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广东省梅州市蕉岭中学2011届高三综合检测(五)


广东省梅州市蕉岭中学 高三综合检测( 综合检测 广东省梅州市蕉岭中学 2011 届高三综合检测(五) 数 学 ( 文 科) 试 题
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟.

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A = {?1, 0,1} , B = {1, 2} ,则 A I B 等于 . A. {?1, 0,1} . B. {0,1} . C. {1} . D. {1, 2} .

,则命题 p 及其逆命题、否命题、逆否命题中,正 2.已知命题 p : “若 a = b ,则 | a |=| b | ” . 确命题的个数是( A.1 个 . ) B.2 个 . C.3 个 . D.4 个 .

3.在等差数列 {an } 中,首项 a1 = 0, 公差 d ≠ 0 ,若 ak = a1 + a2 + a3 + L + a7 ,则 k = . A. 21 . B. 22 C. 23 D. 24 . . . 4.某几何体的直观图如右图所示 .某几何体的直观图如右图所示,则该几何体的侧(左)视图的面积为 A. 5π a .
2

B. 5a .

2

C. (5 + 2)π a 2 . 5.函数 f ( x ) = 1 ? 2sin ( x + .
2

D. (5 + 2)a 2 .

A. ? .

3 2

) ,则 f ( ) = 4 6 1 1 B. ? . C. . 2 2

π

π

D. .

3 2 1 ” 2

6. . 已知 i 为虚数单位, 为实数, a 复数 z = (1 ? 2i)(a + i) 在复平面内对应的点为 M , “ a > 则 是“点 M 在第四象限”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 7.已知 ?ABC 中, ∠A = 45° , AB = . A. 30° . 8.已知双曲线 . B. 60° . B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6 , BC = 2 ,则 ∠C =
D. 60° 或 120° .
开始

C.120° .

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 与抛物线 y 2 = 8 x 有一个公共的 a2 b2 焦点 F ,且两曲线的一个交点为 P ,若 PF = 5 ,则双曲线的离心率为
A. 2 . B. 2 2 . C. .

s = 0, n = 2, i = 1


5 +1 2

D. 6 .


1 1 1 1 9.右图给出的是计算 + + + ? ? ? + 的值的一个程序框图,判 2 4 6 20
断其中框内应填入的条件是 B. i < 10 A. i > 10 . . C. i > 20 . D. i < 20 .

s =s+

1 n

输出 s

n = n+2 i = i +1

结束

-1-

10. 已知 x > 0, y > 0 ,若 A. m ≥ 4 或 m ≤ ?2 . C. ?2 < m < 4 .

2 y 8x + > m 2 + 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 x y
B. m ≥ 2 或 m ≤ ?4 . D. ?4 < m < 2 .

二、填空题:本大共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) (一)必做题(11~13 题)
11. 某学校共有师生 4200 人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为 140 的样 本,已知从学生中抽取的人数为 130,那么该学校的教师人数是__________. 12. 已知直线 x + 2 y = 2 分别与 x 轴、 y 轴相交于 A, B 两点,若动点 P ( a, b) 在线段 AB 上, 则 ab 的最大值为__________. 13. 已知函数 f(x+1)是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不等实数 x1、x2,不等式

( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] < 0 恒成立,则不等式 f(1-x)<0 的解集为__________.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)
14. . (坐标系与参数方程)参数方程 ?

y = x 的最短距离为 AD = 2 , AC = 2 5 ,则 AB =

? x = 3 + 3 cos θ ( θ 为参数)表示的图形上的点到直线 ? y = ?3 + 3 sin θ C .
A D O B

15. . (几何证明选讲)如图,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D . .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
16. 本小题满分 12 分) . (本 ( 已知函数 f ( x ) =

3 1 sin π x + cos π x , x ∈ R . 2 2

(Ⅰ)求函数 f(x)的最大值和最小值; (Ⅱ)如图,函数 f(x)在[-1,1]上的图象与 x 轴的交点从左到右分别为 M、N,图象的最高

uuuu r

uuur
y 1 P

点为 P,求 PM 与 PN 的夹角的余弦.

-1 M O A N 1 x

-2-

17. 本小题满分 12 分) . (本 ( “石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏,其规则是:用三种不同 的手势分别表示石头、剪刀、布;两个玩家同时出示各自手势 1 次记为 1 次游戏, “石 头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,“布”胜“石头”;双方出示的手势相同时,不分胜负.现假 设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的. (Ⅰ)写出玩家甲、乙双方在 1 次游戏中出示手势的所有可能结果; (Ⅱ)求出在 1 次游戏中玩家甲不输于玩家乙的概率.

18. 本小题满分 14 分) . (本 ( 在数列{an}中,已知 a1=1,a2=3,an+2= 3an+1- 2an. (Ⅰ)证明数列{ an+1- an}是等比数列,并求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn= log 2 ( a n + 1) ,{bn}的前 n 项和为 Sn,求证

1 1 1 1 + + +L+ < 2. S1 S 2 S 3 Sn

19. 本小题满分 14 分) . (本 ( 如图,四边形 ABCD 与 A' ABB ' 都是边长为 a 的正方形,点 E 是 A' A 的中点,

A ' A ⊥平面 ABCD.
(Ⅰ)计算:多面体 A'B'BAC 的体积; (Ⅱ)求证: A' C
B'

A' E? A B C D

// 平面 BDE;

(Ⅲ) 求证:平面 A' AC ⊥平面 BDE.

-3-

20. 本小题满分 14 分) . (本 ( 椭圆

x2 y2 + = 1 (a > b > 0) 上任一点 P 到两个焦点的距离的和为 6, 焦距为 4 2 ,A, B a2 b2

分别是椭圆的左右顶点. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)若 P 与 A, B 均不重合,设直线 PA 与 PB 的斜率分别为 k1 , k 2 ,证明: k1 k 2 为定值; (Ⅲ)设 C ( x, y )(0 < x < a ) 为椭圆上一动点, D 为 C 关于 y 轴的对称点,四边形 ABCD

S 2 ( x) 的面积为 S ( x ) ,设 f ( x ) = ,求函数 f ( x ) 的最大值. x+3

21. 本小题满分 14 分) . (本 ( 已知函数 f ( x ) = (Ⅰ)求 f ′(x ) ; (Ⅱ)当 a =1 时,求 f (x ) 在 x ∈ ? , e? 上的最大值和最小值 (e ≈ 2.71828) ; e (Ⅲ)求证: ln

1? x + ln x ( a 为常数). ax

?1 ? ? ?

n 1 > . (n > 1 ,且 n ∈ N * ) n ?1 n

-4-

高三综合检测( 高三综合检测(五)数学(文科)试题 数学(文科) 参考答案和评分标准
题号 答案 11.300 . 1 C 12.3 . 2 B 3 B 13.(-∞,0) . 4 B 5 A 6 C 7 D 15.10 . 8 A 9 A 10 D

14. 3( 2 ? 1) .

16.解:解:(Ⅰ)∵ f ( x ) = . ∵ x∈R

3 1 π sin π x + cos π x = sin(π x + ) …………2 分 2 2 6

∴ ?1 ≤ sin(π x +

π
6

) ≤1,

∴函数 f ( x ) 的最大值和最小值分别为 1,—1.…………4 分 (Ⅱ)解法 1:令 f ( x ) = sin(π x + ∵ x ∈ [ ?1,1] 由 sin(π x + ∴x=?

π
6

) = 0 得π x +

π
6

= kπ , k ∈ Z ,

π

1 5 或x= 6 6

∴ M ( ? , 0), N ( , 0), …………6 分

1 6

5 6

6 uuuu r uuur 1 1 ∴ PM = ( ? , ?1), PN = ( , ?1), …………10 分 2 2 uuuu uuur r uuuu uuur r PM ? PN 3 r uuur = .…………12 分 ∴ cos < PM , PN >= uuuu | PM | ? | PN | 5
解法 2:过点 P 作 PA ⊥ x 轴于 A ,则 | PA |= 1, 由三角函数的性质知 | MN |=

) = 1 ,且 x ∈ [?1,1] 得 x =

1 3

∴ P ( ,1), …………8 分

1 3

1 T = 1, 2

…………6 分

1 5 | PM |=| PN |= 12 + ( ) 2 = ,…………8 分 2 2
由余弦定理得 cos < PM , PN >=

uuuu uuur r

| PM |2 + | PN |2 ? | MN |2 …………10 分 2 | PM | ? | PN |

5 × 2 ?1 3 =4 = .…………12 分 5 5 2× 4
解法 3:过点 P 作 PA ⊥ x 轴于 A ,则 | PA |= 1, 由三角函数的性质知 | MN |= 1 T = 1 ,…………6 分 2

-5-

1 5 | PM |=| PN |= 12 + ( ) 2 = …………8 分 2 2
在 Rt ?PAM 中, cos ∠MPA =

| PA | 1 2 5 = = …………10 分 | PM | 5 5 2
2

∵PA 平分 ∠MPN

∴ cos ∠MPN = cos 2∠MPA = 2 cos ∠MPA ? 1

= 2×(

2 5 2 3 ) ? 1 = .…………12 分 5 5

17.解: . (Ⅰ)玩家甲、乙双方在 1 次游戏中出示手势的所有可能结果是: (石头,石头) ; (石头,剪刀)(石头,布)(剪刀,石头)(剪刀,剪刀)(剪刀,布)(布,石头) ; ; ; ; ; ; (布,剪刀) (布,布) ; .…………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,基本事件共有 9 个,玩家甲不输于玩家乙的基本事件分别是: (石头, 石头) (石头,剪刀) (剪刀,剪刀) (剪刀,布) (布,石头) (布,布) ; ; ; ; ; ,共有 6 个.所以,在 1 次游戏中玩家甲不输于玩家乙的概率 P =

6 2 = .…………12 分 9 3

18.解:解:(Ⅰ)由 an+2= 3an+1- 2an 得 an+2- an+1= 2(an+1- an),a2-a1=2, . 所以,{ an+1- an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列. …………………3 分 an+1- an=2×2n 1=2n,………………………………………………………4 分 an=a1+(a2-a1)+ (a3-a2)+…+(an- an-1)=1+2+22+…+2n 1=
-

1 ? 2n n =2 -1;…7 分 1? 2

(Ⅱ)bn= log 2 ( a n + 1) =log22n=n,………………………………………………8 分 Sn=

n(n + 1) ,………………………………………………………………9 分 2

1 2 1 1 = = 2( ? ), S n n(n + 1) n n +1
所以

1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + +L+ = 2[(1 ? ) + ( ? ) + L + ( ? )] S1 S 2 S 3 Sn 2 2 3 n n +1
=2 (1 ?

1 ) <2. ………………………14 分 n +1

19.解: . (Ⅰ)多面体 A'B'BAC 是一个以 A'B'BA 为底,C 点为 顶点的四棱锥,由已知条件,知 BC⊥平面 A'B'BA,

A'

-6-

B' E? D

A

∴ VC ? A′B′BA

1 1 2 a3 = S A′B′BA ? BC = ? a ? a = ……4 分 3 3 3

(Ⅱ)设 AC 交 BD 于 M,连结 ME. Q ABCD 为正方形,所以 M 为 AC 中点,

又 QE 为 A' A 的中点∴ ME 为 ?A' AC 的中位线∴ ME // A' C ………………6 分 又 Q ME ? 平面BDE , A' C ? 平面BDE ∴ A'C // 平面 BDE. ………………9 分
(Ⅲ)Q ABCD为正方形

∴ BD ⊥ AC ………………………… 10 分
……………………12 分

Q A' A ⊥ 平面ABCD, BD ? 平面ABCD ∴ A' A ⊥ BD. 又AC I A' A = A ∴ BD ⊥ 平面A' AC. Q BD ? 平面BDE ∴ 平面A ' AC ⊥ 平面BDE.

…………………………………………14 分 ----------------1 分

20.解: . (Ⅰ)由题意得, 2a = 6 ,∴ a = 3 , 又 2c = 4 2 ,∴ c = 2 2 , b = a ? c = 1 ,故椭圆的方程为
2 2 2

x2 + y 2 = 1 ; -------------3 分 9

(Ⅱ)设 P ( x0 , y0 ) ( y0 ≠ 0) , A( ?3, 0) , B (3, 0) ,则 则 k1 =

2 x0 x2 2 2 + y0 = 1 ,即 y0 = 1 ? 0 , 9 9

y0 y0 , k2 = , x0 + 3 x0 ? 3
2 0

--------------------4 分

2 x0 1 2 (9 ? x0 ) y 1 9 =9 即 k1 ? k2 = 2 = 2 =? , 2 x0 ? 9 x0 ? 9 x0 ? 9 9

1?

∴ k1 k 2 为定值 ?

1 .----------------8 分 9
2

(Ⅲ)由题意可知,四边形 ABCD 是梯形,则 S ( x ) = 1 (6 + 2 x) ? y ,且 y 2 = 1 ? x ,-----9 分 9 2 于是 f ( x) =

S 2 ( x) = x+3

( x + 3) 2 (1 ?

x2 ) 2 3 2 9 = ( x + 3)(1 ? x ) = ? x ? x + x + 3(0 < x < 3) --------10 分 x+3 9 9 3
----------11 分

f ′( x) = ?

x2 2 ? x + 1 ,令 f ′( x) = 0 ,解之得 x1 = 1, 或 x = ?3 (舍去) 3 3

当 0 < x < 1 , f ′( x ) > 0 ,函数 f ( x ) 单调递增; 当 1 < x < 3 , f ′( x ) < 0 ,函数 f ( x ) 单调递减; 所以 f ( x ) 在 x = 1 时取得极大值,也是最大值

-----------------12 分 ---------------------13 分 -----------------14 分

32 . 9

21.解:(Ⅰ) f ′( x) = .

ax ? 1 .…………………………………………………2 分 ax 2

-7-

(Ⅱ)当 a = 1 时, f ′( x ) =

x ?1 ?1 ? ,其中 x ∈ ? , e ? , 2 x ?e ?

而 x ∈ ? ,1? 时, f ′( x ) < 0 ; x ∈ (1, e] 时, f ′( x ) > 0 ,

?1 ? ?e ?

∴ x = 1 是 f (x ) 在 ? , e? 上唯一的极小值点, ………………………………4 分 e

?1 ? ? ?



[ f ( x)]min
?1? ?e?

= f (1) = 0 .

…………………………………………………5 分

又 f ? ? ? f ( e) = e ? 2 ?

e ( e ? 2) ? 1 1? e ?1 = > 0 , ………………………6 分 e e
?1? ?e?

∴ f ? ? > f (e) , ∴ [ f ( x)]max = f ? ? = e ? 2 .……………………………7 分 综上,当 a = 1 时,

?1? ?e?

?1 ? f (x) 在 ? , e? 上的最大值和最小值分别为 e ? 2 和 0. ………………………8 分 ?e ?
(Ⅲ)若 a = 1 时,由(2)知

1? x + ln x 在 [1,+∞ ) 上为增函数,……………………………………10 分 x n 当 n > 1 时,令 x = ,则 x > 1 ,故 f ( x) > f (1) = 0 ,……………………12 分 n ?1 n 1? ? n ? n ? 1 + ln n = ? 1 + ln n > 0 , 即 f? ?= n n ?1 n n ?1 ? n ?1? n ?1 f ( x) = ∴ ln

n 1 > . ………………………………………………………………14 分 n ?1 n

-8-


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