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2017-2018年江苏省南京市玄武区高二(上)期中数学试卷和答案

2017-2018 学年江苏省南京市玄武区高二(上)期中数学试卷 一、填空题(本大题共 14 小题,每题 5 分,共 70 分) 1. (5 分)抛物线 y2=4x 的焦点坐标为 2. (5 分)若 f(x)=xsinx,则 f′(x)是 3. (5 分)直线 的倾斜角是 . . . 的最大值为 . . 4. (5 分)若 x,y 满足条件 5. (5 分) 经过点 P (﹣2, 3) , 且与直线 x+2y﹣1=0 平行的直线的方程是 6. (5 分)双曲线 ﹣y2=1 的顶点到其渐近线的距离等于 . 7. (5 分) 若直线 y=x﹣b 是函数 y=ex 图象的一条切线, 则实数 b 的值为 8. ( 5 分)函数 为 . . 的最大值与最小值的和 9. (5 分)已知椭圆 的左,右焦点分别为 F1、F2,过点 F2 作 . x 轴的垂线交椭圆于 A、B 两点,若 F1F2=AB,则椭圆的离心率为 10. (5 分)过点 A(1,1)作圆(x﹣2)2+(y﹣3)2=1 的切线 l,则切线 l 的方 程为 . 11. (5 分)已知抛物线 M:y2=2px(p>0)的准线方程是 x=﹣1,若 M 上一点 P 到它的焦点的距离是 5,则点 P 到坐标原点的距离是 12. (5 分)若直线 x﹣y+m=0 与曲线 值范围是 . . 有且仅有一个公共点,则 m 的取 13. (5 分)已知函数 f(x)=mx2+lnx﹣2x 在定义域内是增函数,则实数 m 范围 为 . ,若方程 f(x)﹣a=0 有三个不相等的 . 14. (5 分)已知函数 实根,则 a 的取值范围是 第 1 页(共 14 页) 二、解答题(不大题共 6 小题,共 90 分) 15. (14 分)已知函数 f(x)=lnx﹣ax,a∈R,且 f′(1)=0. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)的极值. 16. (14 分)已知△ABC 的三个顶点分别为 A(4,1) ,B(﹣6,3) ,C(3,0) . (1)求 AB 边上的高所在直线的方程; (2)求△ABC 外接圆的方程. 17. (14 分)如图,有一块钢板其边缘由一条线段 AB 及一段抛物线弧组成,其 中抛物线弧所在曲线的方程为 y=2x2﹣2,计划将此钢板切割成等腰梯形 ABCD 的 形状(A,B,C,D 四点都在抛物线上) . (1)若设点 C 的横坐标为 x(0<x<1) ,试求梯形面积 S 关于 x 的函数关系式; (2)求梯形面积的最大值. 18. (16 分)已知圆 C 的圆心在直线 x﹣y﹣1=0 上,且圆 C 与直线 x﹣2y+5=0 相 切于点 p(1,3) . (1)求圆 C 的方程; (2)若直线 3x﹣y+a=0 与圆 C 相交于 A,B 两点,CA⊥CB,求实数 a 的值. 19. (16 分)在平面直角坐标系 xoy 中,点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)在抛物线 x2=4y 上,x1x2=﹣4. (1)证明:直线 AB 过抛物线的焦点. (2)过 A,B 分别作抛物线的切线,证明切线的交点在一条定直线上. 20. (16 分)设 f(x)=aex﹣a﹣2x,e 是自然对数的底,a∈R,x∈R. 第 2 页(共 14 页) (1)若 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 a 的最小值; (2)若 f(x)≥3﹣3ex 对一切 x∈(﹣∞,0]成立,求 a 的取值范围. 第 3 页(共 14 页) 2017-2018 学年江苏省南京市玄武区高二(上)期中数学 试卷 参考答案与试题解析 一、填空题(本大题共 14 小题,每题 5 分,共 70 分) 1. (5 分)抛物线 y2=4x 的焦点坐标为 (1,0) . 【解答】解:∵抛物线 y2=4x 是焦点在 x 轴正半轴的标准方程, p=2∴焦点坐标为: (1,0) 故答案为: (1,0) 2. (5 分)若 f(x)=xsinx,则 f′(x)是 sinx+xcosx . 【解答】解:∵f(x)=xsinx,∴f′(x)=sinx+xcosx, 故答案为 sinx+xcosx. 3. (5 分)直线 的倾斜角是 30° . 的倾斜角为 θ, x﹣ , 【解答】解:根据题意,设直线 而直线 其斜率 k= 则有 tanθ= , , 变形可得:y= 又由 0°≤θ<180°, 则 θ=30°; 故答案为:30°. 4. (5 分)若 x,y 满足条件 的最大值为 . 【解答】解:画出 x,y 满足约束条件的平面区域, 如图示: 第 4 页(共 14 页) 由 ,解得 A( , ) , 由 z=2x+y 可知直线过 A( , )时,z 最大, 得:y=2× + = , 故答案为: . 5. (5 分)经过点 P(﹣2,3) ,且与直线 x+2y﹣1=0 平行的直线的方程是 ﹣4=0 . x+2y 【解答】解:设经过点 P(﹣2,3) ,且与直线 x+2y﹣1=0 平行的直线的方程是 x+2y+c=0, 把 P(﹣2,3)代入,得:﹣2+6+c=0, 解得 c=﹣4. ∴经过点 P(﹣2,3) ,且与直线 x+2y﹣1=0 平行的直线的方程是 x+2y﹣4=0. 故答案为:x+2y﹣4=0. 6. (5 分)双曲线 【解答】解:双曲线 所以所求的距离为 ﹣y2=1 的顶点到其渐近线的距离等于 . ﹣y2=1 的顶点坐标(2,0) ,其渐近线方程为 y=± x, = . 故答案为: . 第 5 页(共 14 页) 7. (5 分) 若直线 y=x﹣b 是函数 y=ex 图象的一条切线, 则实数 b 的值为 【解答】解:∵y=ex, ∴y′=ex, 设切点为 P(x0,ex0) , 则过 P 的切线方程为 y﹣ex0=ex0(x﹣x0) , 整理,得 y=xex0﹣ex0?x0+ex0, ∵直线

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