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高中数学第四章数系的扩充与复数的引入4.2复数的四则运算知识导航北师大版选修1


2.2 复数的乘法与除法 自主整理 1.复数的加法、减法运算:(a+bi)±(c+di)=______________. 2.复数的乘法运算:(a+bi)(c+di)=______________. 3.两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫作互为__________,用__________ 表示. 4.设 z=a+bi,则 z =____________,z z =____________. 5. 满 足 (c+di)(x+yi)=a+bi 的 复 数 x+yi 叫 作 ____________, 记 作 _____________ 或 ____________. 高手笔记 1.复数的加、减、乘、除运算后,所得的结果仍为复数. 2.复数的加、减、乘法运算与多项式的运算类似. 3. 复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律 , 即对任何 z1、 z2 、 z3∈C 有 z1·z2=z2·z1,(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 在复数范围内,实数范围内正整数指数幂的运算律仍然成立,即对任意复数 z、z1、z2 和正整 m n m+n m n mn n n n 数 m、n 有 z ·z =z ,(z ) =z ,(z1z2) =z1 ·z2 . 4.若 z=z,则 z 为实数;若 z+z=0(z≠0),则 z 为纯虚数. 5. 根 据 复 数 所 满 足 的 运 算 律 , 可 知 i 4n=1,i 4n+1 =i,i 4n+2 =-1,i 4n+3 =-i,(1+i) =2i,(1-i) =-2i, 2 2 1? i =i, 1? i 2 3 1? i 1 3 2 2 =-i.若设 ω = ? + i,则 1+ω +ω =0, ? =ω ,ω = ? , ? =1. 2 2 1? i 名师解惑 理解复数的除法运算的转化. 剖析:复数的除法是复数乘法的逆运算,但每次都按乘法的逆运算将十分麻烦.我们可以 用简便方法操作:先把两个复数相除写成分式形式,然后把分子与分母都同乘分母的共轭复 数,使分母“实数化”,最后再化简.复数的除法与分母“有理化”的方法相类似.学习时,注 意培养这种转化的思想和类比思想. 讲练互动 【例 1】计算(6+6i)+(3-i)-(5-3i). 分析:利用复数加、减法法则进行计算. 解:(6+6i)+(3-i)-(5-3i) =(6+3-5)+(6-1+3)i =4+8i. 绿色通道 复数的加、 减法运算,就是把实部与实部、 虚部与虚部分别相加减,实部与实部相加减作 实部、虚部与虚部相加减作虚部. 变式训练 1.已知 z1=2+i,z2=1+2i,则复数 z=z2-z1 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案:B 1 【例 2】已知 x、y∈R,且 x y 5 ? + ,求 x、y 的值. 1 ? i 1 ? 2i 1 ? 3i 分析:复数通分太麻烦,可将每个分母的复数化为实数,再进行计算. 解: x y 5 ? + 可写成 1 ? i 1 ? 2i 1 ? 3i x(1 ? i ) y (1 ? 2i ) 5(1 ? 3i ) + = , 2 5 10 5x(1-i)+2y(1-2i)=5-15i, (5x+2y)-(5x+4y)i=5-15i, ∴? ?5 x ? 2 y ? 5, ?5 x ? 4 y ? 15. ? x ? ?1, ? y ? 5. ∴? 绿色通道

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