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高中数学(苏教版)选修1-1讲学案:第一章 1.2 简单的逻辑联结词

_1.2 简单的逻辑联结词 逻辑联 结词 如图所示,有三种电路图. 问题 1:甲图中,什么情况下灯亮? 提示:开关 p 闭合且 q 闭合. 问题 2:乙图中,什么情况下灯亮? 提示:开关 p 闭合或 q 闭合. 问题 3:丙图中,什么情况下灯不亮? 提示:开关 p 不闭合时. 这里的“或”“且”“非”称为逻辑联结词. 含有逻辑联结词 的命题 如知识点一中的图,若开关 p、q 的闭合与断开分别对应命题 p、q 的真与假, 则灯亮与不亮分别对应着 p∧q、p∨q、綈 p 的真与假. 问题 1:什么情况下,p∧q 为真? 提示:当 p 真,q 真时. 问题 2:什么情况下,p∨q 为假? 提示:当 p 假,q 假时. 问题 3:什么情况下,綈 p 为真? 提示:当 p 假时. 1. 一般地, 通常用小写拉丁字母 p, q, r 表示命题, 用联结词“或”、 “且”、 “非”把 p,q 联结起来,就得到新命题,“p 或 q”、“p 且 q”、“非 p”. “p 或 q”记作“p∨q”; “p 且 q”记作“p∧q”; “非 p”记作“綈 p”. 2.一般地,“p 或 q”、“p 且 q”、“非 p”形式的命题的真假性可以用下 面表格分别表示: (1)命题 p 且 q 的真假性: p 真 真 假 假 q p 且q 真 假 假 假 真 假 真 假 (2)命题 p 或 q 的真假性: p 真 假 真 假 q p 或q 真 真 真 假 真 真 假 假 (3)p 与綈 p 的真假性: p 綈 p 假 真 真 假 命题“p∧q”的真假,概括为同真为真,有假为假;命题“p∨q”的真假, 概括为同假为假,有真为真;命题 p 与“綈 p”的真假相反. 第一课时 “且”“或”“非” [对应学生用书P8] 分析命题 的结构 [例 1] 指出下列命题分别由“p 且 q”“p 或 q”“非 p”中的哪种形式构成, 并写出其中的命题 p,q: (1)两个角是 45° 的三角形是等腰直角三角形; (2)方程 x2-3=0 没有有理根; (3)如果 xy<0,则点 P(x,y)的位置在第二或第三象限. [思路点拨] [精解详析] 根据命题的含义,确定逻辑联结词,分解出命题 p 和 q. (1)“p 且 q”的形式;其中 p:两个角是 45° 的三角形是等腰三 角形;q:两个角是 45° 的三角形是直角三角形; (2)“非 p”的形式;p:方程 x2-3=0 有有理根; (3)“p 或 q”的形式;其中 p:如果 xy<0,则点 P(x,y)的位置在第二象限: q:如果 xy<0,则点 P(x,y)的位置在第三象限. [一点通] 正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是解题的关 键.根据各命题的语句中所出现的逻辑联结词或语句的意义确定命题的形式.若 命题中没有出现逻辑联结词,则可根据语句的意义确定命题的构成形式. 1.分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题: (1)2 既不是偶数,也不是质数; (2)王某是体操运动员或跳水运动员; (3)正方形既是矩形,也是菱形; (4)仅有一组对边平行的四边形是梯形或平行四边形; (5)方程 2x2-x+1=0 没有实数根. 解:(1)这个命题是“p 且 q”的形式,其中 p:2 不是偶数,q:2 不是质数; (2)这个命题是“p 或 q”的形式,其中 p:王某是体操运动员,q:王某是跳 水运动员; (3)这个命题是“p 且 q”的形式,其中 p:正方形是矩形,q:正方形是菱形; (4)这个命题是“p 或 q”的形式,p:仅有一组对边平行的四边形是梯形,q: 仅有一组对边平行的四边形是平行四边形. (5)这个命题是“綈 p”形式,其中 p:方程 2x -x+1=0 有实数根. 2.分别指出下列命题的形式及构成它的命题: (1)相似三角形周长相等或对应角相等; (2)方程 x2-3x-4=0 的根是-4 或 1; (3)a? A. 解:(1)这个命题是“p∨q”的形式,其中 p:相似三角形周长相等;q:相似 三角形对应角相等. (2)这个命题是“p∨q”的形式,其中 p:方程 x2-3x-4=0 的一个根是-4, q:方程 x2-3x-4=0 的一个根是 1. (3)这个命题是“綈 p”的形式,其中 p:a∈A. 含有逻辑联结词的命题 的写法 2 [例 2] 题: 写出由下列各组命题构成的“p 且 q”“p 或 q”和“非 p”形式的命 (1)p:6 是自然数;q:6 是偶数; (2)p:? ? {0};q:? ={0}; (3)p:甲是运动员;q:甲是教练员. [思路点拨] [精解详析] 根据 p,q 语句上的要求,正确使用联结词,写成三种形式. (1)p 且 q:6 是自然数且是偶数. p 或 q:6 是自然数或是偶数. 非 p:6 不是自然数. (2)p 且 q:? ? {0}且? ={0}. p 或 q:? ? {0}或? ={0}. 非 p:? ? {0}. (3)p 且 q:甲是运动员且是教练员. p 或 q:甲是运动员或是教练员. 非 p:甲不是运动员. [一点通] 用逻辑联结词“且”、“或”、“非”联结两个命题时,关键是 正确理解这些词语的意义及其与日常用语中的同义词的区别,选择合适的联结 词.有时,为了语法的要求及语句的通顺,也可进行适当的省略和变形. 3.分别写出由下列命题构成的“p 或 q”“p 且 q”“非 p”形式的命题. (1)p:梯形有一组对边平行,q:梯形有一组对边相等; (2)p:-1 是方程 x2+4x+3=0 的解,q:-3 是方程 x2+4x+3=0 的解. 解:(1)p 且 q:梯形有一组对边平行且有一组对边相等.p 或 q:梯形有一组 对边平行或有一组对边相等. 非 p:梯形没有一组对边平行. (2)p 且 q:-1 与-3 是方程 x2+4x+3=0 的解. p 或 q:-1 或-3 是方程

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