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2016


学业分层测评(十五)
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、填空题 2 1.一组数据 1,3,x 的方差为 ,则 x=________. 3 - 1+3+x 4+x 【解析】 由 x = = , 3 3 且s= 1 ?? 4+x?2 ? 4+x?2 ? 4+x?2? ×??1- ? +?3- 3 ? +?x- 3 ? ? 3 ? ? 3 ?? ? ? ?? 2 2 = ,得 x -4x+4=0,∴x=2. 3 【答案】 2 2.某学员在一次射击测试中射靶 10 次,命中环数如下: 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4. 则平均命中环数为________;命中环数的标准差为________. 1 1 2 【解析】 平均数为 (7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7; 方差为 s = (0+1+0 10 10 +4+4+9+4+9+0+9)=4,所以 s=2. 【答案】 7 2
2

3.某样本的 5 个数据分别为 x,8,10,11,9,已知这组数据的平均数为 10,则其方差为 ________. 1 2 2 【解析】 由题意知 x+8+10+11+9=50,解得 x=12,故方差 s = [(12-10) +(8 5 -10) +(10-10) +(11-10) +(9-10) ]=2. 【答案】 2 4.某校甲、 乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习, 每人投 10 次, 投中的次数如下表: 学生 甲班 乙班 1号 6 6 2号 7 7
2 2 2 2 2

3号 7 6

4号 8 7

5号 7 9

则以上两组数据的方差中较小的一个为 s =________. 1 2 2 2 2 2 - 2 2 【解析】 ∵ x 甲=7,s甲= (1 +0 +0 +1 +0 )= , 5 5

1



2 2 2 2 2 x 乙=7,s2 乙= (1 +0 +1 +0 +2 )= ,

1 5

6 5

2 2 2 2 2 ∴s甲<s乙,∴方差中较小的一个为 s甲,即 s = . 5 【答案】 2 5

5.对划艇运动员甲、乙两人在相同条件下进行了 6 次测试,测得他们最大速度(单位: m/s)的数据如下: 甲 乙 27,38,30,37,35,31; 33,29,38,34,28,36.

根据以上数据,可以判断________更优秀. 【解析】 -

x 甲= (27+38+30+37+35+31)

1 6

=33(m/s).
2 2 2 2 2 s2 ≈15.7(m /s ). 甲= [(27-33) +(38-33) +…+(31-33) ]=

1 6

94 6



x 乙= (33+29+38+34+28+36)=33(m/s),
1 6 76 6

1 6

2 2 2 2 2 s2 ≈12.7(m /s ). 乙= ×[(33-33) +(29-33) +…+(36-33) ]=

- - 2 2 ∴ x 甲= x 乙,s甲>s乙,说明甲乙两人的最大速度的平均值相同,但乙比甲更稳定,乙比 甲更优秀. 【答案】 乙 6.甲、乙两名同学在 5 次体育测试中的成绩统计如茎叶图 2?3?8 所示,若甲、乙两人的 平均成绩分别是 X 甲、X 乙,则下列结论正确的有________.(填序号)

图 2?3?8 ①X 甲<X 乙,乙比甲成绩稳定; ②X 甲>X 乙,甲比乙成绩稳定; ③X 甲>X 乙,乙比甲成绩稳定; ④X 甲<X 乙,甲比乙成绩稳定. 【解析】 ∵甲同学的成绩为 78,77,72,86,92,乙同学的成绩为 78,82,88,91,95,

2

78+77+72+86+92 ∴X 甲= =81, 5

X 乙=

78+82+88+91+95 =86.8, 5

∴X 甲<X 乙,从茎叶图上数据的分布情况看,乙同学的成绩更集中于平均值附近,这说明 乙比甲成绩稳定. 【答案】 ① 7.将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分, 去掉 1 个最低分, 7 个剩余分数的平均分为 91, 现场作的 9 个分数的茎叶图后来有 1 个数据模糊,无法辨认,在图 2?3?9 中以 x 表示:

图 2?3?9 则 7 个剩余分数的方差为________. 1 【解析】 根据茎叶图,去掉 1 个最低分 87,1 个最高分 99,则 [87+94+90+91+90 7 +(90+x)+91]=91,∴x=4. 1 2 2 2 2 2 2 2 ∴s = [(87-91) +(94-91) +(90-91) +(91-91) +(90-91) +(94-91) +(91 7 36 2 -91) ]= . 7 【答案】 36 7

8.若样本 x1+1,x2+1,…,xn+1 的平均数为 10,其方差为 2,则对于样本 x1+2,x2 +2,…,xn+2 的平均数为________,方差为________. ?x1+1?+?x2+1?+…+?xn+1? 【解析】 ∵ =10,

n

故 x1+x2+…+xn=10n-n=9n, 故 x1+x2+…+xn+2n=11n, ∴ ?x1+2?+?x2+2?+…+?xn+2?

n
1

=11, 1

2 2 2 2 2 s2 1= [(x1+1 -10) +(x2+ 1- 10) +…+ (xn+ 1- 10) ] = [(x1- 9) + (x2 -9) +…+ n n

(xn-9) ] 1 2 2 2 2 = [(x1+2-11) +(x2+2-11) +…+(xn+2-11) ]=s2.

2

n

故所求的平均数为 11,方差为 2. 【答案】 11 2

3

二、解答题 9.某盐场有甲、乙两套设备包装食盐,在自动包装传送带上,每隔 3 分钟抽一包称其重 量是否合格,分别记录数据如下: 甲套设备:504,510,505,490,485,485,515,510,496,500; 乙套设备:496,502,501,499,505,498,499,498,497,505. 试确定这是何种抽样方法?比较甲、 乙两套设备的平均值与方差, 说明哪套包装设备误 差较小? 【解】 (1)根据三种抽样方法的定义,可知这种抽样方法是系统抽样. (2)甲套设备的平均值、方差分别为 -

x 1= (504+510+505+490+485+485+515+510+496+500)=500,
1 10

1 10

2 2 2 s2 [(504-500) +(510-500) +…+(500-500) ]=103.2, 1=

乙套设备的平均值、方差分别为 -

x 1= (496+502+501+499+505+498+499+498+497+505)=500,
1 10

1 10

2 2 2 s2 [(496-500) +(502-500) +…+(505-500) ]=9. 2=

- - 2 2 可见, x 2= x 1,s1>s2,所以乙套设备较甲套设备更稳定,误差较小.

图 2?3?10 10.甲、乙二人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分情况如图 2?3?10 所示. (1)分别求出两人得分的平均数与方差; (2)根据图和上面的结果,对两人的训练成绩作出评价. 【解】 (1)甲、乙两人五次测试的成绩分别为: 甲 乙 10 分 13 分 13 分 14 分 12 分 14 分 12 分 12 分 16 分 14 分

10+13+12+14+16 甲的平均得分为: =13, 5

4

13+14+12+12+14 乙的平均得分为: =13. 5
2 2 2 2 2 s2 甲= [(10-13) +(13-13) +(12-13) +(14-13) +(16-13) ]=4,

1 5 1 5

2 2 2 2 2 s2 乙= [(13-13) +(14-13) +(12-13) +(12-13) +(14-13) ]=0.8.

(2)由 s甲>s乙,可知乙的成绩较稳定. 从折线图看,甲的成绩基本上呈上升状态,而乙的成绩在平均线上下波动,可知甲的成 绩在不断提高,而乙的成绩则无明显提高. [能力提升] 1.甲、乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图 2?3?11 所示.

2

2

图 2?3?11 ①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数; ②甲同学的平均分比乙同学高; ③甲同学的平均分比乙同学低; ④甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差. 上面说法正确的是________.(填序号) 【答案】 ③④ 2.某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x、y、10、11、9.已知这组数据 的平均数为 10,方差为 2,则|x-y|的值为________. 【导学号:90200056】 【解析】 - x+y+10+11+9 x= =10,可得 x+y=20,① 5

1 2 2 2 2 2 根据方差的计算公式 s = [(x-10) +(y-10) +1 +1 ]=2, 5 可得 x +y -20(x+y)+200=8,② 由①②得|x-y|=4. 【答案】 4 3.由正整数组成的一组数据 x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是 2,且标准差等于 1, 则这组数据为________.(从小到大排列) 【解析】 假设这组数据按从小到大的顺序排列为 x1,x2,x3,x4,
2 2

5

x +x +x +x =2, ? ? 4 则? x +x ? ? 2 =2,
1 2 3 4 2 3

∴?

?x1+x4=4, ? ?x2+x3=4. ?

1 2 2 又 s= 2[?x1-2? +?x2-2? ]=1, 2 ∴(x1-2) +(x2-2) =2. 同理可求得(x3-2) +(x4-2) =2. 由 x1,x2,x3,x4 均为正整数,且(x1,x2),(x3,x4)均为方程(x-2) +(y-2) =2 的解, 分析知 x1,x2,x3,x4 应为 1,1,3,3. 【答案】 1,1,3,3 4.师大附中三年级一班 40 人随机平均分成两组, 两组学生一次考试的成绩情况如下表: 统计量 组别 第一组 第二组 求全班学生的平均成绩和标准差. 【解】 设第一组 20 名学生的成绩为 xi(i=1,2,…,20), 第二组 20 名学生的成绩为 yi(i=1,2,…,20), - 1 依题意有 x = (x1+x2+…+x20)=90, 20 - 平均成绩 90 80 标准差 6 4
2 2 2 2 2 2

y = (y1+y2+…+y20)=80,

1 20

1 1 故全班平均成绩为 (x1+x2+…+x20+y1+y2+…+y20)= (90×20+80×20)=85; 40 40 又设第一组学生成绩的标准差为 s1,第二组学生成绩的标准差为 s2,则
2 2 2 2 s2 (x1+x2+…+x20-20 x ), 1=

1 20 1 20

2 2 2 2 s2 (y1+y2+…+y20-20 y )(此处 x =90, y =80), 2=





1 2 2 - - 2 又设全班 40 名学生的标准差为 s,平均成绩为 z ( z =85),故有 s = (x1+x2+…+ 40
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x2 (20s1+20 x +20s2+20 y -40 z )= (6 +4 +90 +80 20+y1+y2+…+y20-40 z )=

1 40



1 2

6

-2×85 )=51.即 s= 51. 所以全班学生的平均成绩为 85 分,标准差为 51.

2

7


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