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高考数学大一轮复习 第九章 算法初步、统计与统计案例 第2节 随机抽样课件 理

必考部分

第九章
算法初步、统计与统计案例

第二节

随机抽样

[考纲考情] 1.理解随机抽样的必要性和重要性. 用简单随机抽样方法从总体中抽取样本. 3.了解分层抽样和系统抽样方法.

2.会

主干知识· 整合
热点命题· 突破 课时作业

主干知识·整合 01
课前热身 稳固根基

简单随机抽样
1.简单随机抽样的概念 设一个总体含有 N 个个体, 从中逐个________地抽取 n 个个体作为样本(n≤N), 如果每次抽取时总体内的各个个体 被抽到的机会________, 就把这种抽样方法叫做简单随机抽 样. 2.最常用的简单随机抽样方法有两种——______法和 ________法.

答案 1.不放回 都相等 2.抽签 随机数

1.判断正误 (1)在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性与 第几次抽取有关,第一次抽到的可能性最大.( )

(2)在 100 件玩具中随机拿出一件,放回后再拿出一件, 连续拿 5 次,是简单随机抽样.(
答案:(1)× (2)×

)

2.总体由编号为 01,02,…,19,20 的 20 个个体组 成.利用下面的随机数表选取 5 个个体,选取方法是从随机 数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两 个数字,则选出来的第 5 个个体的编号为( 7816 3204 6572 9234 0802 4935 6314 8200 0702 3623 4369 4869 ) 9728 6938 0198 7481

A.08 C.02

B.07 D.01

答案:D

系统抽样的步骤

假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本. 1.先将总体的 N 个个体______. N 2.确定__________,对编号进行______ ,当 n 是整数 N 时,取 k= n .

3 .在 第 1 段用 ____________ 确定第 一 个个体 编 号 l(l≤k). 4.按照一定的规则抽取样本.通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号______,再加 k 得到第 3 个个体编号 ______,依次进行下去,直到获取整个样本.
答案 1.编号 2.分段间隔 k 分段 l+2k

3.简单随机抽样

4.l+k

3.判断正误 (1) 系 统 抽 样 适 用 于 元 素 个 数 较 多 且 分 布 均 衡 的 总 体.( )

(2)要从 1 002 个学生中用系统抽样的方法选取一个容 量为 20 的样本,需要剔除 2 个学生,这样对被剔除者不公 平.( )

答案:(1)√ (2)×

4.网络上流行一种“QQ 农场游戏”,这种游戏通过 虚拟软件模拟种植与收获的过程. 为了了解本班学生对此游 戏的态度,高三(6)班计划在全班 60 人中展开调查,根据调 查结果, 班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进 行座谈,为此先对 60 名学生进行编号为:01,02,03,…, 60,已知抽取的学生中最小的两个编号为 03,09,则抽取 的学生中最大的编号为__________.

解析:由题知,抽样间隔为 6,则将 60 人分为 10 组, 故最大编号为 57.
答案:57

分层抽样
1.分层抽样的概念 在抽样时,将总体________________,然后 ____________,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层 取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法叫做分层抽 样. 2.当总体是由__________________组成时,往往选用 分层抽样的方法.

3.分层抽样时,每个个体被抽到的机会是______的.

答案 1.分成互不交叉的层 按照一定的比例 3.均等

2.差异明显的几个部分

5.为保证某个重大事件的顺利进行,将从四个部队中 选一个担任安全保卫工作,为了解四个部队的“安保”能 力,则抽取人数的方法中最好的是________.

解析:依据题设要求及三种抽样方法的定义及特点,应 采用分层抽样更好些.
答案:分层抽样

6.(2015· 北京卷)某校老年、中年和青年教师的人数见 下表.采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的 样本中,青年教师有 320 人,则该样本中的老年教师人数为 ( )

类别 老年教师

人数 900

中年教师 1 800 青年教师 1 600 合计 4 300

A.90 C.180

B.100 D.300

900 解析:老年教师的人数为1 600×320=180 人.
答案:C

热点命题· 突破 02
课堂升华 强技提能

简单随机抽样
【例 1】 下面的抽样方法是简单随机抽样的是( )

A.在某年明信片销售活动中,规定每 100 万张为一个 开奖组,通过随机抽取的方式确定号码的后四位为 2709 的 为三等奖 B.某车间包装一种产品,在自动包装的传送带上,每 隔 30 分钟抽一包产品,称其重量是否合格

C.某学校分别从行政人员、老师、后勤人员中抽取 2 人、14 人、4 人了解学校机构改革的意见 D.用抽签法从 10 件产品中选取 3 件进行质量检验 【解析】 A、B 是系统抽样,因为抽取的个体间的间

隔是固定的; C 是分层抽样, 因为总体的个体有明显的层次; D 是简单随机抽样.
【答案】 D

【小结归纳】 1. 简单随机抽样满足: (1)抽取的个体数有限; (2)逐个抽取; (3)是不放回抽取; (4)是等可能抽取. 2.简单随机抽样常有抽签法(适用总体中个体数较少的情 况)、随机数法(适用于个体数较多的情况).

(1)在“世界读书日”前夕, 为了了解某地 5 000 名居民 某天的阅读时间, 从中抽取了 200 名居民的阅读时间进行统 计分析.在这个问题中,5 000 名居民的阅读时间的全体是 ( ) A.总体 B.个体 C.样本的容量 D.从总体中抽取的一个样本

(2)(2015· 湖北卷)我国古代数学名著 《数书九章》 有“米 谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1 534 石,验得米 内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批 米内夹谷约为 ( A.134 石 C.338 石 ) B.169 石 D.1 365 石

解析:(1)由题意知,5 000 名居民的阅读时间是总体, 200 名居民的阅读时间为一个样本;每个居民的阅读时间为 个体;200 为样本容量,故选 A. 28 (2) ×1 534≈169.故选 B. 254
答案:(1)A (2)B

系统抽样

【例 2】 (2015· 湖南卷)在一次马拉松比赛中,35 名运 动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员按 成绩由好到差编为 1~35 号,再用系统抽样方法从中抽取 7 人 , 则 其 中 成 绩 在 区 间 [139 , 151] 上 的 运 动 员 人 数 是 ________.

【解析】

由茎叶图知成绩在 139(不含 139)以下的运

动员恰好 10 人,151(不含 151)以上恰好 5 人,根据系统抽 样的方法知成绩在[139,151]的运动员为 20 人,抽取 7 人, 20 则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 7× =4 35 人.

【答案】 4

【小结归纳】 系统抽样中依次抽取的样本对应的号码就是一 个等差数列,首项就是第 1 组所抽取样本的号 码,公差为间隔数,根据等差数列的通项公式 就可以确定每一组内所要抽取的样本号码.

(1)为了解 1 000 名学生的学习情况, 采用系统抽样的方 法,从中抽取容量为 40 的样本,则分段的间隔为( A.50 B.40 C.25 D.20 )

(2)某班级有 50 名学生,现要采取系统抽样的方法在这 50 名学生中抽出 10 名学生, 将这 50 名学生随机编号 1~50, 并分组,第一组 1~5 号,第二组 6~10 号,……,第十组 46~50 号,若在第三组中抽得号码为 12 的学生,则在第八 组中抽得号码为________的学生.

1 000 解析:(1)由题意知分段间隔为 =25,故选 C. 40 (2)组距为 5,(8-3)×5+12=37.
答案:(1)C (2)37

分层抽样

分层抽样是历年高考的重要考点之一, 高考中常把分层 抽样、频率分布、概率综合起来进行考查,反映了当前高考 的命题方向. 这类试题难度不大, 但考查的知识面较为宽广, 在解题中要注意准确使用所学知识, 不然在一个点上的错误 就会导致整体失误.

考向 1 求样本容量 【例 3】 (2015· 福建卷)某校高一年级有 900 名学生, 其中女生 400 名.按男女比例用分层抽样的方法,从该年级 学生中抽取一个容量为 45 的样本,则应抽取的男生人数为 ________.
【解析】 设男生抽 x 人,女生有 400 人,男生有 500 45 人,则 x=500× =25,故抽取男生的人数为 25. 900

【答案】 25

某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的 意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中 抽取一个容量为 300 的样本进行调查.已知该校一年级、二 年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4∶5∶5∶6, 则应从一年级本科生中抽取________名学生. 4 解析: 根据题意知 300× =60.故应取 60 人. 4+5+5+6
答案:60

考向 2 分层抽样与概率的交汇 【例 4】 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目 观众的抽样调查中,随机抽取了 100 名电视观众,相关的数 据如下表所示:

文艺节目 新闻节目 总计 20 至 40 岁 大于 40 岁 总计 40 15 55 18 27 45 58 42 100

(1)由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与 年龄有关? (2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名,大于 40 岁的观众应该抽取几名? (3)在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名,求恰有 1 名观 众的年龄为 20 至 40 岁的概率.

【解】

(1)因为在 20 至 40 岁的 58 名观众中有 18 名

观众收看新闻节目,在大于 40 岁的 42 名观众中有 27 名观 众收看新闻节目.所以,经直观分析,收看新闻节目的观众 与年龄是有关的. (2)应抽取大于 40 岁的观众人数为 27 3 ×5= ×5=3(名). 45 5

(3)用分层抽样方法抽取的 5 名观众中, 20 至 40 岁的有 2 名(记为 Y1,Y2),大于 40 岁的有 3 名(记为 A1,A2,A3).5 名观众中任取 2 名,共有 10 种不同取法: Y1Y2,Y1A1,Y1A2,Y1A3,Y2A1,Y2A2,Y2A3,A1A2,A1A3, A2A3. 设 A 表示随机事件“5 名观众中任取 2 名, 恰有 1 名观 众年龄为 20 至 40 岁”,则 A 中的基本事件有 6 种: Y1A1,Y1A2,Y1A3,Y2A1,Y2A2,Y2A3, 6 3 故所求概率为 P(A)= = . 10 5

某中学为了更好地开展社团活动, 丰富同学们的课余生 活,现用分层抽样的方法从“模拟法庭”、“街舞”、“动 漫”、“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小 社团 相关人数 抽取人数 组,有关数据见下表: 模拟法庭 24 a
街舞 动漫 话剧 30 b 12 5 4 c

(1)求 a,b,c 的值; (2)若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选 2 人 担任指导小组组长,求这 2 人分别来自这两个社团的概率. 5 1 解:(1)由表可知抽取比例为30=6,故 a=4,b=24,c

=2.
1 C1 · C 2 4 (2)这 2 个人分别来自这两个社团的概率为 P= C2 = 6

8 15.

【小结归纳】 进行分层抽样的相关计算时, 常利用以下关系 式巧解: 样本容量n 该层抽取的个体数 (1) = ; 总体的个数N 该层的个体数 (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这 两层抽取的个体数之比.

1.三种抽样方法的联系 三种抽样方法的共同点都是等概率抽 样,即抽样过程中每个个体被抽到的概率 相等,体现了这三种抽样方法的客观性和 公平性.若样本容量为 n,总体的个体数 为 N,则用这三种方法抽样时,每个个体被抽到的概率都是 n N.

2.各种抽样方法的特点 (1)简单随机抽样的特点:总体中的个体性质相似,无 明显层次;总体容量较小,尤其是样本容量较小;用简单随 机抽样法抽取的个体带有随机性,个体间无固定间距. (2)系统抽样的特点:适用于元素个数很多且均衡的总 体;各个个体被抽到的机会均等;总体分组后,在起始部分 抽样时,采用简单随机抽样.

(3)分层抽样的特点:适用于总体由差异明显的几部分 组成的情况;分层后,在每一层抽样时可采用简单随机抽样 或系统抽样.


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