





,又因为θ ∈[0,π ],所以 sin θ =





.故根据定义可知|a×b|=|a|·|b|sin θ =5×2×

=6.

填空题

在矩形 ABCD 中,边 AB、AD 的长分别为 2、1.若 M、N 分别是边 BC、CD 上的点,且满足

,则

的取值范围是________.

[1,4]

如图所示,则 A(0,0),B(2,0),D(0,1),C(2,1).



,则





设 M(2,t),N(2-2t,1),故 以 , .

,因为 f(t)递减,所

填空题

在边长为 1 的正三角形

中,设

,则



∵ ∴

= ·

+ =(

, +

=

+ )·( + )= · + · + · + ·

=1×1× -1× -1× + × × =

填空题

在直角三角形 · + ·

中,∠ACB=90 ,AC=BC=2,点 P 是斜边 AB 上的一个三等分点,则 =

°

4

由题意知三角形为等腰直角三角形(如图).

因为 P 是斜边 AB 上的一个三等分点,所以

=





=

+

=

+



所以

·

=

2

+

·

=4+ ×2

×2cos135 =

0

· 所以

= ·

· +

+ ·

· =4

= ×2

×2cos45 =

0

填空题

在平行四边形 ABCD 中,∠A= ,边 AB、AD 的长分别为 2、1,若 N、N 分别是边 BC、CD 上

的点,且满足

=

,则

的取值范围是



[2,5]

设 则

=

= (0≤ ≤1), = , = ,



=

=

=

+

+

+



又∵ ∴

=2×1× =

=1,

=4, ,

=1,

∵0≤ ≤1,∴2≤

≤5,即

的取值范围是[2,5].

===============================================================================

填空题

在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则

=________.

-16

法一:此题最适合的方法是特例法.如图,假设△ABC 是 AB=AC 的等腰三角形.

∵AM=3,BC=10,∴AB=AC=



cos∠BAC=

=-





cos∠BAC=-16

法二:

=

·

=

·

=

=

=-16

填空题

在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,

+



,则λ =



2

由平行四边行的性质知,AC 与 BD 互相平分, 又 + = =2

所以λ =2

填空题

设 是已知的平面向量,向量 , , 在同一平面内且两两不共线,有如下四个命题: ①给定向量 ,总存在向量 ,使 ②给定向量 和 ,总存在实数 ③给定单位向量 和正数 和 ,使 ; ; ,使 ;

,总存在单位向量 和实数

④若 =2,存在单位向量 、 和正实数 其中真命题是____________.



,使

,则

【答案】①②④

【解析】 试题分析:给定向量 ,总存在向量 ,使 ,即 .显然存在 .所以①正确. ,总存在单位向量 和实数 分解,所以 ,

由平面向量的基本定理可得②正确.给定单位向量 和正数 使 ,当 分解到 方向的向量长度大于 , ,由于

时,向量 没办法按

③不正确.存在单位向量 、 和正实数

,向量 、 的模为 1, .所以④成立.综上①②④.

由三角形的三边关系可得 ..由 考点:1.向量的运算.2 平面向量的基本定理.3.基本不等式.

填空题

如图所示,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB,AC 于不同的两 点 M,N,若 =m , =n ,则 m+n 的值为________.

【答案】2

【解析】∵O 是 BC 的中点,

∴ 又∵



(

+ ,

). =n ,

=m

∴ = + ∵M,O,N 三点共线,

.





=1,则 m+n=2.

填空题

如图,在四边形 .

中,





的中点,且

,则

【答案】1

【解析】

试题分析:因为



的中点,

,又



, 考点:向量的线性运算性质及几何意义

填空题

已知







,且 ∥ ,则





【答案】

【解析】

试题分析:由 ∥ 知, 考点:平行向量间的坐标关系.

,那么原式



填空题

已知平面向量



,且 ∥ ,则



【答案】

【解析】 试题分析:∵ ∥ ,∴ ,∴ ,∴ ,∴

. 考点:向量平行的充要条件、向量的模.

填空题

已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点,则 的最小值为 .

【答案】5

【解析】 试题分析:根据题意,利用解析法求解,以直线 DA,DC 分别为 x,y 轴建立平面直角坐标 系,则 A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0),设 P(0,b)(0≤b≤a),求出 ,根据向量模的计算公式,即可求得 ,利用完全平方式非负,即可求 得其最小值. 解:如图,以直线 DA,DC 分别为 x,y 轴建立平面直角坐标系, 则 A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0) 设 P(0,b)(0≤b≤a) 则 ∴ =(2,﹣b), =(1,a﹣b),

=(5,3a﹣4b) ≥5.

∴ = 故答案为 5.

点评:此题是个基础题.考查向量在几何中的应用,以及向量模的求法,同时考查学生灵 活应用知识分析解决问题的能力.

填空题

在平行四边形 为 .

中,

,

,



中点,若

,则

的长

【答案】6

【解析】

试题分析:根据题意可得:

,则

,化简得: ,解得: 考点:向量的运算 .

填空题

已知 a、b 为非零向量, ,若 得最小值,则向量 a、b 的夹角为___________.

,当且仅当

时,



【答案】

【解析】 试题分析:设向量 的夹角为 ,则 ,构造函数

,因为当且仅当

时,



得最小值,所以当

时,函数

有最小值,即

时,

函数 有最小值,又 考点:1.向量;2.二次函数.

,所以解得

.

填空题

在?ABCD 中,

=a,

=b,

=3

,M 为 BC 的中点,则

=______(用 a,b 表示).

【答案】- a+ b

【解析】由

=3

得4

=3

=3(a+b),

=a+ b,所以

= (a+b)-

=- a+ b.

填空题

如图,在△ .

中,已知









,则

【答案】

【解析】 试题分析:因为 ,所以

因此 考点:向量表示

填空题

已知平行四边形 =

, (用向量



的中点,若 表示).

,则向量

【答案】

【解析】

试题分析: 在三角形中,将所求向量表 示成已知向量的和与差,利用平几性质将共线向量等价转化是解题关键. 考点:向量三角形法则,

填空题

在平面直角坐标系中,O 是原点,

是平面内的动点,若



,则 P 点的轨迹方程是___________。

【答案】y =2x-1

2

【解析】 试题分析:设 P(x,y),则 1) +y =x ,整理得 . 考点:向量的运算,求轨迹方程.
2 2 2

,又因为|

|=|

|,所以(x-

填空题

已知 =(2,0),



的夹角为 60°,则



【答案】

【解析】 试题分析: 考点:向量的基本运算. .

填空题

半圆的直径 AB=2, O 为圆心,C 是半圆上不同于 A、B 的任意一点,若 P 为半径 OC 上的动 点,则 的最小值是 ________________;

【答案】

【解析】 试题分析:因为点 O 是线段 AB 的中点,所以向量 = .又因为向量 = .所以 =-

是互为相反向量.所以

2 =-2 = 考点:1.向量的求和运算.2.向量的数量积.3.最值问题.

.所以填

.

填空题

已知

,且 与 的夹角为



,则

等于

.

【答案】

【解析】 试题分析:∵ ∴ ,∴ ,∴ ,∴ ,∴ , ,



∴ . 考点:1.向量的运算;2.两向量的夹角公式.

填空题

已知

,且 与 的夹角为



,则

等于

.

【答案】

【解析】 试题分析:∵ ∴ ,∴ ,∴ ,∴ ,∴ , ,



∴ . 考点:1.向量的运算;2.两向量的夹角公式.

填空题

已知



,则向量 与 的夹角为

.

【答案】

【解析】 试题分析:∵ , ,∴ ,即 ,





∴ . 考点:1.向量的运算;2.向量的夹角.

填空题

已知向量 集,则

满足

,设

,若不等式

的解集为空

的取值范围是__________.

【答案】

【解析】 试题分析:由题意可得 , ,又不等式 则 ,所以 考点:1.解不等式;2.向量的运算 . 的解集为空,

填空题

(1)化简 (2)如图,平行四边形 点,若 = , 中, 分别是 、 的中点, 、 为 . 与 的交

= ,试以 , 为基底表示

【答案】(1)

;(2)







【解析】 试题分析:(1)根据向量加法的三角形法则,可得到 ;



中,可得





中,可得



在 (1)

中,由条件可得

为其重心,因此 3 分;



(2)

6分

9分

是 的重心, 考点:1.向量加法的三角形法则;2.向量的减法运算.

12 分.

填空题

已知向量 (Ⅰ)求 (Ⅱ)若 ;



,设 与

的夹角为 .

,求

的值.

【答案】(Ⅰ)

(Ⅱ)

【解析】

试题分析:(Ⅰ)利用向量数量积公式求 先求 和 的坐标,因为 。 , ,

,在代入公式 ,所以

求解。(Ⅱ) ,

再利用数量积公式求 试题解析:(Ⅰ) 所以

因此 (Ⅱ)





解得: 考点:向量的数量积公式,和两向量垂直则两向量数量积为 0

填空题

已知



(1)求 (2)若

及 与

; 垂直,求实数 的值.

【答案】(1)

、4;(2)3

【解析】 试题分析:(1)先求 的坐标,横坐标与横坐标相减,纵坐标与纵坐标相减。再代入

模长公式即可得

(2)



垂直,则 与



数量积等于 0.可先分 数量积也可先按分配率展

别求 与 的坐标,代入数量积公式; 开在用数量积公式计算 试题解析:(1) ,

; (2) , , , ,

解得: 考点:向量的加减法数量积运算,向量垂直

填空题

(1)求

(2)

.

【答案】(1)



. (2)

.

【解析】 试题分析:(1)直接由向量的运算法则即可得. (2)将(1)小题的结果代入得: 个关于 的二次式,所以通过配方利用二次函数的图象来求其最小值. .这是一

将 .

配方得

.

,所以

令 ,作出抛物线 象可知,需分 、 、 三种情况讨论.

,它的对称轴为

,结合图

试题解析:(1) .

.

,所以 (2)

. .

,所以 ①当 时,当且仅当

. 时, 取最小值 1,这与题设矛盾.

②当

时,当且仅当

时,

取最小值

.由



.

③当

时,当且仅当

时,

取最小值

.由



,故舍去..

综上得: . 考点:1、向量的模及数量积;2、三角恒等变换;3、函数的最值.


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平面向量与解析几何的综合运用
平面向量与解析几何的综合运用 - 平面向量与解析几何的综合运用 数学组 施冬芳 由于向量既能体现“形”的直观位置特征,又具有“数”的良好运算性质,是数形结合与...
2017向量加法运算及其几何意义教案.doc
2017向量加法运算及其几何意义教案.doc - §2.2 平面向量的线性运算 教材分析 本节首先从数及数的运算谈起,有了数只能进行计数,只能引入 了运算,数的威力才得...
利用向量方法解决几何问题
【摘要】向量是形与数的高度统一,它集几何图形的直观与代数运算的简洁于一身。...6 3.2 利用向量知识证明平面几何中的平行问题 ... 8 3.3 利用向量知识证明...
人教A版高中数学必修四2-2-3平面向量数乘运算及其几何意义教案_...
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平面向量在平面几何中的应用例析
平面向量平面几何中的应用例析 - 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 平面向量平面几何中的应用例析 作者:严花 来源:《中学生数理化· 学习研究》2016 ...
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