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广东高考文科数学基础知识归纳

2011 年广东高考高中数学基础知识归纳(文科)
高考解题策略: 通览全卷,稳定情绪 主客观题,区别对待 认真审题,开拓思路 格式工整,条理清晰 选择题灵活做 填空题仔细做 中档题认真做,高档题分步做 第一部分 整数集:Z 集合 实数集:R

1. 自然数集:N

有理数集:Q

2 . ? 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 3.集合 {a1 , a2 , 非空子集有 2
n

, an } 的子集个数共有 2n 个;真子集有 2n –1 个;
n

–1 个;非空真子集有 2 –2 个. 第二部分 函数与导数 1.映射:注意: ①第一个集合中的元素必须有象;②一对一或多对一. 2.函数值域的求法(即求最大(小)值):①利用函数单调性 ;②导数法 ③利用均值不等式

ab ?

a?b a2 ? b2 ? 2 2

3.函数的定义域求法: ① 偶次方根,被开方数 ? 0 ②分式,分母 ? 0 ③对数,真数 ? 0 ,底数 ? 0 且 ? 1 ④0 次方,底数 ? 0 ⑤实际问题根据题目求 复合函数的定义域求法: ① 若 f(x)的定义域为 [a, b] ,则复合函数 f[g(x)]的定义域由不等式 a ≤ g(x) ≤ b 解出 ② 若 f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于 x∈[a,b]时,求 g(x)的 值域. 4.分段函数:值域(最值) 、单调性、图象等问题,先分段解决,再综合各段情况下结 论。 5.函数的奇偶性: ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 .... ⑵ f ( x) 是奇函数 ? f (? x) ? ? f ( x) ? 图象关于原点对称;

f ( x) 是偶函数 ? f (? x) ? f ( x) ? 图象关于 y 轴对称.
⑶奇函数 f ( x) 在 0 处有定义,则 f (0) ? 0 ⑷在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性 6.函数的单调性: ⑴单调性的定义: ① f ( x) 在区间 M 上是增函数 ? ?x1 , x2 ? M , 当 x1 ? x 2 时有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ② f ( x) 在区间 M 上是减函数 ? ?x1 , x2 ? M , 当 x1 ? x 2 时有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; (记忆方法:同不等号为增,不同为减,即同增异减) ⑵单调性的判定: ①定义法: 一般要将式子 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 化为几个因式作积或作商的形式,
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以利于判断符号 (五步:设元,作差,变形,定号,单调性);②导数法(三步:求导,解不等式

f ?( x) ? 0, f ? ( x ) ? 0, 单调性)
7.函数的周期性: (1)周期性的定义: 对定义域内的任意 x , 若有 f ( x ? T ) ? f ( x) (其中 T 为非零常数) , 则称函数 f ( x) 为周期函数, T 为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的 最小正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期。 (2)三角函数的最小正周期:① y ? sin x : T ? 2? ;② y ? cos x : T ? 2? ; ③ y ? tan x : T ? ? ;④ y ? A sin(?x ? ? ), y ? A cos(?x ? ? ) : T ?

2? ; |? |

⑤ y ? tan?x : T ? (3)与周期有关的结论:

? |? |

f ( x ? a) ? f ( x ? a) 或 f ( x ? 2a) ? f ( x)(a ? 0) ? f ( x) 的周期为 2a
8.指数与指数函数 (1) 指数式有关公式: ①a
m n

? a ;② a
n m

?

m n

?

1 a
m n

(以上 a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).

③ a ??
n n

? a, n为奇数 ?| a |, n为偶数

④ ( n a )n ? a

(2)指数函数
x 指数函数: y ? a , a ? 1 在定义域内是单调递增函数; 0 ? a ? 1 在定义域内是单调递

减函数。注: 以上两种函数图象都恒过点(0,1) 9.对数与对数函数 ⑴对数: ① a ? N ? loga N ? b ;
b

② loga ?MN ? ? loga M ? loga N ;

③ log a

M n ? log a M ? log a N ; ④ log am b n ? log a b . N m

⑤对数的换底公式: log a N ? (2)对数函数:

log m N log N .⑥对数恒等式: a a ? N . log m a

②对数函数: y ? log a x , a ? 1 在定义域内是单调递增函数; 0 ? a ? 1 在定义域内 是单调递减函数;注: 以上两种函数图象都恒过点(1,0)
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③反函数: y ? a x 与 y ? log a x 互为反函数。互为反函数的两个函数的图象关于

y ? x 对称.
10.二次函数: ⑴解析式:①一般式: f ( x) ? ax2 ? bx ? c ;②顶点式: f ( x) ? a( x ? h) 2 ? k , ( h, k ) 为 顶点;③零点式: f ( x) ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) (a≠0). (2) 二 次 函 数 y ? ax2 ? bx ? c 的 图 象 的 对 称 轴 方 程 是 x ? ?

b ,顶点坐标是 2a

? b 4ac ? b 2 ? ? ? ? 2a , 4a ? ?。 ? ?
(3)二次函数问题解决需考虑的因素: ①开口方向;②对称轴;③判别式;④与坐标轴交点;⑤端点值;⑥两根符号。 11.函数图象: ⑴图象作法 :①描点法 (特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法 ③导数法 ⑵图象变换: ① 平移变换:ⅰ) y ? f ( x) ? y ? f ( x ? a) , (a ? 0) ———左“+”右“-”; ⅱ) y ? f ( x) ? y ? f ( x) ? k , (k ? 0) ———上“+”下“-”; ② 对称变换:

?? y ? ? f (? x) ;ⅱ) y ? f ( x) ⅰ) y ? f ( x) ??
( 0, 0 )

x轴 ?? ? y ? ? f ( x) ;

ⅲ) y ? f ( x)

y?x y轴 ??? y ? f (? x) ;ⅳ) y ? f ( x) ??? x ? f ( y ) ;

③ 翻折变换: ⅰ) y ? f ( x) ? y ? f (| x |) ———(去左翻右)y 轴右不动,右向左翻( f ( x) 在 y 左侧图 象去掉) ; ⅱ) y ? f ( x) ? y ?| f ( x) | ———(留上翻下)x 轴上不动,下向上翻(| f ( x) |在 x 下面 无图象) ; 12.函数零点的求法: ⑴直接法(求 f ( x) ? 0 的根) ;⑵图象法;⑶二分法. (4)零点定理:若 y=f(x)在[a,b]上满足 f(a)·f(b)<0 , 则 y=f(x)在(a,b)内至少有 一个零点。 12.导数: ⑴导数定义:f(x)在点 x0 处的导数记作 y ?
x ? x0

? f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

' n ' n?1 ' 2 ' ⑵常见函数的导数公式: ① C ? 0 ;② ( x ) ? nx ; ( x) ? 1 ; ( x ) ? 2 x ;

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1 1 ( )' ? ? 2 ' ' ( x3 ) ' ? 3 x 2 ; x x ;③ (sin x) ? cos x ;④ (cosx) ? ? sin x ; 1 1 ' ' ⑤ (a x ) ' ? a x ln a ;⑥ (e x ) ' ? e x ;⑦ (log a x ) ? ;⑧ (ln x ) ? 。 x ln a x
u u ?v ? uv ? ⑶导数的四则运算法则: (u ? v)? ? u ? ? v ?; (uv )? ? u ?v ? uv ?; ( )? ? ; v v2 (4)导数的应用: ①利用导数求切线:注意:ⅰ)所给点是切点吗?ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点 的切线? ②利用导数判断函数单调性:i) f ?( x) ? 0 ? f ( x) 是增函数; ii) f ?( x) ? 0 ? f ( x) 为减函数;iii) f ?( x) ? 0 ? f ( x) 为常数;
③利用导数求极值:ⅰ)求导数 f ?( x) ;ⅱ)求方程 f ?( x) ? 0 的根; ⅲ)列表得极值。 ④利用导数求最大值与最小值:ⅰ)求极值;ⅱ)求区间端点值(如果有) ;ⅲ)比较 得最值。 第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形 1. ⑴角度制与弧度制的互化:

? 弧度 ? 180? , 1? ?

?
180

弧度, 1 弧度 ? (

180

?

) ? ? 57?18'

⑵弧长公式: l ? ?R ;扇形面积公式: S ?

1 1 lR ? ?R 2 。 2 2

2.三角函数定义:角 ? 终边上任一点(非原点)P ( x, y ) ,设 | OP |? r 则:
sin ? ? y x y , cos ? ? , tan ? ? r r x

3.三角函数符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦; (简记为“全 s t c” ) 4.诱导公式: k ? ?? k? ? ? (k ? Z ) , 2 ( k 为奇数) 记忆规律:“分变整不变,符号看象限” 如 cos ?

?? ? ? ? ? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? ? ? cos? . ?2 ?
sin x ? tan x cos x

5. 同角三角函数的基本关系: sin 2 x ? cos 2 x ? 1; 6. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式: ① sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? . 1 tan ? tan ?
② a sin ? ? b cos ? = a 2 ? b2 sin(? ? ? ) (其中,辅助角 ? 所在象限由点 ( a, b) 所在的 象限决定, tan ? ?

b ). a
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特别: sin ? ? cos ? ?

2 sin(? ? ) 4

?

3 sin ? ? cos ? ? 2sin(? ? ) 6
7 二倍角公式: ① sin 2? ? 2 sin ? cos ? .

?

(sin ? ? cos ? )2 ? 1 ? 2sin ? cos ? ? 1 ? sin 2?
② cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2cos ? ? 1 ? 1 ? 2sin ? (升幂公式).
2 2 2 2

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? ,sin 2 ? ? (降幂公式). 2 2 2 tan ? ③ tan 2? ? 1 ? tan 2 ? cos 2 ? ?
8.三角函数: 函 数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象 作图:五点法
定义域 值域

作图:五点法 (-∞,+∞) [-1,1] 当 x=2kπ ,ymax=1; 当 x=2kπ +π ,ymin=-1 偶函数

作图:三点二线

(-∞,+∞) [-1,1] 当x= 2kπ + ,ymax=1;

{x | x ? k? ?
无最值

?
2

, k ? Z}

( - ∞ , + ∞ )

?

最值

2

当x = 2 k π+ ? ymin=-1 极大 奇偶性 T 奇函数 2π

? 2

奇函数 2π π

单调性

,2k? ? ] 递增 2 2 ? 3? [2k? ? ,2k? ? ] 递减 2 2

[2k? ?

?

?

[2k? ? ? , 2k? ] 递增 [2k? , 2k? ? ? ] 递减

(k? ?

?

, k? ? ) 递增 2 2

?

对称轴

x ? k? ?

?
2

(k ? Z )

x ? k? (k ? Z )

没有对称轴

对称中心

? k? ,0? (k ? Z )

? ? ? ? k? ? , 0 ? (k ? Z ) 2 ? ?

? k? ? ,0 ? ? ? 2 ?

?k ? Z ?

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9 常用角的三角函数

?
sin ?

0

? 6
1 2

? 4
2 2

? 3
3 2
1 2

? 2
1

?
0

3? 2
?1

0

cos ?

1

3 2
3 3

2 2
1

0

?1

0

tg ?

0

3

不存在

0

不存在

10 正弦型函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0) 的性质及研究思路: ① 最小正周期 T ?

2?

?

,值域为 [? A, A] .

② 五点法图:把“ ? x ? ? ”看成一个整体,取 ? x ? ? ? 0,

?
2

,? ,

相应的函数值为 0, A,0, ? A,0 ,描出五个关键点,得到一个周期内的图象.

3? ,2? 时的五个自变量值, 2
? ?????? ? ??????
1 横坐标变为 倍 1 横坐标变为 倍

左移? 个单位 ? y ? sin( x ? ? ) ③ 三 角 函 数 图 象 变 换 路 线 : y ? sin x ????? 纵坐标变为A倍 y ? sin(? x ? ? ) ????? ? y ? A sin(? x ? ? ) .

或 : y ? sin x

? 纵坐标变为A倍 ? y ? A sin(? x ? ? ) . ) ????? ? ④ 单调性: y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0) 的增区间,把“ ? x ? ? ”代入到 y ? sin x 增区 ? ? ? ? 间 [? ? 2k? , ? 2k? ] (k ? Z ) ,即求解 ? ? 2k? ? ? x ? ? ? ? 2k? (k ? Z ) .
? y ? sin ?( x ? y ? sin ? x ?????
左移 个单位

? ?

⑤求闭区间 [a, b] 上的最值: 由 x 的取值范围 [a, b] 求出 ? x ? ? 的取值范围,然后看 y ? sin x 在 ? x ? ? 的取值范围上的最值分别是什么,此最值即为

2

2

2

2

y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0) 在闭区间 [a, b] 上的最值
⑥对称轴:令 ? x ? ? ? k? ?

?
2

,得 x ? ? ;

对称中心:由 ? x ? ? ? k? 得 ( ⑦求解析式 第一步:由最大(小)值求 A 第二步:由最小正周期 T ?

k? ? ? ,0)( k ? Z ) ; ?

2?

第三步:确定 ? .方法:代入法或者五点法. ⑧整体思想:把“ ? x ? ? ”看成一个整体,代入 y ? sin x 与 y ? tan x 的性质中进行求 解. 这种整体思想的运用,主要体现在求单调区间时,或取最大值与最小值时的自变量 取值. 11.正、余弦定理:

?

求?

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⑴正弦定理:

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C
2 2 2

( 2 R 是 ?ABC 外接圆直径 )

b2 ? c2 ? a2 ⑵余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A ; cos A ? 。 2bc
11.三角形面积公式:① S ?

1 1 aha ( ha 表示 a 边上的高);② S ? ab sin C . 2 2

第四部分 立体几何 1.三视图与直观图:⑴三视图:正视图与俯视图长对正;正视图与侧视图高平齐;侧视图 与俯视图宽相等。 ⑵斜二测画法画水平放置几何体的直观图。 2.表(侧)面积与体积公式: ⑴柱体:①表面积:S=S 侧+2S 底;②圆柱侧面积:S 侧= 2?rh ;③体积:V=S 底 h ⑵锥体:①表面积:S=S 侧+S 底;②圆锥侧面积:S 侧= ?rl ;③体积:V=

1 S 底 h: 3

⑶台体:①表面积:S=S 侧+ S 上底 ? S 下底;②圆台侧面积:S 侧= ? (r ? r ' )l ;

1 (S+ SS ' ? S ' )h; 3 4 3 2 ⑷球体:①表面积:S= 4?R ;②体积:V= ?R 3
③体积:V=

.

3.空间中的位置关系 直线与直线的位置关系:平行、相交、异面 直线与平面的位置关系:平行、相交、在平面内 平面与平面的位置关系:平行、相交 4.几个公理 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理 2. 经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面. 推论:推论 1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论 2 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 公理 3 如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线 公理 4 平行于同一直线的两直线平行。 5.空间中平行关系 (1)线线平行: ①三角形的中位线②平行四边形的对边③梯形的平行对边④公理 4:平行于同一条直线的 两条直线平行。⑤线面平行的性质定理:直线与平面平行,过直线的平面与此平面的交线与 该直线平行。 找平行线的时候,常作辅助线的方法:构造三角形的中位线或平行四边形的对边,在证线 面平行、面面平行时经常用到。 (2)线面平行 证明方法:①判定定理:证明直线和这个平面内的一条直线相互平行;②证明面面平行,得
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到线面平行。 (找一个过直线的平面与要证与直线平行的平面平行)③证明这条直线的方向 量和这个平面内的一个向量相互平行; 。④证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互 垂直 (3)面面平行 ①判定定理: 证明一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行; ②垂直于同一条直线的两 平面平行。③证明这个平面的法向量平行。 6.空间中的垂直关系 (1)线线垂直: ①三角形的三边满足勾股定理②证明两条异面直线所成角为 90?,平移(辅助线的方法:构 造三角形的中位线或平行四边形的对边)构造三角形,由勾股定理证;③证明线面垂直,得 到线线垂直④证明两条异面直线的方向量相互垂直。 (2)线面垂直 证明方法:①判定定理:证明直线和平面内两条相交直线都垂直,②面面垂直性质定理:面 面垂直, 一个平面内垂直于交线的直线也垂直于另一个平面。 ③证明直线的方向量与这个平 面内不共线的两个向量都垂直;④证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。 (3)面面垂直 证明方法:①证明这两个平面所成二面角的平面角为 90?;②判定定理:证明一个平面 内的一条直线垂直于另外一个平面;③证明两个平面的法向量相互垂直。 7.求角: (一般步骤-------Ⅰ.找或作角;Ⅱ.求角)

(1)两条异面直线所成的角
求法:①先通过其中一条直线或者两条直线的平移,找出这两条异面直线所成的角,然后通 过解三角形去求得; ②通过两条异面直线的方向量所成的角来求得, 但是注意到异面直线所 成角得范围是 (0, 的锐角。 (2)直线和平面所成的角 求法:①“一找二证三求” ,三步都必须要清楚地写出来。②向量法,先求直线的方向量于 平面的法向量所成的角 ? ,那么所要求的角为 (3)平面与平面所成的角 求法:①“一找二证三求” ,找出这个二面角的平面角,然后再来证明我们找出来的这 个角是我们要求的二面角的平面角,最后就通过解三角形来求。②向量法,先求两个平 面的法向量所成的角为 ? ,那么这两个平面所成的二面角的平面角为 ? 或 ? ?? 。 8. 求距离: (一般步骤-------Ⅰ.找或作垂线段;Ⅱ.求距离) 求距离的重点在点到平面的距离, 直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点
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?
2

] ,向量所成的角范围是 [0, ? ] ,如果求出的是钝角,要注意转化成相应

?
2

? ? 或? ?

?
2



到平面的距离, 一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离 (平行于平 面的直线上的两个点到平面的距离相等, 与平面相交的直线上与线面交点距离相等的两个点 到平面的距离相等) 。 (1)两条异面直线的距离 求法:①找出(或作出)公垂线,计算公垂线段的长度。②转化为求线面间的距离。 ③转化为求平行平面间的距离。④向量方法:先求两异面直线的公共法向量,再求两 异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长。 (2)点到平面的距离 求法:①“一找二证三求” ,三步都必须要清楚地写出来。②等体积法。③向量法。 第五部分 1.斜率公式: k ? tan ? ? 2.直线方程的五种形式: 直线与圆

y2 ? y1 ,其中 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) . x2 ? x1

k (1)点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 ).
(2)斜截式: y ? kx ? b ( b 为直线 l 在 y 轴上的截距). (3)两点式: (4)截距式:

y ? y1 x ? x1 (P ? 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) x1 ? x2 , y1 ? y2 ). y2 ? y1 x2 ? x1

x y ? ? 1 (其中 a 、b 分别为直线在 x 轴、 y 轴上的截距,且 a ? 0, b ? 0 ). a b (5)一般式: Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).
3.两条直线的位置关系: (1)若 l1 : y ? k1x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ,则: ① l1 ∥ l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . (2)若 l1 : A 1x ? B 1y ?C 1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,则: ① l1 // l 2 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0 且 A1C2 ? A2 C1 ? 0 ; ② l1 ? l2 ? A . 1 A2 ? B 1B2 ? 0 (2)与 l : Ax ? By ? C ? 0 平行的直线方程可设为 Ax ? By ? C1 ? 0 ,垂直的直线方程可设 为 Bx ? Ay ? C1 ? 0 . 5.求解线性规划问题的步骤是: (1)列约束条件; (2)作可行域,写目标函数; (3)确定目标函数的最优解。 一般情况下最优解在可行域的顶点处取. 6.三个公式:

PP ? ⑴点 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) 的距离 1 2

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2
A2 ? B 2

⑵点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离: d ? Ax 0 ? By 0 ? C ;

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⑶两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离 d ? 7.圆的方程:

C1 ? C 2 A2 ? B 2

⑴标准方程:① ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ;圆心坐标是 ? a,b ? ,半径是 r ⑵一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4F ? 0)

D E? D 2 ? E 2 ? 4F 圆心坐标是 ? ? ? ,半径是 r ? ?? , 2 2? ? 2
注:Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F=0 表示圆 ? A=C≠0 且 B=0 且 D +E -4AF>0 8.圆的方程的求法:⑴待定系数法;⑵几何法。 9.点、直线与圆的位置关系: (主要掌握几何法) ⑴点与圆的位置关系: ( d 表示点到圆心的距离) ① d ? R ? 点在圆上;② d ? R ? 点在圆内;③ d ? R ? 点在圆外。 ⑵直线与圆的位置关系: ( d 表示圆心到直线的距离) ① d ? R ? 相切;② d ? R ? 相交;③ d ? R ? 相离。
2 2 2 2

⑶圆与圆的位置关系: ( d 表示圆心距, R, r 表示两圆半径,且 R ? r ) ① d ? R ? r ? 相离;② d ? R ? r ? 外切;③ R ? r ? d ? R ? r ? 相交; ④ d ? R ? r ? 内切;⑤ 0 ? d ? R ? r ? 内含。 第六部分 圆锥曲线 1. ⑴椭圆:①定义: | MF1 | ? | MF2 |? 2a, (2a ?| F1 F2 |) ; ②椭圆标准方程:

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ? 1 (a ? b ? 0) 。 和 a2 b2 a2 b2

③椭圆

c x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的焦点坐标是 (?c, 0) ,离心率是 e ? , 其中 2 a a b

c2 ? a2 ? b2 。
⑵双曲线:①定义: || MF1 | ? | MF2 ||? 2a, (2a ?| F1 F2 |) ; ②双曲线标准方程:

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ? 1 (a ? 0,b ? 0) 。 和 a2 b2 a2 b2

③双曲线

c x2 y2 ? 2 ? 1 的焦点坐标是 (?c, 0) ,离心率是 e ? 渐近线方程是 2 a a b

x y ? ? 0 。其中 c 2 ? a 2 ? b 2 。 a b
⑶抛物线:①定义:|MF|=d ②抛物线标准方程: y ? 2 px,y ? ?2 px, x ? 2 py,x ? ?2 py
2 2
2 2

第 10 页

③抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点坐标是: ?

p ?p ? , 0 ? ,准线方程是: x ? ? 。 2 ?2 ? p 2

抛物线上点 P( x0 , y0 ) 到抛物线的焦点的距离是: x 0 ?

2. 有用的结论 :⑴若直线 y ? kx ? b 与圆锥曲线交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长 为 : AB ?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? x1 ? x2 1 ? k 2

? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ? y1 ? y2 1 ?

1 1 ? (1 ? 2 )( y1 ? y2 )2 2 k k

⑵过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为: mx2 ? ny2 ? 1 ( m, n 同时大于 0 时表示 椭圆; mn ? 0 时表示双曲线) ; ⑶共渐进线
2 2 x y ? ? 0 ,的双曲线标准方程可设为 x ? y ? ? (? 为参数, ? ≠ 0) ; 2 2 a b a b

第七部分 1.平面上两点间的距离公式: d A, B ?

平面向量

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ,其中 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) .

2.向量的平行与垂直: 设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0 ,则: ① a ∥ b ? b =λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 ; ② a ? b ( a ? 0 ) ? a · b =0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 3. a · b =| a || b |cos< a , b >= x 1 x2+y1y2; 4.cos< a , b >=

a ?b | a || b |



5. 平面向量的坐标运算:设 a = ( x1 , y1 ) , a = ( x2 , y2 ) , ① a + b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) .② a - b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . ③ ? a = (? x, ? y ) . 6.设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) . 第八部分 1. 等差数列: ①定义: an ?1 ? an ? d (d为常数) ②通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d 或 an ? ak ? (n ? k )d ③前 n 项和: S n ? 数列

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

④性质:若 m+n=p+q ,则有 am ? an ? ap ? aq 注:若 2m =p+q,则有 2 am ? an ? a p

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⑤等差中项 A ? 2.等比数列: ①定义:

a?b 2

an ?1 ? q(q为常数,q ? 0) an

②通项公式: an ? a1 qn?1 或 an ? ak ? q n?k

? na1 ? ③前 n 项和: S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q ?

(q ? 1) (q ? 1)

④性质:若 m+n=p+q ,则有 am ? an ? a p ? aq ; 注:2m =p+q,则有 am2 ? an ? a p ⑤等比中项 G ? ab ( G ? ? ab )
2

3.常见数列通项的求法: ①定义法(等差,等比数列) ;②公式法: an ? ?

? S1 ?Sn ? Sn?1

(n ? 1) (n ? 2)

③累加法( an ?1 ? an ? cn 型) ;④累乘法(

an?1 ; ? cn 型) an

4.前 n 项和的求法:⑴公式法⑵分组求和法;⑶错位相减法;⑷裂项相消法。 5.等差数列前 n 项和最值的求法:

?a ? 0 ? ?a ? 0 ? ? 或S n 最小值? n ? ;⑵利用二次函数的图象与性质 ⑴ S n 最大值 ? n ? ? ?a n ?1 ? 0? ?a n ?1 ? 0 ?
第九部分 不等式

2 2 1.均值不等式: ab ? a ? b ? a ? b (a, b ? 0) 2 2

注意:①一正二定三相等;②变形: ab ? ( 2.极值定理:已知 x, y 都是正数,则有:

a ? b 2 a2 ? b2 ) ? ( a, b ? R ) 。 2 2

(1)如果积 xy 是定值 p ,那么当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; (2)如果和 x ? y 是定值 s ,那么当 x ? y 时积 xy 有最大值

1 2 s . 4
如 : 当

2 3.解一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) :若 a ? 0 ,且解集不是全集或空集时,对应的























”.

?x ? x1 ??x ? x2 ? ? 0 ? x ? x2或x ? x1 (大两边) ?x ? x1 ??x ? x2 ? ? 0 ? x1 ? x ? x2 ;(小中间).
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x1 ? x 2



,

4.绝对值的不等式:当 a ? 0 时,有:① x ? a ? ?a ? x ? a ; ② x ?a?x?a或 5.分式不等式: (1) (3)

x ? ?a .

f ?x ? ? 0 ? f ?x ? ? g ?x ? ? 0 ; g ?x ?

(2)

? f ?x ? ? g ?x ? ? 0 ? f ?x ? ? g ?x ? ? 0 f ?x ? f ?x ? ; (4) . ?0?? ?0?? g ?x ? g ?x ? ? g ?x ? ? 0 ? g ?x ? ? 0

f ?x ? ? 0 ? f ?x ? ? g ?x ? ? 0 ; g ?x ?

6.指数不等式与对数不等式(把常数先化成指数(对数) ) (1)当 a ? 1 时, a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) ;

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ?
(2)当 0 ? a ? 1 时, a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) ;

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?
第十部分 复数 1.概念: 2 ⑴z=a+bi 是实数 ? b=0 (a,b∈R) ( ? z= z ? z ≥ 0; ) ⑵z=a+bi 是虚数 ? b≠ 0(a,b∈R); 2 ⑶z=a+bi 是纯虚数 ? a=0 且 b≠ 0(a,b∈R)( ? z+ z =0(z≠ 0) ? z <0; ) ⑷a+bi=c+di ? a=c 且 c=d(a,b,c,d∈R); 2.复数的代数形式及运算:设 z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R),则: (1) z 1± z2 = (a±c) + (b ±d)i; ⑵ z1.z2 = (a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i; ⑶

z1 (a ? bi ) (a ? bi)(c ? di) ? bd bc ? ad (z ≠ 0) ; ? ? ac = 2 ? i 2 z 2 (c ? di ) (c ? di)(c ? di) c ? d 2 c2 ? d 2

3.几个重要的结论:
2 2 (1) z ? z ? z ? z ;⑵ (1 ? i) 2 ? ?2i ;⑶ 1 ? i ? i; 1 ? i ? ?i;

1? i

1? i

⑸ i 性质:T=4; i

4n

? 1, i 4n?1 ? i, i 4n?2 ? ?1, i 4n?3 ? ?i ;

i 4n ? i 4n?1 ? i 4?2 ? i 4n?3 ? 0;
第十一部分 概率 1.事件的关系: ⑴事件 B 包含事件 A:事件 A 发生,事件 B 一定发生,记作 A ? B ; ⑵事件 A 与事件 B 相等:若 A ? B, B ? A ,则事件 A 与 B 相等,记作 A=B; ⑶并 (和) 事件: 某事件发生, 当且仅当事件 A 发生或 B 发生, 记作 A ? B(或 A ? B ) ;
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⑷并 (积) 事件: 某事件发生, 当且仅当事件 A 发生且 B 发生, 记作 A ? B(或 AB ) ; ⑸事件 A 与事件 B 互斥:若 A ? B 为不可能事件( A ? B ? ? ) ,则事件 A 与互斥; ⑹对立事件: A ? B 为不可能事件, A ? B 为必然事件,则 A 与 B 互为对立事件。 2.概率公式: ⑴互斥事件(有一个发生)概率公式:P(A+B)=P(A)+P(B); ⑵对立事件:P(A)=1-P(B) ⑶;古典概型: P( A) ?

A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 构成事件A的区域长度(面积或体 积等) 试验的全部结果构成的 区域长度(面积或体积 等)
第十二部分 统计与统计案例

(4)几何概型: P( A) ?

1.抽样方法: ⑴简单随机抽样:一般地,设一个总体的个数为 N,通过逐个不放回的方法从中抽取一个容 量为 n 的样本,且每个个体被抽到的机会相等,就称这种抽样为简单随机抽样。 注:①每个个体被抽到的概率为

n ; N

②常用的简单随机抽样方法有:抽签法;随机数表法。 ⑵系统抽样: 当总体个数较多时, 可将总体均衡的分成几个部分, 然后按照预先制定的规则, 从每一个部分抽取一个个体,得到所需样本,这种抽样方法叫系统抽样。 注:步骤:①编号;②分段;③在第一段采用简单随机抽样方法确定起始的个体编号;④ 按预先制定的规则抽取样本。 ⑶分层抽样: 当已知总体有差异比较明显的几部分组成时, 为使样本更充分的反映总体的情 况,将总体分成几部分,然后按照各部分占总体的比例进行抽样,这种抽样叫分层抽样。 注:每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数 ?

n N

注:以上三种抽样的共同特点是:在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等 2.频率分布直方图与茎叶图:⑴用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率 分布直方图。⑵当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数 字,两边的数字表示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边像植 物茎上长出来的叶子,这种表示数据的图叫做茎叶图。 3.总体特征数的估计: ⑴样本平均数 x ? 1 ( x1 ? x 2 ? ? ? ? ? x n ) ? 1 ? xi ;
n n
i ?1
n ⑵样本方差 S 2 ? 1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] ? 1 ? ( x ? x )2 ; i

n

n

n

i ?1

n ⑶样本标准差 S ? 1 [(x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? ? ? ? ? ( xn ? x )2 ] = 1 ? ( xi ? x ) 2

n

n

i ?1

3.回归直线方程

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n ? ? xi ? x ?? yi ? y ? ? ? i ?1 ?b ? ? n 2 y ? a ? bx ,其中 ? ? xi ? x ? ? ? i ?1 ? ?a ? y ? bx

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2

i

? nx 2

第十四部分 常用逻辑用语与推理证明 1.充要条件的判断: (1)定义法----正、反方向推理 注意区分: “甲是乙的充分条件(甲 ? 乙) ”与“甲的充分条件是乙(乙 ? 甲) ” (2)利用集合间的包含关系:例如:若 A ? B ,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要 条件;若 A=B,则 A 是 B 的充要条件。 2.逻辑联结词: ⑴且(and) :命题形式 p ? q; p ⑵或(or) : 命题形式 p ? q; 真 ⑶非(not) :命题形式 ? p . 真 假 假 3.四种命题的相互关系 原命题 若p则q 互 互 否 否 否命题 若非p则非q 互逆 为 逆 为 逆 否 逆否命题 若非q则非p 互逆 互 互 否 逆命题 若q则p

q 真 假 真 假

p?q p?q 真 真 假 真 假 真 假 假

?p
假 假 真 真

4。四种命题: ⑴原命题:若 p 则 q; ⑵逆命题:若 q 则 p; ⑶否命题:若 ? p 则 ? q; ⑷逆否命题:若 ? q 则 ? p 注:原命题与逆否命题等价;逆命题与否命题等价。 5.全称量词与存在量词 ⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等,用 ? 表示; 全称命题 p: ?x ? M , p( x) ;全称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) 。 ⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等,用 ? 表示; 特称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 特称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) ; 6.常见结论的否定形式 原结论 是 都是 大于 小于

反设词 不是 不都是 不大于 不小于

原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个
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反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( n ? 1 )个 至少有( n ? 1 )个

对所有 x , 成立 对任何 x , 不成立

存在某 x , 不成立 存在某 x , 成立

p 或q p 且q

?p 且 ?q ?p 或 ?q

第十五部分 坐标系与参数方程 1.极坐标与直角坐标的互化: x ? ? cos ? , y ? ? sin ? , ? 2 ? x2 ? y 2 , tan ? ? 2.极坐标方程问题一般转化为直角坐标方程问题处理 参数方程的问题一般转化为普通方程问题处理. 以下内容了解就行. 3。圆的极坐标方程: 以极点为圆心,r 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? r ;

y , x

?; 以 C(a ,0) (a>0)为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2acos
以 C( a ,

?
2

) (a>0)为圆心,a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2asin? ;

4.在极坐标系中, ? ? ? ( ? ? 0) 表示以极点为起点的一条射线;

? ? ? ( ? ? R ) 表示过极点的一条直线.
过点 A(a,0)(a ? 0) ,且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是 ?cos? ? a . 5.圆 (x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的参数方程可表示为 ?

?x ? a ? rcos? , (?为参数) . y ? b ? rsin ? . ? 2 2 ?x ? acos? , x y 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的参数方程可表示为 ? (?为参数) . y ? bsin ? . a b ?

a ? , x 2 y2 ?x ? 双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的参数方程可表示为 ? cos? (?为参数) . a b ?y ? btan?. ?

?x ? 2pt2 , 抛物线 y ? 2px 的参数方程可表示为 ? ( t为参数) . ?y ? 2pt.
2

过点 M O (x o , y o ) , 倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程可表示为 ? 为参数) 。

?x ? x o ? tcos ? , (t ? y ? y o ? tsin? .

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