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南京市高三数学第二次质量检测答案

2002 年南京市高三数学第二次质量检测参考答案及评分标准

一、选择题:

1.A 2.A 3.C 4.B 5.D 6.B 7.D 8.A 9.D 10.B 11.C 12.A

二、填空题:13. 27 ; 14.q-1; 15. a2 ? b2 ; 16.①③ ?② 2

三、解答题:17.解: y ? tgx ? ctgx ? 1 ? 1 ? 1? cosx ? sin x …………4 分 sin x cosx sin x cosx

设 t ? cos x ? sin x,则sin x cos x ? 1 ? t 2 , …6 分 因为 t ? 2 cos(x ? ? ) ,…8 分

2

4

? ? x ? ? ? 3? , 所以 ?1 ? t ? 1.…10 分

4

44

因此
y?

1? t

?

2

, 所以y ? 1. …12 分

1?t2 1?t

2

18.解:(1) a1

? S1

?

p(a1

?1),? a1

?

p . ………2 分 p ?1

n ? 2时, an ? Sn ? Sn?1 ? p(an ? an?1 ).即( p ?1)an ? pan?1. ?{an } 成等比数列,且公

比为

p , ………4 p ?1

分? an

?

p ? ( p )n?1 p ?1 p ?1

? ( p )n . ………6 p ?1

分(2)由已知,得:

p ? 2 ? p.( p )2 ? 4 ? q. …8 分 消去 q 并整理得: ( p )2 ? p ? 2 ? 0. …9 分

p ?1

p ?1

p ?1 p ?1

解得: ?1 ? p ? 2,? p ? 1 或p ? 2. …11 分 p 的取值范围是:

p ?1

2

(??,0) ? (0, 1) ? (2,??) …12 分 2
19.证明(1)? A1E ? B1B, A1F ? C1C,由B1B // C1C,? B1B ? 平面A1EF .∴平面 A1EF
⊥平面 B1BCC1.……3 分 (2)由于 A1A//平面 B1BCC1,故点 A、A1 与平面 B1BCC1 的距离
相等.∵ABB1A1 为菱形,故 A1E=A1F= 2 .∵B1B⊥平面 A1EF,EF ? 平面 A1EF,∴BB1⊥EF,
从而 EF=BC=2. ∴△A1EF 是等腰直角三角形。取 EF 中点 M,则 A1M⊥EF,且 A1M=1。从 而 A1M⊥平面 B1BCC1,即 A1M 是点 A1 与平面 B1BCC1 的距离,∵点 A 与平面 B1BCC1 的距 离为 1.………7 分(3)设平面 A1EF 与平面 A1B1C1 所成的二面角的棱为直线 l,取 B1C1 的中 点 N,则 A1N⊥B1C1,但 B1C1//EF,∴B1C1//平面 A1EF,于是 B1C1//l,在△A1B1C1 中,

3 A1N= 2 A1B1 ?

3. ∴A1M⊥l,A1N⊥l,即∠MA1N 为所求二面角的平面角.…10 分

∵A1M⊥平面 B1BCC1,∴A1M⊥MN. ∴cos∠NA1M= A1M ? 1 ,故所求二面角的大小为
A1N 3

arc cos 3 .…12 分. 3
20.解:(1)依题意,第二年该商品年销量为(11.8-p),年销售收入为 70 (11.8 ? p) ,则 1? p%
商场该年对该商品征收的总管理费为 70 (11.8 ? p) p%(万元).…3 分
1? p%

故所求函数为: y ? 7 (118 ?10 p) p. …4 分 100 ? p

由 11.8-p>0 及 p>0 得定义域为 0 ? p ? 59 .
5

……5 分

(2)由 y ? 14 ,得 7 (118 ?10 p) p ? 14. 化简,得 p 2 ?12 p ? 20 ? 0,即( p ? 2)( p ?10) ? 0,
100 ? p

解得 2 ? p ? 10,故当比率在[2%,10%]内时,商场收取的管理费将不少于 14 万元.

……8 分(3)第二年,当商场收取的管理费不少于 14 万元时,厂家的销售收入为 g( p) ? 70 (11.8 ? p) (2 ? p ? 10) ……10 分
1? p%

? g( p) ? 70 (11.8 ? p) ? 700 (10 ? 882 ) 为减函数,∴g(p)max=g(2)=700(万元)故

1? p%

p ?100

当比率为 2%时,厂家销售金额最大,且商场所收管理费又不少于 14 万元.…12 分

21.解:(1)任取 x1、x2,且 0<x1<x2,则 f(x2)-f(x1)= ( x2 ? 1)2 ? ( x1 ? 1)2 ?

x2

x1

1

x12

x

2 2

[x1 (x2

? 1)

?

x2 (x1

? 1)] ? [x1 (x2

? 1)

?

x2 (x1

? 1)]

?

1 x12 x22

[x1 (x2

? 1)

?

x2 (x1

? 1)]( x1

?

x2 ).

(3 分).当 0<x1<x2 时,x1(x2+1)>0,x2(x1+1)>0,x1—x2<0,从而 f(x2)-f(x1)<0,即

当 x∈(0,+∞)时 f(x)为单调减函数. ∴f(x)(x>0)在(0,+∞)上为单调减函数.…5

分(2)x>0 时 f(x)∈(1,+∞),令 y ? ( x ? 1)2 ,解得x ? 1 (? y ? 1).……7 分

x

y ?1 y ?1

∴所求反函数为 f ?1(x) ? 1 (x ? 1)(或y ? x ?1(x ? 1)) ……………………8 分

x ?1

x ?1

(3) (x ?1) f ?1 (x) ? a(a ? x ) ? ( x ? 1) ? a 2 ? a x ? (a ? 1) x ? a 2 ?1.……9 分

若 a<-1,得 x ? a ? 1,不等式无解;a=-1,得 0>0,不等式无解;………………10 分

若 a>-1,得 x ? a ? 1,? ?1 ? a ? 1时,不等式的解为 x≥0,a≥1 时,不等式解为 x>(a-1)2,

于是(a-1)2<2 ∴1≤a< 2 ? 1.综上可知,a 的取值范围是-1<a< 2 ? 1 ……12 分

22.解:(1)由 c

?

2 得c 3

?

2 a,?b2 3

?

a2

? c2

?

2 a2 …2 9

分∴椭圆方程是 x2
a2

?

9y2 5a 2

? 1.…3





A(x1,y1),B(x2,y2),AB

的中点为

C(x0,y0),则由 ?????55xx1222

? 9 y12 ? 9 y22

? ?

5a 2 5a 2



5(x1 ? x2 ) ? (x1 ? x2 ) ? 9( y1 ? y2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 0. ……5 分

∵点 A、B 是关于 x、y 轴均不对称的两点,∴ x1

?

x2 , y1 ? y2

? 0,?

y1 ? y2 x1 ? x2

??5? 9

x1 ? x2 y1 ? y2

??5? 9

x0 . y0

∴ k AB

?

? 5x0 9 y0

.? k pc

?

9 y0 5x0

.(6

分)



y0 x0 ?1

?

9 y0 5x0

, x0

?

9 .……8
4

分(2)过

A、B

分别作右准线的

垂线,垂足分别为

A1、B1.得

| |

AF AA1

| |

?

| BF | BB1

| |

?

2 3

?

| AF | AA1

| |

? ?

| |

BF | BB1 |

,?|

AA1

|

?

|

BB1

|?

9 . …11 2



? a2 c

?

x0

?

9 ,即 3 a ? 42

9 4

?

9 4

?

a

? 3.…12

分∴椭圆的方程为

x2 9

?

y2 5

? 1.………14



注:解答题部分(17~22 题)如学生有其它解法,则由各校统一制定评分标准相应给分.

童年时, 家是一声呼唤。 那时的我似乎比今日的孩子拥有更多的自由。 放学后,不会先在父母前露面,而是与左右相邻的小朋友聚在一起, 天马行空,玩的天昏地暗,直至街上的人散去, 听见焦急的父母在四处:“回家了,吃饭了。” 这样的声音伴着我的童年,月复一月,迄今仍在我的耳畔回响。
我常常在思考“家”究竟是什么? 有人说:家是酝酿爱与幸福的酒坊,是盛满温馨和感动等待品味的酒杯。 是在疲惫时回到家后爱人真情的拥抱, 是彼此相守默默注视的目光…… 还有人 说:家是风雨中的一间小屋,家是大雪天里的一杯热酒, 家是一次次失败后的鼓励……
家是忙碌奔波疲惫时。 最想回去好好休息的温床。家是在外面受委屈回来后, 可以痛痛快快哭一场而没人笑你软弱的地方。 家是日行千里夜走八百后。离你最远却始终与你记忆最近的 画面。 无论你的人生是如何的辉煌或者是落魄。 家。永远是你最牵挂的地方。 太平时,家是一座博物馆, 又是一个加油站。家里的一本书一封信一帧照片, 都可以引出一段属于你们家的 故事,流传天南与地北; 一把茶壶一顶帽子一把椅子, 都储存着家的文化传统和信息,绵延一代又一代。
家,一个多么温馨的港湾, 承载了多少人的梦。 烦恼的时候,想到它,豁然开朗; 忧郁的时候,想到它,微微一笑; 沉闷的时候,想到它,如释重负。 家,简简单单的一个字, 却包含了太多,只有亲情才是无法泯灭的永恒。 自古以来,无数诗人咏唱过游子的思家之情。 “渔灯暗,客梦回,一声声滴人心碎。 孤舟五更家万里,是离人 几行情泪。”家是游子梦魂萦绕的永远的岸。
童年时, 家是一声呼唤。 那时的我似乎比今日的孩子拥有更多的自由。 放学后,不会先在父母前露面,而是与左右相邻的小朋友聚在一起, 天马行空,玩的天昏地暗,直至街上的人散去, 听见焦急的父母在四处:“回家了,吃饭了。” 这样的声音伴着我的童年,月复一月,迄今仍在我的耳畔回响。

我常常在思考“家”究竟是什么? 有人说:家是酝酿爱与幸福的酒坊,是盛满温馨和感动等待品味的酒杯。 是在疲惫时回到家后爱人真情的拥抱, 是彼此相守默默注视的目光…… 还有人 说:家是风雨中的一间小屋,家是大雪天里的一杯热酒, 家是一次次失败后的鼓励……
家是忙碌奔波疲惫时。 最想回去好好休息的温床。家是在外面受委屈回来后, 可以痛痛快快哭一场而没人笑你软弱的地方。 家是日行千里夜走八百后。离你最远却始终与你记忆最近的 画面。 无论你的人生是如何的辉煌或者是落魄。 家。永远是你最牵挂的地方。 太平时,家是一座博物馆, 又是一个加油站。家里的一本书一封信一帧照片, 都可以引出一段属于你们家的 故事,流传天南与地北; 一把茶壶一顶帽子一把椅子, 都储存着家的文化传统和信息,绵延一代又一代。
家,一个多么温馨的港湾, 承载了多少人的梦。 烦恼的时候,想到它,豁然开朗; 忧郁的时候,想到它,微微一笑; 沉闷的时候,想到它,如释重负。
家,简简单单的一个字, 却包含了太多,只有亲情才是无法泯灭的永恒。 自古以来,无数诗人咏唱过游子的思家之情。 “渔灯暗,客梦回,一声声滴人心碎。 孤舟五更家万里,是离人 几行情泪。”家是游子梦魂萦绕的永远的岸。


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