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2017届高考数学(理)(新课标)二轮专题复习课件:2-5概率、统计及统计案例


第5讲 概率、统计及统计案例

热 点 调 研

调研一 概



考向一 古典概型 命题方向: 1.直接枚举型概率问题; 2.排列组合型概率问题.

(1)(2016· 孝感二模)某天下课以后,教室里还剩下 2 位 男同学和 2 位女同学.若他们依次走出教室,则第 2 位走出的是 男同学的概率是( 1 A. 2 1 C. 4 ) 1 B. 3 1 D. 5

【解析】 已知 2 位女同学和 2 位男同学走出的所有可能顺 序有(女,女,男,男),(女,男,女,男),(女,男,男,女), (男,男,女,女),(男,女,男,女),(男,女,女,男),所以 3 1 第 2 位走出的是男同学的概率 P= = . 6 2 【答案】 A

(2)(2016· 宜春模拟)已知集合 M={1,2,3},N={1,2,3, 4}. 定义映射 f: M→N, 则从中任取一个映射满足由点 A(1, f(1)), B(2,f(2)),C(3,f(3))构成△ABC 且 AB=BC 的概率为( 3 A. 32 3 C. 16 5 B. 32 1 D. 4 )

【审题】 首先确定映射总个数,其次确定满足条件的映射 个数,然后代入公式求解.

【解析】 ∵集合 M={1,2,3},N={1,2,3,4},∴映 射 f:M→N 有 43=64 种,∵由点 A(1,f(1)),B(2,f(2)),C(3, f(3))构成△ABC 且 AB=BC, ∴f(1)=f(3)≠f(2), ∵f(1)=f(3)有 4 种选择, f(2)有 3 种选择, ∴从中任取一个映射满足由点 A(1, f(1)), B(2,f(2)),C(3,f(3))构成△ABC 且 AB=BC 的事件有 4×3= 12 3 12 种,∴所求概率为 = . 64 16 【答案】 C

(3)(2016· 洛阳统考)安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六 的公益活动,每天只需一人参加,其中甲参加三天活动,乙、丙、 丁每人参加一天,那么甲连续三天参加活动的概率为( 1 A. 15 1 C. 4 1 B. 5 1 D. 2 )

【解析】 由题意分析可得,甲连续三天参加活动的所有情 况为:第 1~3 天,第 2~4 天,第 3~5 天,第 4~6 天,共四种 4· A33 1 情况,∴所求概率 P= 3 = . C6 ·A33 5 【答案】 B

(4)(2016· 广东梅州一模)如图所示 2×2 方格, 在每一 个方格中填入一个数字,数字可以是 1,2,3,4 中的任 何一个,允许重复,则填入 A 方格的数字大于 B 方格的 数字的概率为( 1 A. 2 1 C. 8 ) 1 B. 4 3 D. 8

【解析】 A, B 两个方格中总的基本事件个数为 42=16 种, A 方格数字比 B 方格数字大的基本事件有 1+2+3=6 种,所以 6 3 填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字的概率为 P= = ,故选 16 8 D. 【答案】 D

【回顾】 古典概型问题的求解技巧: (1)直接列举:涉及一些常见的古典概型问题时,往往把事件 发生的所有结果逐一列举出来,然后进行求解; (2)画树状图: 涉及一些特殊古典概型问题时, 直接列举容易 出错,通过画树状图,列举过程更具有直观性、条理性,使列举 结果不重、不漏;

(3)逆向思维:对于较复杂的古典概型问题,若直接求解比较 困难,可利用逆向思维,先求其对立事件的概率,进而可得所求 事件的概率; (4)活用对称:对于一些具有一定对称性的古典概型问题,通 过列举基本事件个数结合古典概型的概率公式来处理反而比较 复杂,利用对称思维,可以快速解决.

考向二 几何概型 命题方向: 1.长度型;2.面积型;3.体积型; 4.角度型;5.时间型;6.区间型.

[长度型] (1)(2016· 福州五校)在长为 12 厘米的线段 AB 上任取一点 C, 现以线段 AC,BC 为邻边作一矩形,则该矩形的面积大于 20 平 方厘米的概率为________.
【审题】 首先确定测度,然后确定矩形一边长的范围,再后

代入公式计算.

【解析】 易知这是长度型几何概型,不妨设长为 x 厘米, 则宽为(12-x)厘米,由 x(12-x)>20,得 2<x<10,所以该矩形的 10-2 2 面积大于 20 平方厘米的概率为 = . 12 3 2 【答案】 3

【回顾】 求解几何概型分三步: (1)定性, 即根据事件涉及元素的特征确定相应事件的度量方 式面积、体积等. (2)定量,即根据事件度量的方式计算相应数量. (3)定值,代入几何概型的概率公式求值.

(2)(2016· 衡水调研)在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=1, BC = 2. 在 BC 边上任取一点 M ,则∠AMB≥90 °的概率为 ________.

【解析】

如图所示,在 Rt△ABC 中,作 AM⊥BC,M 为

1 垂足.由题意,知 AB=1,BC=2,可得 BM= ,则∠AMB≥90 2 1 2 1 °的概率 P= = . 2 4

【答案】

1 4

[区间型] (1)(2016· 郑州质量预测)对?α ∈R,n∈[0,2],向量 c=(2n +3cosα ,n-3sinα )的模不超过 6 的概率为( 5 A. 10 3 5 C. 10 2 5 B. 10 2 5 D. 5 )

【解析】

|c| =

(2n+3cosα)2+(n-3sinα)2 =

5n2+9-6nsinα+12ncosα= 5n2+9-6 5nsin(α-φ),其 中 tan φ = 2 , ∴ 要 使 |c|≤6 对 任 意 α∈R 都 成 立 , 只 需 9 5 5n2+9+6 5n≤6 成立即可, 即 5n2+6 5n+9≤36, 解得- 5 3 5 -0 5 3 5 3 5 ≤n≤ ,又 n∈[0,2],∴0≤n≤ ,故所求概率为 = 5 5 2-0 3 5 ,故选 C. 10 【答案】 C

(2)(2016· 山东)在[-1,1]上随机地取一个数 k,则事件“直 线 y=kx 与圆(x-5)2+y2=9 相交”发生的概率为________.

【解析】 圆(x-5)2+y2=9 的圆心为 C(5,0),半径 r=3, |5k-0| |5k| 2 9 故由直线与圆相交可得 2 <r,即 2 <3,整理得 k < , 16 k +1 k +1 3 3 得- <k< . 4 4 3 3 -(- ) 4 4 3 故所求事件的概率 P= = . 1-(-1) 4 3 【答案】 4

【回顾】

求解几何概型时, 一定要注意几何度量,区分

长度、角度、面积、体积等.

[时间型] (2016· 新课标全国Ⅰ)某公司的班车在 7:30,8:00,8:30 发车,小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车,且到达 发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 ( 1 A. 3 2 C. 3 1 B. 2 3 D. 4 )

【解析】 由题意得图:

1 由图得等车时间不超过 10 分钟的概率为 . 2 【答案】 B

[面积型] (1)(2016· 湖北七市联考)平面区域 A1={(x,y)|x2+y2<4,x, y∈R},A2={(x,y)||x|+|y|≤3,x,y∈R}.在 A2 内随机取一点, 则该点不在 A1 内的概率为________.
【审题】 由关键字眼“平面区域”知测度为面积,注意另一

关键字眼“不在”.

【解析】 分别画出区域 A1,A2,如图圆内部分和正方形及 18-4π 2π 其内部所示,根据几何概型可知,所求概率为 =1- . 18 9

【答案】

2π 1- 9

【回顾】 解此类问题的主要步骤为:列出条件,画出图形, 计算面积,再求概率.

(2)(2016· 福州五校)已知 x,y 是[0,2]上的两个随机数,则满 足 x· y∈[0,1]的概率为( ) 1+2ln2 ln2 A. 2 1+ln2 C. 4 D. B. 4 1+ln2 2

【审题】 本题考查运用定积分求面积、几何概型概率的求 法,考查数形结合思想.将 x· y≤1 在直角坐标系中通过反比例函 数图像体现出来, 结合定积分求曲边图形的面积, 进而求解概率.

【解析】 由于 x,y∈[0,2],故 x,y 在直 角坐标平面内所表示的区域为正方形,面积为 4, 而若满足 x· y∈[0,1],显然 x· y≥0 恒成立,因而 只需 x· y≤1,故 x· y∈[0,1]所表示的区域如图中 1 曲边形 OABCD 所示, SOABCD=4-∫ (2- )dx=4-(2x-lnx)|21 x 2 2
21

1+2ln2 =1+2ln2,因而所求的概率为 P= ,故选 B. 4 【答案】 B

【回顾】 对于几何概型,如果有两个变量,通常都构造出 平面区域定性为面积型几何概型.

(3)(2016· 衡水调研)把长度为 10 的木棒任意分成三段,则这 三段可以构成一个三角形的概率为________.
【审题】 将实际问题,设其中两段的长度分别为 x 与 y,则 第三段的长度为 10-x-y 转化为线性规划的概率问题.

【解析】 设其中两段的长度分别为 x 与 y,则第三段的长度为 10-x-y, ?0<x<10, ? 显 然 有 ?0<y<10, 也 就 是 ?0<10-x-y<10, ? ?0<x<10, ? ?0<y<10, 把(x,y)看作平面上的直 ?0<x+y<10, ? 角坐标系中的点,则区域Ω可以用图中的大三角形表示出来.为 了使分成的三段能构成三角形,必须满足三角形任意两边之和大 于第三边,所以有:

?x+y>10-x-y, ? ?x+(10-x-y)>y, ?y+(10-x-y)>x, ? ?0<x<5, ? 也就是?0<y<5, 于是区域 A 可以用图中的阴影部分表示, ?x+y>5, ? 1 ×5×5 2 SA 1 因此,所求概率为 P= = = . 4 SΩ 1 ×10×10 2 1 【答案】 4

【回顾】 首先判断问题的基本事件是古典概率还是几何概 率.对几何概率选择变量个数,找到变量的关系建立相应的等式 与解析式,画出对应的区域,然后求出相关事件的概率;其中设 计变量个数与寻找关系是难点.

[体积型] (1)(2016· 商丘模拟)在棱长为 2 的正方体内部随机取一点,则 该点到正方体 8 个顶点的距离都不小于 1 的概率为( 1 A. 6 π C. 6 5 B. 6 π D.1- 6 )

【解析】 棱长为 2 的正方体的体积为 V1=23=8,而该点到 1 正方体 8 个顶点的距离都小于 1 的恰好是 8 个半径为 1 的 小球, 8 4 π×13 3 则由对立事件与几何概型可得所求的概率为 P=1- = 1- 8 π 6 . 【答案】 D 【回顾】 测度是体积,这是很简单的问题,关键是定量计算.

(2)(2016· 保定调研)在线段 AB 上任取三点 x1, x2, x3, 则 Ax1, Ax2,Ax3 能构成三角形的概率为________.
【审题】 域问题. 通常两个变量是平面区域问题,三个变量是空间区

【解析】 设线段 AB 的长为 1, 则 0<x1<1, 0<x2<1, 0<x3<1 把(x1,x2,x3)看作空间坐标系中的一点,则区域Ω可以用图中的 正方体表示出来.

?x1+x2>x3, ? 要使 Ax1, Ax2, Ax3 能构成三角形, 当且仅当?x1+x3>x2,即 ?x +x >x , ? 2 3 1 六面体 ODEBA 为所要求的样本点 A,所以所要求的概率为 P= 1 1 1- ×3× 3 2 1 VA = = . 1 2 VΩ 1 【答案】 2

【回顾】 有两个变量的是面积型,有三个变量的构造立体 空间区域,是体积型的几何概型.

[角度型] (2016· 广州调研)在直角三角形 ABC 中, 直角顶点为 C, 其中 ∠A=30°,在∠ACB 的内部任作一条射线 CM,与线段 AB 交 于点 M,则满足 BC<AM<AC 的概率为( 1 A. 4 1 C. 2 1 B. 3 2 D. 3 )

【解析】 记“BC<AM<AC”为事件 D,在∠ACB 内的射线 CM 是均匀分布的,所以射线 CM 所在任何位置都是等可能的, 则所求事件涉及对应角的角度问题, 在 AB 上取一点 C1 使得 AC1 =AC,连接 CC1,则∠ACC1=75°,又在 AB 上取一点 C2 使得 BC2=BC,连接 CC2,则∠ACC2=30°,

那么∠C1CC2=∠ACC1-∠ACC2=45°,而∠ACB=90°, 根据几何概型的概率公式,知满足 BC<AM<AC 的概率为: 构成事件D的区域角度 ∠C1CC2 45° P(D) = = = 试验的全部结果所构成的区域角度 ∠ACB 90° 1 = . 2 【答案】 C

【回顾】 (1)本题不要误判为长度型! (2)几何概型的概率公式:

考向三 离散型随机变量的概率 命题方向: 1.条件概率; 2.相互独立事件的概率; 3.独立重复事件的概率.

[条件概率] (1)(2016· 郑州调研)4 个高尔夫球中有 3 个合格、1 个不合格, 每次任取一个, 不放回地取两次. 若第一次取到合格的高尔夫球, 则第二次取到合格高尔夫球的概率为________.
【审题】 第二次取球合格的前提是第一次取球合格,所以这

是条件概率问题.

【解析】 记事件 A={第一次取到的是合格高尔夫球}, 事件 B={第二次取到的是合格高尔夫球}. 3×2 1 3×3 3 由题意可得 P(A∩B)= = ,P(A)= = , 4×3 2 4×3 4 1 P(A∩B) 2 2 所以 P(B|A)= = = . 3 3 P(A) 4

另解:记事件 A:{第一次取到的是合格高尔夫球}, 事件 B={第二次取到的是合格高尔夫球}. 由题意可得事件 B 发生所包含的基本事件数 n(A∩B)=3×2 =6,事件 A 发生所包含的基本事件数 n(A)=3×3=9, n(A∩B) 6 2 所以 P(B|A)= = = . 9 3 n(A) 2 【答案】 3

(2)(2016· 长沙调研)先后掷两次骰子(每个面上点数分别为 1, 2,3,4,5,6)落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为 x,y, 设事件 A 为“x+y 为偶数”, 事件 B 为“x, y 中有偶数且 x≠y”, 则概率 P(B|A)=( 1 A. 2 1 C. 4 ) 1 B. 3 2 D. 5

【解析】 正面朝上的点数(x,y)的不同结果共有 C61·C61 =36(种). 其中事件 A“x+y 为偶数”包含事件 A1: “x, y 都为偶数” 与事件 A2: “x,y 都为奇数”两个互斥事件, C31·C31 1 C31·C31 1 其中 P(A1)= = ,P(A2)= = . 36 4 36 4 1 1 1 所以 P(A)=P(A1)+P(A2)= + = . 4 4 2

事件 B 为“x,y 中有偶数且 x≠y”,所以事件 AB 为“x, y 都为偶数且 x≠y”, C31C31-3 1 所以其概率为 P(AB)= = . 36 6 P(AB) 1 由条件概率的计算公式,得 P(B|A)= = .故选 B. P(A) 3 【答案】 B

【回顾】 解决条件概率问题的关键是要分清谁是事件 A, 谁是事件 B.常用方法有两种:一是“定义法”,利用条件概率的 P(AB) 定义 P(B|A)= ; 二是“缩减样本空间法” , 先求出事件 A P(A) 发生包含的基本事件数 n(A),然后在这些基本事件中,找出事件 A 发生的条件下,事件 B 发生所包含的基本事件数 n(A∩B),最 n(A∩B) 后利用古典概型公式 P(B|A)= 求解. n(A)

[相互独立事件的概率] (1)(2016· 洛阳模拟)在某次人才招聘会上,假定某毕业生赢得 2 甲公司面试机会的概率为 ,赢得乙、丙两公司面试机会的概率 3 1 均为 ,且三个公司是否让其面试是相互独立的.则该毕业生只 4 赢得甲、乙两个公司面试机会的概率为( 1 A. 16 1 C. 4 1 B. 8 1 D. 2 )

【审题】 关键字词“三个??是相互独立”.

【解析】

记事件 A 为 “该毕业生赢得甲公司的面试机

会”, 事件 B 为“该毕业生赢得乙公司的面试机会”, 事件 C 为 “该毕业生赢得丙公司的面试机会” . 2 1 由题可得 P(A)= ,P(B)=P(C)= . 3 4

则事件 “ 该毕业生只赢得甲、乙两个公司面试机会 ” 为 ABC, 由相互独立事件同时成立的概率公式,可得 2 1 1 1 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)= × ×(1- )= ,故选 B. 3 4 4 8 【答案】 B

【回顾】 求解此类相互独立事件题需“双会”:一是会用 相互独立事件同时发生的概率公式,即事件 A,B 为相互独立事 件,则事件 A,B 同时发生的概率为 P(AB)=P(A)P(B);二是会 用对立事件的概率公式, 遇到事件较为复杂[含“至多”“至少” 等词的事件]时,常将事件转化,借助对立事件来解决,可加快解 题速度.

(2)(2016· 武汉调研)如图所示,圆通快递公司送 货员从公司 A 处准备开车送货到某单位 B 处,有 A→C→D→B, A→E→F→B 两条路线. 若该地各路 段发生堵车与否是相互独立的,且各路段发生堵车 事件的概率如图所示 (例如 A→C→D 算作两个路 1 段,路段 AC 发生堵车事件的概率为 ,路段 CD 发 6 1 生堵车事件的概率为 ). 若使途中发生堵车事件的概率较小, 则 10 由 A 到 B 应选择的路线是________.

【审题】 利用相互独立事件同时发生的概率公式与对立事 件 的 概 率 公 式 、 求 出 路 线 A→C→D→B 途 中 堵 车 与 路 线 A→E→F→B 途中堵车的概率,哪条路线堵车的概率小,就选择 哪条路线.

【解析】

路线 A→C→D→B 途中发生堵车事件的概率为

1 1 2 11 P1=1-(1- )×(1- )×(1- )= , 6 10 5 20 路线 A→E→F→B 途中发生堵车事件的概率为 P2=1-(1- 1 1 1 11 )×(1- )×(1- )= . 5 8 5 25 11 11 因为 < ,所以应选择路线 A→E→F→B. 25 20 【答案】 A→E→F→B

[独立重复事件的概率] (2016· 长沙调研)某次数学摸底考试共有 10 道选择题,每道 题给的四个选项中有且只有一个选项是正确的;张三同学每道题 都随意地从中选了一个答案,记该同学至少答对 9 道题的概率为 P,则下列数据中与 P 的值最接近的是( A.3×10-4 C.3×10-6 B.3×10-5 D.3×10-7 )

【审题】 由“随意”两字知道这是个独立重复试验问题.

【解析】 由题意知本题是一个独立重复试验,试验发生的 1 次数是 10,选题正确的概率是 ,该同学至少答对 9 道题包括答 4 对 9 道题或答对 10 道题,根据独立重复试验的公式得到该同学 19 3 10 1 10 至少答对 9 道题的概率为 P=C10 ·( ) × +C10 ( ) ≈3×10-5. 4 4 4
9

【答案】 B

【回顾】 一般地,在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验.在 n 次独立重复试验中,设事件 A 发生的次数 为 X,在每次试验中事件 A 发生的概率为 p,那么在 n 次独立重 复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X=k)=Cnkpk(1- p)n-k,k=0,1,2,?,n.

考向四 正态分布 (1)(2016· 衡中二调)在某次联考数学测试中, 学生成绩 ξ 服从正态分布(100,σ 2)(σ>0),若 ξ 在(80,120)内的概率为 0.8, 则落在(0,80)内的概率为( A.0.05 C.0.15 ) B.0.1 D.0.2

【解析】 根据正态曲线的对称性:正态曲线关于直线 x= 100 对称可知,ξ在(80,100)内的概率为 0.4,因为 ξ 在(0,100) 内的概率为 0.5,所以 ξ 在(0,80)内的概率为 0.5-0.4=0.1. 【答案】 B

(2)已知某高级中学高三学生有 2 000 名,在第一次模拟考试 中数学成绩 ξ 服从正态分布 N(120,σ 2),已知 P(100<ξ<120)= 0.45,若学校教研室欲按分层抽样的方式从中抽出 100 份试卷进 行分析研究,则应从 140 分以上的试卷中抽( A.4 份 C.8 份 B.5 份 D.10 份 )

1-2P(100<ξ<120) 【解析】 因为 P(ξ>140)= =0.05,所 2 0.05×2 000 以从 140 分以上的试卷中抽 ×100=5 份. 2 000 【答案】 B

(3)(2016· 河南九校 ) 设随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ , δ
2

)(δ>0),若 P(ξ<0)+P(ξ<1)=1,则 μ 的值为( A.-1 1 C.- 2 B.1 1 D. 2

)

【解析】 因为 P(ξ<0)+P(ξ<1)=1, 且 P(ξ≥1)+P(ξ<1)=1, 0+1 1 故 P(ξ<0)=P(ξ≥1),故 μ= = . 2 2 【答案】 D

(4)(2016· 石家庄质检二)设 X~N(1,σ 2),其正态分布密度曲 线如图所示,且 P(X≥3)=0.022 8,那么向正方形 OABC 中随机 投掷 10 000 个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )

(附:随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ,σ 2),则 P(μ-σ<ξ<μ+ σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%) A.6 038 C.7 028 B.6 587 D. 7 539

【解析】 由题意得, P(X≤-1)=P(X≥3)=0.022 8, ∴P(- 1<X<3)=1-0.022 8×2=0.954 4,∴1-2σ=-1,σ=1,∴ 1 P(0≤X≤1) = P(0≤X≤2) = 0.341 3 , 故 估 计 点 的 个 数 为 10 2 000×(1-0.341 3)=6 587,故选 B. 【答案】 B

【回顾】 (1)求解此类问题的基本技巧是根据正态曲线的对 称性求解服从正态分布的随机变量在特定区间上的概率,以及根 据给出的概率值确定正态分布中的参数 μ,σ. (2)对 X~N(μ,σ2)中的 μ,σ的意义不清楚,特别是对 μ 的 认识不清楚, 就会在解题时无从下手, 导致随便给出一个结果. 这 里 μ 是随机变量 X 的均值,σ是标准差,x=μ 是正态分布密度 曲线的对称轴.

1.古典概型. 对于事件 A 的概率的计算, 关键是要分清基本事件总数 n 与 事件 A 包含的基本事件数 m.因此必须解决以下三个方面的问题: 第一,本试验是否是等可能的;第二,本试验的基本事件数有多 少个;第三,事件 A 是什么,它包含的基本事件有多少个.

2.几何概型. (1)几何概型的测度: ①长度;②面积;③体积;④角度;⑤时间;⑥区间. (2)求几何概型概率的基本步骤: ①明确取点的区域Ω; ②确定所求概率的事件中的点的区域 A; ③计算区域 Ω 和区域 A 的几何度量 μΩ和 μA; μA ④计算所求问题的概率 P(A)= . μΩ

3.分布列概率之和一定要等于 1. 4.二项分布. card(A∩B) (1)P(B|A)= . card(A) (2)若 A,B 相互独立,则 P(AB)=P(A)· P(B). (3)P(A)+P(- A )=1. (4)若 ξ~B(n,p),则 E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p).

5.正态分布. 关于正态总体在某个区域内取值的概率求法:①熟记 P(μ- σ<X≤μ+σ),P(μ-2σ<X≤μ+2σ),P(μ-3σ<X≤μ+3σ)的值; ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积为 1 来解 题.

1.(2016· 安徽五校 )某学校为了提高学生的安全意识,防止 安全事故的发生,拟在未来连续 7 天中随机选择 3 天进行紧急疏 散演练,则选择的 3 天中恰好有 2 天连续的概率是( 2 A. 21 3 C. 7 2 B. 7 4 D. 7 )

答案

D

解析 连续 7 天中随机选择 3 天,有 C73=35 种情况,其中 恰好有 2 天连续,有 4+3+3+3+3+4=20 种情况,所以所求 20 4 的概率为 = ,故选 D. 35 7

2. (2016· 武汉调研)抛掷一枚质地均匀的骰子两次, 记 A={两 次的点数均为奇数},B={两次的点数之和为 4},则 P(B|A)= ( 1 A. 12 2 C. 9 1 B. 4 2 D. 3 )

答案 C 解析 事件 A 为“两次所得点数均为奇数”,则有(1,1), (1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5), (5,1),(5,3),(5, 5),共 9 种;B 为“两次的点数之和为 4”,则有(1,3),(3,1), 2 共 2 种,所以 P(B|A)= ,故选 C. 9

3. (2016· 天星教育联考)甲、 乙两名同学做游戏, 他们都从 1~ 5 中任写一个数, 若两数之和小于 6, 则甲赢; 若大于 6, 则乙赢; 若等于 6,则和局.若他们共玩三次,则都是甲赢的概率为( A. 8 125 27 B. 64 27 D. 125 )

8 C. 27

答案

A

10 2 解析 由题意知,玩一次甲赢的概率为 P= = ,那么,玩 25 5 23 30 8 三次,甲都赢的概率为 C3 ( ) ×( ) = . 5 5 125
3

?? ??y≤x+1, ?? ?? 4.(2016· 山西调研)已知平面区域Ω ={(x,y)?? }, y ≥ 0 , ? ?? ?? ??x≤1. ?? ??y≤-|x|+1 M={(x,y)?? },向区域 Ω 内随机投一点 P,则点 P ?? ??y≥0 落在区域 M 内的概率为( ) 1 1 1 A. B. C. 4 3 2 2 D. 3

答案 C 解析 ??y≤x+1, ?? 先作出 Ω={(x,y)??y≥0, }所表 ??x≤1 ??

示的平面区域,如图中的三角形 ABD(边界及其内 部),然后作出
?? y≤-|x|+1, ?? M={(x,y)?? }所表示 ? ??y≥0

的平面区域, 如图所示的等腰直角三角形 ACD, 两个区域的重叠 区域为直角三角形 ACD,故由几何概型概率可得点 P 落在区域 1 S△ACD 2×2×1 1 M 内的概率 P= = = . 2 S△ABD 1 ×2×2 2

5.(2016· 河南六市)欧阳修《卖油翁》中写道:(翁)乃取一葫 芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿, 可见“行行出状元” ,卖油翁的技艺让人叹为观止,若铜钱是直 径为 2 cm 的圆,中间有边长为 0. 5 cm 的正方形孔,若你随机向 铜钱上滴一滴油,则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概 率为________.

答案

1 4π

1 2 ( ) 2 1 解析 由题意得,所求概率为 P= = . π 4π

6.(2016· 衡水调研 )公共汽车车门高度是按男子与车门碰头 机会不高于 0.022 8 来设计的.设男子身高 X 服从正态分布 N(170, 72)(单位: cm), 参考以下概率 P=(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6, P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4, P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4, 则车门的高度(单位:cm)至少应设计为________.

答案 184 cm 解析 因为 P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4, 所以 P(X>μ+2σ) 1-0.954 4 = =0.022 8,所以车门的高度至少设计为 μ+2σ 才符 2 合要求,即为 170+2×7=184 cm.

调研二 统计及统计案例 考向一 抽样方法 (1)(2016· 河北七校)总体由编号为 01,02,?,19,20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个体,选取方 法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次 选取两个数字,则选出来的第 5 个个体的编号为( )

7 816 6 572 0 802 6 314 0 701 4 369 9728 0 198 3 204 9 234 4 935 8 200 3 623 4 869 6 938 7 481

A.08 C.02

B.07 D.01

【解析】 选出的 5 个个体的编号依次是 08,02,14,07, 01,故选 D. 【答案】 D

(2)(2016· 河南六校)某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产 品,产品数量之比依次为 k∶5∶3,现用分层抽样方法抽出一个 容量为 120 的样本,已知 A 种型号产品共抽取了 24 件,则 C 种 型号产品抽取的件数为( A.24 C.36 ) B.30 D.40

k 【解析】 由 ×120=24,得 k=2,则 C 种型号产 k+5+3 3 品抽取的件数为 ×120=36(件),选 C. 2+5+3 【答案】 C

(3)(2016· 广州模拟)一个总体中有 60 个个体, 随机编号 0, 1, 2, ?, 59, 依编号顺序平均分成 6 个小组, 组号依次为 1, 2, 3, ?, 6.现用系统抽样方法抽取一个容量为 6 的样本,若在第 1 组随机 抽取的号码为 3,则在第 5 组中抽取的号码是________.

60 【解析】 ∵间隔为 =10,∴在第 5 组中抽取的号码是 3 6 +(5-1)×10=43. 【答案】 43

(4)(2016· 武汉调研)现要完成下列 3 项抽样调查:①从 10 盒 酸奶中抽取 3 盒进行食品卫生检查.②科技报告厅有 32 排,每 排有 40 个座位,有一次报告会恰好坐满了听众,报告会结束后, 为了听取意见,需要请 32 名听众进行座谈.③东方中学共有 160 名教职工,其中一般教师 120 名,行政人员 16 名,后勤人员 24 名.为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见,拟抽取一个 容量为 20 的样本.较为合理的抽样方法是________.

A.①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样 B.①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样 C.①系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样 D.①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样

【解析】 对于①,总体个数较少,采用简单随机抽样;对 于②,总体个数相对较多,采用系统抽样;对于③,个体相互差 异明显,采用分层抽样. 【答案】 A

(5)(2016· 福州调研)在一个个体数目为 1 003 的总体中,要利 用系统抽样抽取一个容量为 50 的样本,那么总体中每个个体被 抽到的概率是( 1 A. 20 2 C. 5 ) 1 B. 50 50 D. 1 003

【解析】 由于 1 003÷ 50 的余数为 3,因此在采用系统抽样 时应剔除的个体数为 3,若总体中某个个体 a 被抽入样本,则个 1 000 体 a 未被剔除的概率为 ,而在接着的抽样中,要从 1 000 个 1 003 50 个体中抽取 50 个,则个体 a 被抽中的概率为 ,故个体 a 被 1 000 1 000 50 50 抽到的概率为 × = . 1 003 1 000 1 003 【答案】 D

【回顾】 在系统抽样或分层抽样时,有时需要先剔除部分 个体,即先剔后抽.

考向二 频率分布直方图 命题方向: 1.求样本容量; 2.求特定区间上的频率、频数等; 3.求众数、中位数、均值等; 4.与其他知识的综合.

[求样本容量] (2016· 洛阳调研)为了解学生在课外活动方面的支出情况,抽取 了 n 个学生进行调查,结果显示这些学生的支出金额(单位:元) 都在[10,50],其中支出金额在[30, 50]的有 134 个学生,频率分布直方 图如图所示,则 n=( A.150 C.180 ) B.160 D.200

【审题】 此题以频率分布直方图为问题背景,通过给定区 间内学生数来求解所抽取的总体学生数,达到识图、用图的目 的.根据频率分布直方图确定金额在[10,20),[20,30)上的学生 的频率,结合性质求得支出金额在[30,50]上的学生的频率值, 利用频率值建立关系式求解对应的学生数 n 即可.

【解析】 依题意可得支出金额在[10,20),[20,30)上的学 生的频率分别为 0.01×10=0.1,0.023×10=0.23,那么支出金额 134 在[30,50]上的学生的频率为 1-(0.1+0.23)=0.67,则有 = n 0.67,解得 n=200,故选 D. 【答案】 D

【回顾】 利用频率分布直方图求众数、 中位数与平均数时, 易混淆三者而出错,在频率分布直方图中:(1)最高的小长方形底 边中点的横坐标即众数; (2)中位数左右两边的直方图的面积相 等;(3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方 图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.

[特定区间上的频率、频数等] (1)(2016· 重庆模拟 ) 据我国西 部各省(区, 市)2013 年人均地区生 产总值(单位:千元)绘制的频率分 布直方图如图所示, 则人均地区生 产总值在区间[28,38)上的频率是 ( A.0.3 C.0.5 B.0.4 D.0.7 )

【解析】 依题意, 由图可估计人均地区生产总值在区间[28, 38)上的频率是 1-(0.08+0.06)×5=0.3,选 A. 【答案】 A

(2)(2016· 山东)某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位: 小时), 制成了如图所示的频率分布 直方图,其中自习时间的范围是 [17.5,30],样本数据分组为[17.5, 20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方 图,这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是 ( A.56 C.120 B.60 D.140 )

【解析】

由频率分布直方图知,数据落在区间 [22.5,30]

的频率为 2.5×(0.16+0.08+0.04)=0.7.故这 200 名学生中每周的 自习时间不少于 22.5 小时的人数为 200×0.7=140.故选 D. 【答案】 D

[求众数、中位数、均值等] (1)(2016· 贵州适应性考试 )一组样本数据的频率分布直方图 如图所示,试估计此样本数据的中位数为( )

A.13 C.12.52

B.12 100 D. 9

【解析】 由频率分布直方图可得第一组的频率是 0.08,第 二组的频率是 0.32, 第三组的频率是 0.36, 则中位数在第三组内, 0.1 100 估计样本数据的中位数为 10+ ×4= ,选项 D 正确. 0.36 9 【答案】 D

(2)(2016· 河南郑州模拟)从某小区抽取 100 户居民进行月用电 量调查,发现其用电量都在 50 至 350 度之间,频率分布直方图 如图所示.

①直方图中 x 的值为________; ②在这些用户中,月用电量的均值为________.

【解析】 ①第一组的频率为 0.002 4×50=0.12,第二组的 频率为 0.003 6×50=0.18,第三组的频率为 0.006 0×50=0.3, 第五组的频率为 0.002 4×50=0.12, 第六组的频率为 0.001 2×50 =0.06,所以第四组的频率为 1-0.12-0.18-0.3-0.12-0.06= 0.22,所以 x=0.22÷ 50=0.004 4.

②月用电量的均值为 75×0.002 4×50+125×0.003 6×50+ 175×0.006 0×50 + 225×0.004 4×50 + 275×0.002 4×50 + 325×0.001 2×50=3.72×50=186. 【答案】 ①0.004 4 ②186

[与其他知识点的综合] (2016· 福州调研)如图, 为某个样本的 频率分布直方图,分组为[96,98),[98, 100), [100, 102), [102, 104), [104, 106], 已知 a,b,c 成等差数列,且区间[102, 104)与[104,106]上的数据个数相差 12,则区间[98,100)上的数 据个数为( A.24 C.6 ) B.12 D.48

【审题】

根据频率分布直方图确定数据在 [102 , 104) 与

[104,106]上的频率,根据已知求出样本容量,然后根据频率分 布直方图的性质和已知求出 b 的值,进而求出所求区间上数据的 频率,进而求解.

【解析】 由频率分布直方图,可知[102,104)与[104,106] 上的频率分别为 0.125×2=0.25,0.075×2=0.15, 设样本容量为 x,则由题意知 x×0.25-x×0.15=0.1x=12, 所以 x=120. 因为 a,b,c 成等差数列,所以 2b=a+c, 因为 2a+2b+2c=1-0.25-0.15=0.6,所以 b=0.1. 故数据在区间[98,100)上的频率为 2b=2×0.1=0.2,该区 间上的数据个数共有 120×0.2=24,故选 A. 【答案】 A

【回顾】 (1)解决此类问题的基本方法是首先明确频率分布 直方图中的纵轴与横轴的单位,然后根据图中已知数据求出各个 区间内的频率,最后根据频率与频数、样本容量之间的关系求解 相关问题. (2)相关的知识不能用错!

考向三 茎叶图 命题方向: 1.求一组数据的(样本)的数字特征; 2.求样本中的未知数据; 3.两组数据相比较; 4.茎叶图与其他知识点的结合.

[求样本的数字特征] (2016· 百校联盟)已知对某超市某月(30 天)每天顾客使用信用 卡的人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本 的中位数、众数、极差分别是( A.44,45,56 B.44,43,57 C.44,43,56 D.45,43,57 )

【解析】 由茎叶图可知全部数据为 10,11,20,21,22, 24,31,33,35,35,37,38,43,43,43,45,46,47,48, 43+45 48,50,51,52,52,55,56,58,62,66,67,中位数为 2 =44,众数为 43,极差为 67-10=57.选 B. 【答案】 B

[求样本中的未知数据] (2016· 合肥质检)一次数学考试后, 某老师从自己所 带的两个班级中各抽取 5 人,记录他们的考试成绩, 得到如图所示的茎叶图. 已知甲班 5 名同学成绩的平 均数为 81,乙班 5 名同学成绩的中位数为 73,则 x-y 的值为 A.2 C.3 B.-2 D.-3

72+77+80+x+86+90 【解析】 由题意得, =81?x=0, 5 易知 y=3,∴x-y=-3,故选 D. 【答案】 D

[两组数据相比较] (2016· 石家庄模拟)为比较甲、 乙两地某月 11 时的气温情况, 随机 选取该月中的 5 天, 将这 5 天中 11 时的气温数据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图,考虑以下结论: ①甲地该月 11 时的平均气温低于乙地该月 11 时的平均气温 ②甲地该月 11 时的平均气温高于乙地该月 11 时的平均气温

③甲地该月 11 时的气温的标准差小于乙地该月 11 时的气温 的标准差 ④甲地该月 11 时的气温的标准差大于乙地该月 11 时的气温 的标准差 其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为( A.①③ C.②③ B.①④ D.②④ )

【解析】 由茎叶图和平均数公式可得甲、乙两地的平均数 分别是 30,29,则甲地该月 11 时的平均气温高于乙地该月 11 时 的平均气温,①错误,②正确,排除 A 和 B;又甲、乙两地该月 11 时的气温标准差分别是 s




4+1+1+4 = 2,s 5





9+1+4+4 3 10 = ,则甲地该月 11 时的气温的标准差小于乙 5 5 地该月 11 时的气温的标准差,③正确,④错误,故选项 C 正确. 【答案】 C

[茎叶图与其他知识的结合] 我校是一所有着百年历史的名校,图 1 是某一阶段来我校参 观学习的外校人数统计茎叶图,第 1 次到第 14 次参观学习人数 依次记为 A1,A2,?,A14.图 2 是统计茎叶图中人数在一定范围 内的一个算法流程图,那么算法流程图输出的结果是________.

【解析】 此框图的功能是输入 14 个数据,输出大于或等 于 90 的数据的个数,而根据茎叶图可知,大于或等于 90 的数据 有 9 个,所以输出的 n=9. 【答案】 9

【回顾】 (1)众数:一组数据中出现次数最多的数据叫作众 数.(2)中位数:将一组数据从小到大(或从大到小)依次排列,把 中间数据(或中间两数据的平均数)叫作中位数.中位数把样本数 据分成了相同数目的两部分.(3)平均数:x1,x2,?,xn 的平均 1 - 数是 x = (x1+x2+?+xn).(4)方差:一般地,设一组样本数据 n 1n 2 2 - - x1,x2,?,xn,其平均数为 x ,则称 s = i∑ (x - x ) 为这个样 i n =1

本的方差.(5)标准差:因为方差与原始数据的单位不同,且平方 后可能夸大了离散的程度,我们将方差的算术平方根称为这组数 据的标准差.标准差 s= 一组数据的稳定程度. 1n 2 - ∑ ( x - x ) ,标准差也可以刻画 i n i= 1

考向四 回归直线方程 命题方向: 1.变量间的相关关系; 2.确定回归方程; 3.根据方程进行预测.

[变量间的相关关系] 与变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10, 1), (11.3, 2), (11.8, 3),(12.5,4),(13,5);与变量 U 与 V 相对应的一组数据为(10, 5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1).r1 表示变量 y 与 x 之间的线性相关系数,r2 表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数, 则( ) A.r2<r1<0 C.r2<0<r1 B.0<r2<r1 D.r2=r1

【解析】 对于变量 Y 与 X 而言,Y 随 X 的增大而增大, 故 Y 与 X 成正相关,即 r1>0;对于变量 V 与 U 而言,V 随 U 的 增大而减小,故 V 与 U 成负相关,即 r2<0,所以有 r2<0<r1. 【答案】 C

【回顾】 如果从散点图可以看出因变量随自变量的增大而 增大,图中的点分布在左下角到右上角的区域,这种相关关系叫 作正相关;若因变量随自变量的增大而减小则叫作负相关,负相 关的散点图中的点分布在左上角到右下角的区域.

[确定回归方程] (2016· 沈阳调研)某学生四次模拟考试,其英语作文的减分情 况如下表:
考试次数 x 所减分数 y 1 4.5 2 4 3 3 4 2.5

显然所减分数 y 与模拟考试次数 x 之间有较好的线性相 关关系,则其线性回归方程为( A.∧ y =0.7x+5.25 C.∧ y =-0.7x+6.25 ) B.∧ y =-0.6x+5.25 D.∧ y =-0.7x+5.25

【解析】 由题意可知,所减分数 y 与模拟考试次数 x 之间 1 - 为负相关,所以排除 A,考试次数的平均数 x = ×(1+2+3+4) 4 1 - =2.5,所减分数的平均数为 y = ×(4.5+4+3+2.5)=3.5,即直 4 线应该过点(2.5,3.5),代入验证可知直线∧ y =-0.7x+5.25 成立, 故选 D. 【答案】 D 【回顾】 回归直线一定过样本中心(- x ,- y ).

[据方程预测] (2016· 衡水调研)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据 如下表:根据下表可得回归方程 y = b x+ a 中的 b =10.6,据此模 型预报广告费用为 10 万元时的销售额为(
广告费用 x(万元) 销售额 y(万元) 4 49 2 26 3
∧ ∧ ∧ ∧

)
5

39 58

A.112.1 万元 C.111.9 万元

B.113.1 万元 D.113.9 万元

【解析】

1 - - ∧ ∧ ∧ - ∵( x , y )在回归直线 y = b x+ a 上,且 x = (4 4

7 - 1 7 +2+3+5)= , y = (49+26+39+58)=43,将( ,43)代入∧ y= 2 4 2 10.6x+∧ a 中得∧ a =5.9,∴∧ y =10.6x+5.9,当 x=10 时,∧ y =106 +5.9=111.9.所以广告费用为 10 万元时销售额为 111.9 万元. 【答案】 C

考向五 独立性检验 命题方向: 判断两个变量之间的相关性.

(1)(2016· 长沙调研 )某研究型学习小组调查研究学生 使用智能手机对学习的影响.部分统计数据如下表:
使用智能手机 学习成绩优秀 学习成绩不优秀 合计 4 16 20 不使用智能手机 8 2 10 合计 12 18 30

附表: P(K2≥k0) k0 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 经计算 K2=10,则下列选项正确的是( )

A.有 99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响 B.有 99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响 C.有 99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响 D.有 99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响

【解析】 依题意,注意到 7.879<K2<10.828,因此有 99.5% 的把握认为使用智能手机对学习有影响,选 A. 【答案】 A

【回顾】 (1)要注意列联表中的数据与公式中字母的对应关 系,不能混淆. (2)独立性检验的前提是假设两组数据之间是相互独立的, 求 得的 K2 值与附表中的数据对应后得到的结论是两者相关的可能 性.比如本题当 K2≥3.841 时,则有 95%以上的把握认为事件 A 与 B 有关;当 K2≥10.828 时,则有 99.9%以上的把握认为事件 A 与 B 有关.

(2)(2016· 郑州模拟)某市通过随机询问 100 名不同年级的学生 是否能做到“扶跌倒老人”,得到如下列联表: 做不到 高年级有 低年级 45 30 能做到 10 15

附参照表: P(K2≥k) k 0.10 2.706 0.025 5.024 0.01 6.635

n(ad-bc)2 参考公式:K2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ,其中

n=a+b+c+d.

则下列结论正确的是(

)

A.在犯错误的概率不超过 1%的前提下, 认为“学生能否做 到‘扶跌倒老人’与年级高低有关” B.在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为“学生能否做 到‘扶跌倒老人’与年级高低无关” C.有 90%以上的把握认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’ 与年级高低有关” D.有 90%以上的把挥认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’ 与年级高低无关”

【解析】 由题设知 a=45,b=10,c=30,d=15,
2 100 × ( 45 × 15 - 30 × 10 ) 所以 K2 的观测值 k= ≈3.030, 且 55×45×75×25

由附表可知 2.706<3.030<5.024, 所以有 90% 以上的把握认为 “ 学生能否做到 ‘ 扶跌倒老 人’与年级高低有关”,故选 C. 【答案】 C

(2016· 武汉调研)某社会实践调查小组,在对高中学生 “能否良好使用手机”的调查中,随机发放了 120 份问卷.对收 回的 100 份有效问卷进行统计,得到如下 2×2 列联表:
做不到良好使用手机 男生 女生 合计 45 30 75 能做到良好使用手机 合计 10 15 25 55 45 100

如果认为“能否良好使用手机与性别有关”犯错误的概率 不超过 p,那么根据临界值表,最精确的 p 的值应为________. n(ad-bc)2 附:K2= ,其中 n=a+ (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

b+c+d. P(K2≥k) k0 0.25 0.15 0.10 0.05 3.841 0.025 5.024

1.323 2.072 2.706

【解析】 根据题意 K2≈3.03 又 2.706<3.03<3.841,所以能 够在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为“能否良好使用手 机与性别有关”即最精确的 p 的值为 0.10. 【答案】 0.10

1.简单随机抽样是系统抽样和分层抽样的基础;三种抽样 都是等概率的抽样;注意系统抽样与等差数列的联系!

2.(1)两图:①频率分布直方图;②茎叶图. (2)数字特征:众数、中位数、均值、方差等. (3)频率分布表中的频数之和等于样本容量. (4)频率分布直方图中,中位数的左、右两侧的面积相等. (5)可以用“中点”值估计总体.

(6)频率分布直方图的相关注意事项: 频率 ①小长方形的面积=组距× =频率. 组距 ②各小长方形的面积之和等于 1. 频率 ③小长方形的高= . 组距

3.茎叶图. (1)茎叶图的优点是保留了原始数据,便于记录及表示,能反 映数据在各段上的分布情况. (2)茎叶图不能直接反映总体的分布情况, 这就需要通过茎叶 图给出的数据求出数据的数字特征,进一步估计总体情况. (3)制作茎叶图的一般方法是: 将所有两位数的十位数字作为 “茎”,个位数字作为“叶”,茎相同者共用一个茎,茎按从小 到大顺序由上到下列出.

4.(1)线性回归方程一定过样本中心点(- x ,- y ). (2)预测回答时不要肯定是,应大约. 5.|r|越大,线性相关性越强.正相关,0<r≤1;负相关,- 1≤r<0. 6.相关指数 K2 越大,残差平方和越小,模型的拟合效果越 好!

7.独立性检验的一般步骤. (1)假设两个分类变量 x 与 y 没有关系; (2)计算出 K2 的观测值,其中
2 n ( ad - bc ) K2= ; (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2≥k0) k0

0.10 2.706

0.05

0.025

0.010 0.005

0.001

3.841 5.024

6.635 7.879 10.828

(3)把 K2 的值与临界值比较,作出合理的判断. K2 值越大,说明“两个变量有相关关系”的可能性越大.

1.(2016· 湖南四校)从编号为 001,002,?,500 的 500 个 产品中用系统抽样的方法抽取一个样本,已知样本中编号最小的 两个编号分别为 007,032,则样本中最大的编号应该为( A.480 C.482 B.481 D.483 )

答案 C 解析 设样本容量为 n, 则编号为 7+(32-7)(n-1)≤500, n ∈N*,求得 n≤20,所以最大的编号应该为 482.

2.(2016· 山西四校 )某学校组织学生参加数学测试,成绩的 频率分布直方图如图, 数据的分组依次为[20, 40), [40, 60), [60, 80),[80,100),若低于 60 分的人数是 15,则该班的学生人数是 ( )

A.45 C.55

B.50 D.60

答案 B 解析 ∵[20, 40), [40, 60)的频率为(0.005+0.01)×20=0.3,

15 ∴该班的学生人数是 =50. 0.3

3.(2016· 湖北七校)如图所示,茎叶图 记录了甲,乙两组各五名学生在一次英语 听力测试中的成绩(单位:分),已知甲组数 据的中位数为 15,乙组数据的平均数为 16.8,则 x,y 的值分别 为( ) A.2,5 C.5,8 B.5,5 D.8,8

答案 C 解析 依题意,x=5;16.8×5=9+15+10+y+18+24,故 y=8.

4.(2016· 开封模拟)下列说法错误的是(

)

A.自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的 两 个变量之间的关系叫做相关关系 B.在线性回归分析中,相关系数 r 的值越大,变量问的相 关性越强 C.在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其 模型拟合的精度越高 D.在回归分析中,R2 为 0.98 的模型比 R2 为 0.80 的模型拟 合的效果好

答案 B 解析 根据相关关系的概念知 A 正确;当 r>0 时,r 越大, 相关性越强,当 r<0 时,r 越大,相关性越弱,故 B 不正确;对 于一组数据的拟合程度的好坏的评价,一是残差点分布的带状区 域越窄,拟合效果越好,二是 R2 越大,拟合效果越好,所以 R2 为 0.98 的模型比 R2 为 0.80 的模型拟合的效果好,C,D 正确, 故选 B.

5.(2016· 唐山模拟)为了研究某种细菌在特定环境下随时间 变化的繁殖规律,得如下实验数据,计算得回归直线方程为∧ y= 0.85x-0.25.由以上信息,得到下表中 c 的值为________. 天数 x(天) 繁殖个数 y(千个) 3 2.5 4 3 5 4 6 7

4.5 c

答案 6 解析 3+4+5+6+7 2.5+3+4+4.5+c - - x= = 5, y = = 5 5

14+c 14+c ,代入回归直线方程中,得 =0.85×5-0.25,解得 c 5 5 =6.

6.(2016· 黄山质检)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别 有关,对该班 50 名学生进行了问卷调查,得到了如下的列联表:
喜欢打篮球 男生 女生 合计 20 10 30 不喜欢打篮球 5 15 20 合计 25 25 50

根据列联表计算可知,有________以上的把握认为“是否喜 欢打篮球与性别有关”.

n(ad-bc)2 附:K2= ,其中 n=a+ (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

b+c+d, P(K2≥k0) k0

0.15

0.10

0.05 0.025 0.010 0.005

0.001 10.828

2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879

答案 99.5% 解析
2 50 × ( 20 × 15 - 10 × 5 ) 根据题意 K2= ≈8.333,又 25×25×30×20

P(K2≥7.879)=0.005=0.5%, 从而 1-0.5%=99.5%.有 99.5%以上 的把握认为“是否喜欢打篮球与性别有关”.

请做:小题专练·作业(十)


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