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1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第3课时对称性+最值+单调性)_图文

三角函数
1.4.2正弦函数余弦函数的性质 (二)

复习:正弦函数对称性
y
1

?3? 5? ? 2

?2? ? 3?
2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

对称轴:

x?

?
2

? k? , k ? Z

对称中心: (k? ,0) k ? Z

复习:余弦函数对称性
y
?3? 5? ? 2

P ' 3? ?? ?2? ?
2

1
? ? 2
O
?
2

?

?1

3? 2

2?

P

5? 2

3?

x

对称轴: x ? ? ? ? ,0, ? , 2? ?
x ? k? , k ? Z
3? 5? 对称中心: ?( ? ,0),( ,0),( ,0),( ,0)? 2 2 2 2 (

?

?

?
2

? k? ,0) k ? Z

? 求 y ? sin(2 x ? 解(1)令

?
3

例 题
) 函数的对称轴和对称中心
?
3

z ? 2x ?



y ? sin(2 x ?

?
3

) ? sin z

y ? sin z 的对称轴为 z ?
2x ?

?
2

? k? , k ? Z

?
3

?

?
2

? k?
x?

解得:对称轴为
(2) y ? sin z

?
12

?k

?
2

,k ? Z

的对称中心为 ( k? ,0) , k ? Z
2x ?

z ? k?

?
3

? k?

x??

?
6

?k

?
2

对称中心为 ( ?

?
6

?k

?
2

,0) , k ? Z

复习:正弦函数的最大值和最小值 y
1

?3? 5? ? 2

?2? ? 3?
2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

最大值: 当

x?

?
2

有最大值 y ? 1 ? 2k? 时,

最小值:当x ? ?

?
2

? 2k?

有最小值 y 时,

? ?1

复习:余弦函数的最大值和最小值 y
1

?3? 5? ? 2

?2? ? 3?
2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

最大值: 当

有最大值 y ? 1 x ? 0 ? 2k? 时,

最小值: 当

x ? ? ? 2k?

有最小值 y 时,

? ?1

1.求函数的最大值和最小值 使原函数取得最大值时x的集合 1 ?1 ?? y ? sin ? x ? ? 是 ? 2 ?2 3? ? ?
1 ? 解:令z ? x ? 2 3 1 1 要使y ? sin z有最大值 , 2 2

? x | x ? ? 4k? , k ? Z ? 3 ? ?

1 1 要使y ? sin z有最小值- , 2 2

必须 z ? ? ? 2k? , k ? z
1 ? ? x ? ? ? ? 2k? 2 3 2 5? x?? ? 4k? 3 2

?

必须 z ? 2 ? 2k? , k ? z
1 ? ? x ? ? ? 2k? 2 3 2

?

x?

?
3

? 4k?

使原函数取得最小值时x的集合 是? 5? ?
? 4k? , k ? Z ? ?x | x ? ? 3 ? ?

练习:求函数

3 ?1 ?? y ? ? sin ? x ? ? 2 ?2 6?
因为有负 号,所以 结论要相 反
3 y ? ? sin z 最大 2

的最大值

y ? sin z

最小

正弦函数的单调性及单调区间
y
1

?3? 5? ? 2

?2? ? 3?
2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

正弦函数的增区间是 [? 减区间是

?
2

? 2k? ,

?
2

? 2k? ]( k ? Z )

3? [ ? 2 k? , ? 2k? ](k ? Z ) 2 2

?

余弦函数的单调性级单调区间 y
1

?3? 5? ? 2

?2? ? 3?
2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

余弦函数的增区间是
减区间是

[?? ? 2k? , 2k? ](k ? Z )

[2k? , ? ? 2k? ](k ? Z )

? 2.求函数的单调增区间
?? ?1 y ? sin ? x ? ? 3? ?2

y ? sin z
?

?
2

? 2k? ? z ?

?
2

y=sinz的增区间
? 2k?

1 ? ? ? ? 2k? ? x ? ? ? 2k? 2 2 3 2

?

5? ? ? ? 4k? ? x ? ? 4k? 3 3
? ? 5? ? ? ? 4 k ? , ? 4 k ? ,k ? Z ? ? 3 3 ? ?

原函数的增区间

? 求函数的单调增区间
?? ?1 y ? sin ? x ? ? , x ? [?2? ,2? ] 3? ?2
?2? 2?

? ? 5? ? ? ? 4k? , ? 4k? ? ? 3 ? 3 ?

k ? ?1,

k ? 0,
k ? 1,

? 17? 11? ? ? ,? ? 3 ? ? 3 ? ? 5? ? ? ? , ? ? ? 3 3? ? 7? 11? ? , ? ? 3 3 ? ?



变式练习 ? 求函数的单调增区间
?? ? 1 y ? sin ? ? x ? ? 3? ? 2



y ? sin z 减

?

3? ? 2k? ? z ? ? 2k? 减 2 2

?

1 ? 3? ? 2k? ? x ? ? ? 2k? 2 2 3 2

5? 11? ? 4k? ? x ? ? 4k? 3 3
11? ? 5? ? ? 4 k ? , ? 4 k ? ,k ? Z ? ? 3 3 ? ?



? 求函数的单调增区间 为了防止出错,以及计算方便,遇到负号要提出来
?? ? 1 y ? sin ? ? x ? ? 3? ? 2 ?? ?1 y ? ? sin ? x ? ? 3? ?2
y ? ? sin z y ? sin z


sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ?


增 减

? 求函数的单调增区间 为了防止出错,以及计算方便,遇到负号要提出来
?? ? 1 y ? cos ? ? x ? ? 3? ? 2
?? ?1 y ? cos ? x ? ? 3? ?2
y ? cos z y ? cos z


sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ?


增 增


? 23? (2) cos ? ? ? 5






? ?; ?

例2:利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小:

23? 23? 3? 解: (2)、 cos( ? ) ? cos ? cos

? ? 17? ? 与cos ? ? ? ? 4

5 5 5 17? 17? ? cos( ? ) ? cos ? cos 4 4 4 ? 3? ?0 ? ? ? ? , 且y ? cos x在[0, ? ]上是减函数 4 5 3? ? 23? 17? ? cos ? cos ? cos(? ) ? cos(? ) 即 5 4 5 4

练习
y
1

?3? 5? ? 2

?2? ? 3?
2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

(1)sinx > 0 : (0 ?2k? ,? ?2k? )
?2k? ) (2)sin x ? 0 :( ?? ?2k? , 0 y
1

k?Z k?Z

(1)cos x ? 0 : (2)cos x ? 0 :

?3? 5? ? 2

?2? ? 3?
2

??

?

(?

?
2

? 2

O

?

?2k?

?1

,

?
2

2

?

3? 2

2?

5? 2

3?

x

?2k? )

k?Z k?Z

3? ?2k? ) ( ?2k? , 2 2

?

已知三角函数值求角
3 ? 已知 sin ? ? 求? 2
sin 60? ? 3 2

还有其他吗? 一定吗?

? ? 60?
3 2

sin 420? ? sin(60? ? 360? ) ?

3 2 3 sin( ?300? ) ? sin(60? ? 360? ) ? 2 sin 780? ? sin(60? ? 2 ? 360? ) ?





sin120? ?

3 2

? ? 60? ? k ? 360?, k ? Z

? ? 120? ? k ? 360?, k ? Z

{? | ? ? 60? ? k ? 360?或? ? 120? ? k ? 360?, k ? Z }

已知三角函数值求角
3 ? 已知 sin ? ? 求 ? 2
?3? 5? ? 2
?2? ? 3?
2

y
1
?
2

??

?

? 2

O

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

已知三角函数值求角
3 练习:已知 cos ? ? 求? 2

已知三角函数值求角
3 ? 已知 sin ? ? 求 ? 的范围。 2
sin 60? ? sin120? ? 3 2 3 2

y
1
?2? ? 3?
2

?3? 5? ? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

[60? ? k 360? ,120? ? k 360? ] k ? Z

已知三角函数值求角
3 ? 已知 cos ? ? 求 ? 的范围 2

小 结
1.求单调区间

y ? A sin(? x ? ? ) ? y ? A sin z
(1)化未知为已知 (2)负号:sin提出来;cos消去 2.已知三角函数值,求角 (1)在一个区间里找两个代表 (2)分别加上2kπ

作 业
? A 小结
?
4

? B 求
?

y ? 3sin( ?2 x ?

)

的单调区间

解不等式

3 cos x ? 2