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武汉市武昌区2013届高三元月调研测试(数学理)


湖北省武昌区 2012 届高三年级元月调研测试

数学(理)试题
本试卷共 150 分,考试用时 120 分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项: 1.本卷 1 一 10 题为选择题,共 50 分;1l 一 21 题为非选择题,共 100 分,考试结束, 监考人员将试题卷和答题卷一并收回. 2.答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考征号填写在试题卷和答题卷指 定位置,并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置. 3.选择题的作答:选出答案后,用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效. 4.非选择题的作答:用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的 答题区域内.答在指定区域外无效. 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)P(B) . 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A) ·P(B) . 台体的体积公式 V ?

1 ( S ? S上 S下 ? S下 )h ,其中 S 上、S 下分别是台体的上、下底面 3 上

面积, h 是台体的高. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 1.复数

2i 的共轭复数为 1? i A. 1 ? i B. 1 ? i

( C. ?1 ? i



D. ?1 ? i

2 . 已 知 集 合 M ? {y | y ? x ? ( A. M ? N ? ? 3.已知 | a |? 1,| b |?

1 , x ? R, x ? 1}, 集合N ? {x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0}, 则 x ?1
C. M ? CR M D. M ? N ? R



B. M ? CR N

2, 且a ? (a ? b) ,则向量 a 与向量 b 的夹角为
D.135° 5 26

( ) A.30° B.45° C.90° 4.下表是某机电设备的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据: 2 3 4 广告费用 x(万元) 销售额 y(万元) 54 49 39

根据上表可得回归直线方程 ? ? bx ? a a为9.1 ,据此模型预报广告费用为 6 万元时销 y ? ?中? 售额为

( ) A.63.6 万元 B.65.5 万元 C.67.7 万元 D.72.0 万元 5.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为(



13 11 21 B. 13 8 C. 13 13 D. 8
A. 6.在区间[—1,1]上随机取一个数 k,使直线 y=k(x+2) 与圆 x2 ? y2 ? 1 相交的概率为( )

A.

1 2


B.

1 3

C.

3 3

D.

3 2

7



8 x4 ( ? x 3 0 ? )

a ? 1

2 a ( ? 2? 2 ? ) a x

? (x 1则

2

1 ?2

2

) ?a

log2 (a1 ? a3 ? ? ? a11 ) 等于
( A.27 B.28 ) C.7 D.8

8.已知公差不为零的等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,点(n, Sn )都 在二次函数 y ? f ( x) 的图象上(如右图) .已知函数 y=f(x)的图 象的对称轴方程是 x= . 若点(n, an )在函数 y=g(x)的图象 上,则函数 y=g(x)的图象可能是( )

3 2

9.已知双曲线 与

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60°的直线 a 2 b2

双曲线的右支有两个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 ( )

A. (1,2)

B. (1,2]

C.[2,+∞)

D. (2,+ ? )

? ) 10 . 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 R , 对 任 意 实 数 x 满 足 f ( x? 1 )? f ( 3 x, 且 f ( x? 1 )? f ( x? .当 l≤x≤2 时,函数 f ( x) 的导数 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 的单调递 3)
减区间是 A. [2k , 2k ? 1](k ? Z ) C. [2k , 2k ? 2](k ? Z ) ( ) B. [2k ? 1, 2k ](k ? Z ) D. [2k ? 2, 2k ](k ? Z )

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分请将答案填在答题卡对应题号的位置 上,填错位置,书写不清,模棱两可均不得分, 11.如图是一个几何体的三视图,其正视图与侧视图是边长 为 2 的正三角形,俯视图轮廓为正方形,则这个几何体的 表面积是 。 12.函数 y= sin x, x ? [0, ? ] 的图象与 x 轴所围成图形的面积 为 。

13.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,A= 足条件的三角形有且只有一个,则 b 的取值范围为

? ,a= 3 ,若给定一个 b 的值使满 3


14.设 f k ( x) ? sin 2k x ? cos2k x( x ? R) ,利用三角变换,估计 fk ( x) 在 k=l,2,3 时的取 值情况,对 k∈N*时推测 fk ( x) 的取值范围是____(结果用 k 表示) . 15. (考生注意:请在下列两题中任选一题作答,如果都做,则按所做第 1 题评分) (1)在极坐标系中,点 P 的极坐标为( 2,

?
4

,4),,点 Q 是曲线 C 上的动点,曲线 C

? n ) 的 极 坐 标 方 程 为 ? ( c o s ? s i ? +1 =0 , 则 P 、 Q 两 点 之 间 的 距 离 的 最 小 值
为 。 (2)已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 4,PA =2,AC 是圆 O 的直径,PC 与圆 O 交于点 B, PB=l,则圆 D 的半径 R= 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ? 2. ( I)求 f ( x ) 的单调递增区问; (Ⅱ)若 f ( x) ? m ? 2 对一切 x∈[0,

? ]均成立,求实数 m 的取值范围. 2

17. (本小题满分 12 分) 某校从高二年级 4 个班中选出 18 名学生参加全国数学联赛,学生来源人数如下表: 班别 人数 高二(1) 班 4 高二(2) 班 6 高二(3) 班 3 高二(4) 班 5

(I)从这 18 名学生中随机选出两名,求两人来自同一个班的概率; (Ⅱ)若要求从 18 位同学中选出两位同学介绍学习经验,设其中来自高二(1)班的人 数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E ? .

18. (本小题满分 12 分) 如图, 已知四棱台 ABCD –A1B1C1D1 的侧棱 AA1 垂直于底面 ABCD, 底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,四边形 A1B1C1D1 是边长为 1 的正方形,DD1=2。 ( I)求证:平面 A1ACC1⊥平面 B1BDD1; (Ⅱ)求四棱台 ABCD - A1B1C1D1 的体积; (Ⅲ)求二面角 B—C1C—D 的余弦值.

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an }满足 : a1 ? 2, an?1 ? 3an ? 3n?1 ? 2n (n ? N * ). (I)设 bn ?

an ? 2n , 证明:数列 {bn } 为等差数列,并求数列 {an } 的通项公式; 3n

(II)求数列 {an } 的前n项和Sn ; (III)设 Cn ?

an?1 (n ? N * ), 是否存在k ? N * , 使得Cn ? Ck 对一切正整数 n 均成立, an

并说明理由。

20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,两焦点之间的距离为 4。 2 2 a b

(I)求椭圆的标准方程; (II)过椭圆的右顶点作直线交抛物线 y 2 ? 4 x 于 A、B 两点, (1)求证:OA⊥OB; (2)设 OA、OB 分别与椭圆相交于点 D、E,过原点 O 作直线 DE 的垂线 OM,垂足 为 M,证明|OM|为定值。 中国高考吧:www.gaokao8.net

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2ln(2 x) ? x2 . (I)若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 在其定义域内为增函数,求实数 a 的取值范围; (II)设 h( x) ? 2 f ( x) ? 3x ? kx(k ? R), 若h( x) 存在两个零点 m,n 且 2x0 ? m ? n ,
2

证明:函数 h( x)在( x0 , h( x0 )) 处的切线不可能平行于 x 轴。

参考答案
一、选择题: 1.B 2.D 二、填空题: 11. 12 12.2

3.B

4.B

5.D

6.C

7.C

8.B

9.A

10.A

13. (0, 3] ?{2}

14.

1 ? fk ? x ? ? 1 2k ?1

15. (1)

2 ; (2) 2

3
三、解答题: 16. (本小题满分 12 分) 解: f ( x) ? (Ⅰ )由 ?

3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin( 2 x ? ? 2k? ? 2 x ?

?
6

) ? 1.

?
2

?
6

?

?
2

? 2k? ,解得 ?

?
6

? k? ? x ?

?
3

? k? , k ? Z .
………………………(5

所以, f (x) 的递增区间为 [ ? 分)

?
6

? k? ,

?
3

? k? ] , k ? Z .

(Ⅱ )由 f ( x) ? m ? 2 ,得 m ? 2 ? f ?x ?对一切 x ? [0,

?
2

] 均成立.

? ? ? 5? ? x ? [0, ], ? 2 x ? ? [? , ] . 2 6 6 6 1 ? ? ? ? sin( 2 x ? ) ? 1, ? 0 ? f ( x) ? 3. 2 6
? m ? 2 ? 3 ,?m ? 1 .
所以实数 m 的取值范围范围为 ?1,??? .

………………………………(12 分)

17. (本小题满分 12 分) 解: )“从这 18 名同学中随机选出两名,两人来自于同一个班”记作事件 A, (Ⅰ 则 P( A) ?
2 C4 ? C62 ? C32 ? C52 2 ? . ………………………………(5 分) 2 9 C18

(Ⅱ ? 的所有可能取值为 0,1,2. )
P ∵ (? ? 0) ?
2 C14 C 1C 1 C2 91 56 6 ? , P(? ? 1) ? 4 2 14 ? , P(? ? 2) ? 4 ? , 2 2 153 C18 153 C18 C18 153

? ∴ 的分布列为: ?

0
91 153

1
56 153

2
6 153

P

∴ (? ) ? 0 ? E

91 56 6 4 ? 1? ? 2? ? . 153 153 153 9

………………………………(13 分)

18. (本小题满分 12 分) 解: )∵ 1 ⊥ (Ⅰ AA 平面 ABCD,∴ 1 ? BD . AA

? 底面 ABCD 是正方形,? AC ? BD .
BD 平面 A1 ACC1 . ? AA 与 AC 是平面 A1 ACC1 内的两条相交直线,∴ ⊥ 1 ? BD ? 平面 B1 BDD1 ,∴ 平面 A1 ACC1 ? 平面 B1 BDD1 . ………(4 分)
B1 (Ⅱ )过 D1 作 D1 H ? AD 于 H ,则 D1 H // A1 A . ∵ 1⊥ AA 平面 ABCD,? D1 H ? 平面 ABCD . 在 Rt?D1 DH 中,求得 D1 H ? M A1 D1 C1

3.
B

A
O

H

D

而 A1 A ? D1 H ,所以四棱台的体积

C

V?

1 1 7 3 . S ? ? S ?S ? S h ? ? ?1 ? 2 ? 4?? 3 ? 3 3 3

?

?

…………(8 分)

(Ⅲ )设 AC 与 BD 交于点 O,连接 OC1 . 过点 B 在平面 B1 BCC1 内作 BM ? C1C 于 M,连接 MD . 由(Ⅰ )知 BD ⊥ 平面 A1 ACC1 ,? BD ? C1C . 所以 C1C ? 平面 BMD , ?C1C ? MD . 所以, ?BMD 是二面角 B ? C1C ? D 的平面角. 在 Rt?C1OC 中,求得 C1C ? 5 ,从而求得 OM ?

OC ? OC1 30 . ? C1C 5

在 Rt?BMO 中,求得 BM ?

4 5 4 5 ,同理可求得 DM ? . 5 5
BM 2 ? DM 2 ? BD2 1 ?? . ………… (12 2 BM ? DM 4

在 ?BMD 中, 由余弦定理, 求得 cos?BMD ? 分) 19. (本小题满分 12 分) 解: )? bn ?1 ? bn ? (Ⅰ

a n?1 ? 2 n?1 a n ? 2 n 3a n ? 3 n ?1 ? 2 n ? 2 n ?1 a n ? 2 n ? ? ? ? 1, 3n?1 3n 3 n ?1 3n

? {bn } 为等差数列.又 b1 = 0 ,?bn ? n ?1 .

?an ? ?n ?1?? 3n ? 2n .

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(Ⅱ )设 Tn ? 0 ? 31 ? 1? 32 ? ? ? (n ? 1) ? 3n ,则 3 Tn ? 0 ? 32 ? 1? 33 ? ? ? (n ? 1) ? 3n?1 .

? ? 2Tn ? 3 ? ? ? 3 ? (n ? 1) ? 3
2 n

n ?1

9(1 ? 3n?1 ) ? ? (n ? 1) ? 3n?1 . 1? 3

? Tn ?

9 ? 3n?1 (n ? 1) ? 3n?1 (2n ? 3) ? 3n?1 ? 9 ? ? . 4 2 4

? S n ? Tn ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ?

?

? ?2n ? 3?3 4 ? 2
n ?1

n ?3

?1

.…………………(8 分)

13 62 259 n ? 3n?1 ? 2 n?1 , C2 ? , C3 ? , ? 猜测 C1 (Ⅲ )由已知得 Cn ? ,从而求得 C1 ? n n 2 13 62 ?n ? 1?3 ? 2
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? Cn ? C1 ?

an?1 a2 (n ? 3n?1 ? 2 n?1 ) ? 2 ? 13[(n ? 1) ? 3n ? 2 n ] ? ? an a1 an ? a1

(13 ? 7n) ? 3n ? 9.2 n ? ?0, a n ? a1
∴ 存在 k ? 1 ,使得 Cn ? Ck 对一切正整数 n 均成立. …………………(12 分) 20. (本小题满分 13 分)

?2c ? 4, ?a ? 4 ? 2 解: )由 ? c 1 得 ? (Ⅰ ,故 b ? 12 . ? , ?c ? 2 ?a 2 ?
所以,所求椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 16 12

……………………(4 分)

(Ⅱ(1)设过椭圆的右顶点 ?4,0? 的直线 AB 的方程为 x ? m y ? 4 . ) 代入抛物线方程 y ? 4 x ,得 y ? 4my ?16 ? 0 .
2 2

设 A?x1 , y1 ? 、 B? x2 , y 2 ?,则 ?

? y1 ? y2 ? 4m, ? y1 y2 ? ?16.

2 ∴ 1x2 ? y1 y2 ? ? my1 ? 4?? my2 ? 4? ? y1 y2 = 1 ? m y1 y2 ? 4m ? y1 ? y2 ? ? 16 =0. x

?

?

OA ∴ ? OB .

……………………(8 分)

(2)设 D?x3 , y3 ? 、 E?x4 , y4 ? ,直线 DE 的方程为 x ? ty ? ? ,代入

x2 y 2 ? ? 1 ,得 16 12

?3t

2

? 4 y 2 ? 6t?y ? 3?2 ? 48 ? 0 .

?

6t? 3?2 ? 48 , y3 y 4 ? 2 于是 y3 ? y 4 ? ? 2 . 3t ? 4 3t ? 4
从而 x3 x4 ? ?ty3 ? ? ??ty 4 ? ? ? ?

4?2 ? 48t 2 3t 2 ? 4

? OD ? OE ,? x3 x4 ? y3 y4 ? 0 .
代入,整理得 7?2 ? 48 t 2 ? 1 . ∴ 原点到直线 DE 的距离 d ? 21. (本小题满分 14 分)
2 解: )? g ?x? ? ln?2x? ? x ? ax, g ?(x) ? (Ⅰ

?

?

?
1? t 2

?

4 21 为定值. 7

……………………(13 分)

2 1 ? 2 x ? a ? 2 x ? ? a ( x ? 0) . 2x x

由已知,得 g ?( x) ? 0 对一切 x ? (0,??) 恒成立.

? 2x ?

1 1? ? ? a ? 0 ,即 a ? ?? 2 x ? ? 对一切 x ? (0,??) 恒成立. x x? ?

1? ? ? ?? 2 x ? ? ? ?2 2 ,?a ? ?2 2 . x? ?

? a 的取值范围为 [?2 2,??) . ……………………………(5 分)
(Ⅱ h?x? ? 2 ln?2 x? ? x ? 3x ? kx ? 2 ln?2 x? ? x ? kx . )
2 2 2

?

?

由已知得 h(m) ? 2 ln(2m) ? m ? km ? 0 , h(n) ? 2 ln(2n) ? n ? kn ? 0 .
2 2

? 2 ln

n n ? (n 2 ? kn ) ? (m 2 ? km ) ,即 2 ln ? (n ? m)( n ? m) ? k (n ? m) . m m

假设结论不成立,即 h?( x0 ) ? 0 ,则 又 2 x0 ? m ? n ,

2 2 ? 2 x0 ? k ? 0 ,? k ? ? 2 x0 . x0 x0

? 2 ln

n 2 ? (n ? m)(n ? m) ? ( ? 2 x0 )(n ? m) m x0
4 4 ? m ? n)( n ? m) ? ( n ? m) . m?n n?m

? (n ? m)( n ? m) ? ( ? ln


n 2(t ? 1) ? t ? (1,?? ) ,则有 ln t ? . m 1? t 2(t ? 1) , t ? 1. 令 ? (t ) ? ln t ? 1? t

n 2(n ? m) ? . m n?m

(1 ? t 2 ? 4t ) (t ? 1) 2 1 2 ? t ? 1? ? 2(t ? 1) ? (?1) 1 4 ? ? ? 0. ?? ?(t ) ? ? ? ? t (1 ? t )2 t (1 ? t )2 t (1 ? t ) 2 t (1 ? t ) 2
?? (t ) 在 (1,??) 上是增函数,
∴ t ? 1 时, ? (t ) ? ? (1) ? 0 ,即 ln t ? 当 ∴ t ? 1 时, ln t ? 当 ∴ 假设不成立.

2(t ? 1) ?0. 1? t

2(t ? 1) 不可能成立, 1? t

? h(x) 在 ( x0 , h( x0 )) 处的切线不平行于 x 轴. …………………………(14 分)


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