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山西省2012届高三高考联合模拟练习题一(数学理)扫描含标答案 2


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2012 年山西省高考联合模拟训练一

数学试题(理)答案
题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 D 5 D 1 4 6 C 7 A 8 C π 16. .. 3 (2 分) 9 A 10 B 11 A 12 D

13.

3 3 2

14.6

15.x2+ y2=1

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.解(1)依题意有 a2-a4=3(a3-a4), 3 2 即 2a4-3a3+a2=0,2a1q -3a1q +a1q=0, 即 2q -3q+1=0.∵q≠1,∴q=
2

1 2

(4 分)

故 an=

1 1 n-1 1 n ( ) = ( ) 2 2 2

(6 分)

3 4 n ?1 + 3 +…+ n , 2 2 2 2 1 1 1 1 n ?1 ∴ Sn=1+ 2 ? 3 +…+ n ? n?1 2 2 2 2 2
(2)Sn=1+

1 1 3 4 n ?1 Sn= + 3 ? 4 +…+ n ?1 2 2 2 2 2
A1

(8 分)
C1

B1

A

O
B
第 18

C

1 1 (1 ? n ?1 ) 2 n ?1 3 1 n ?1 3 n ? 3 2 =1+ 2 ? n ?1 = ? n ? n?1 = ? n?1 . 1 2 2 2 2 2 2 1? 2
分) ∴Sn=3-

题 (10

n ?1 1 n?3 - n ?1 =3- n n 2 2 2

(12 分)
A1
z

(18) (本小题满分 12 分) 证:取 BC 中点 F ,连接 OF , EF . 分) (2 所 以 可 得 OF // AB, EF // BB1 , 所 以 面

C1 B1

OEF// 面 A1 AB .

(4 分) A

O

C

y

B
- 8 - / 12

x

所以 OE // 平面 A1 AB . (2)因为 A1 A ? A1C ,且O为 AC

(5 分)

的中点,所以 A1O ? AC .又由题意可知, 平面 AA1C1C ? 平面 ABC ,交线为 AC , 且 A1O ? 平面 AA1C1C ,所以 A1O ? 平面 ABC . 以O为原点, OB, OC , OA1 所在直线分别 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 由题意可知, A1 A ? A1C ? AC ? 2, 又 AB ? BC , AB ? BC ,? OB ?
1 AC ? 1, 2

(6 分)

所以得: O(0,0,0), A(0, ?1,0), A (0,0, 3), C(0,1,0), C1(0,2, 3), B(1,0,0) 1

???? ? ???? ??? ? 则有: AC ? (0,1, ? 3), AA ? (0,1, 3), AB ? (1,1,0) . 1 1
设平面 AA1 B 的一个法向量为 n ? (x, y, z) ,则有
???? ?n ? AA1 ? 0 ? y ? 3z ? 0 3 ? ? ,令 y ? 1 ,得 x ? ?1, z ? ? ?? ? ? ??? 3 ? x? y?0 ? n ? AB ? 0 ? ?

(8 分)

所以 n ? (?1,1, ?

3 ). 3

(9 分)

A1 B ? (1,0,? 3), A1C1 ? (0,2,0) ,设面 A1 BC1 的法向量为
m m ? ( a , b , c ) ,则 ? 令c ?

? m ? m ? A1 B ? 0 ? ? ?a ? 3 c ? 0 2b ? 0 ? m ? A1C1 ? 0 ? ? m



m 3 ,所以 m ? (3,0, 3 ) .

所以 cos < m , n >= m

m·n ?n mm m‖n



2 7 ? 3 ?1 = . 7 7 12 ? 3 2 7 . 7

(11 分)

由图可得二面角 A ? A1 B ? C1 的余弦值为1 C11C9 1 ? 19.(1) P ? 2 C10 5

(12 分)

(4 分)

(2) 甲班 乙班
- 9 - / 12

合计

优秀 不优秀 合计

3 17 20

10 10 20

13 27 40 (6 分)

40 ? ? 3 ? 10 ? 10 ? 17 ? K ? ? 5.584 ? 5.024 ,因此在犯错误的概率不超过 0.025 的前 13 ? 27 ? 20 ? 20
2 2

提下可以认为成绩优秀与教学方式有关。

(8 分)

(3)ξ 的所有可能取值为 100,150,200。 C2 2 C1C1 5 C2 2 P ?? ? 100 ? ? 5 ? , P ?? ? 150 ? ? 5 2 5 ? , P ?? ? 200 ? ? 5 ? 2 2 C10 9 C10 9 C10 9 所以

?
P

100 元

150 元

200 元

2 9

5 9

2 9
(10 分)

2 5 2 E? ? 100 ? ? 150 ? ? 200 ? ? 150 (元) 9 9 9
20 解: (1)由已知可得 e ?
2

(12 分)

a 2 ? b2 1 ? ,所以 3a 2 ? 4b 2 a2 4



(1 分)

b2 3 ? a 2



(2 分)

由①②解之,得 a2 ? 4, b2 ? 3 .

故椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3
消 y 化简整理得:

(4 分)

(2)

由?

? y ? kx ? m, ? x2 y 2 ? 1. ? ? ?4 3

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 , ? ? 64k 2m2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ?12) ? 48(3 ? 4k 2 ? m2 ) ? 0 (3)
设 A, B, P 点的坐标分别为 ( x1, y1 )、 2 , y2 )、x0 , y0 ) ,则 (x ( (6 分)

x0 ? x1 ? x2 ? ?

8km 6m . , y0 ? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

(7 分)

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由于点 P 在椭圆 C 上,所以

2 2 x0 y0 ? ? 1. 4 3

(8 分)

从而

16k 2m2 12m2 ? ? 1 ,化简得 4m2 ? 3 ? 4k 2 ,经检验满足③式.(9 分) (3 ? 4k 2 )2 (3 ? 4k 2 )2
2 2 x0 ? y0 ?

又 | OP |?

64k 2 m2 36m2 ? (3 ? 4k 2 )2 (3 ? 4k 2 )2
(11 分)

?

4m2 (16k 2 ? 9) 16k 2 ? 9 3 ? ? 4? 2 . 2 2 2 (3 ? 4k ) 4k ? 3 4k ? 3
3 3 13 1 2 ,得 3≤4k +3≤4,有 ≤ 2 ≤1,故 3 ? OP ? 4 2 2 4k ? 3

因为 k ?

即所求 OP 的取值范围是 [ 3,

13 ]. 2

(12 分)

21 解:(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? ∴ f ?( x ) ? x ?

1 2 x ? ln x , 2
(2 分)

1 x2 ? 1 ? . x x

对于 x ? ?1, e? ,有 f ?( x) ? 0 ,∴ f (x ) 在区间 ?1, e? 上为增函数. ∴ f max ( x) ? f (e) ? 1 ?

e2 1 , f min ( x) ? f (1) ? . 2 2

(5 分)

(Ⅱ) g ( x) ? f ( x) ? 2ax ? (a ? ) x2 ? 2ax ? ln x , 则 g (x) 的定义域为 ?0,?? ? . ∵ g?( x) ? (2a ? 1) x ? 2a ? (6 分)

1 2

g ( x) ? ?g (1),?? ? ,也不合题意;
当 x2 ? 题意;

1 (2a ? 1) x 2 ? 2ax ? 1 ( x ? 1)[(2a ? 1) x ? 1] , (7 分) ? ? x x x 1 1 ① 若 a ? ,令 g?( x) ? 0 ,解得: x1 ? 1 , x2 ? . 2 2a ? 1 1 当 x2 ? x1 ? 1 ,即 ? a ? 1时,在 ?x2 ,?? ? 上有 g?( x) ? 0 , 2 此时 g (x) 在区间 ?x2 ,?? ? 上是增函数, 并且在该区间上有 g ( x) ? ?g ( x2 ),?? ? , 不合题意; 当 x2 ? x1 ? 1 , 即 a ? 1 , 同 理 可 知 , g (x) 在 区 间 ?1,?? ? 上 是 增 函 数 , 有

x1 ? 1,a=1 时 g (x) 在区间 ?1,?? ? 上是增函数,有 g ( x) ? ?g (1),?? ? ,也不合
(9 分)

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1 时,则有 2a ? 1 ? 0 ,此时在区间 ?1,?? ? 上恒有 g?( x) ? 0 , 2 从而 g (x) 在区间 ?1,?? ? 上是减函数; 1 1 要使 g ( x) ? 0 在此区间上恒成立,只须满足 g (1) ? ?a ? ? 0 ? a ? ? , 2 2
② 若a ? 由此求得 a 的范围是 ??

? 1 1? , ?. ? 2 2? ? 1 1? , ? 时, g (x) ? f (x) ? 2ax ? 0 ? 2 2?

(11 分)

综合①②可知,当 a ∈ ??

恒成立 (12 分)

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时 请写清题号
2 (22)解:由切割线定理得 DB ? DA ? DC

DB(DB ? BA) ? DC2 ,故 DB 2 ? 3DB ? 28 ? 0 ,
解得 DB ? 4 因为 ?A ? ?BCD,所以 ?DBC∽ ?DCA 所以 (6 分) (8 分) (10 分)

BC ? DC 3 7 BC DB ,得 AC ? ? ? DB 2 CA DC
?
4 ) ? ?(

(23)解: (1)极点为直角坐标原点 O, ? sin(? ?

2 2 2 , sin ? ? co s ? ) ? 2 2 2
(5 分)

∴ ? sin ? ? ? cos ? ? 1 ,可化为直角坐标方程:x+y-1=0.

(2)将圆的参数方程化为普通方程: x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ,圆心为 C(0,-2) , ∴点 C 到直线的距离为 d ?

0 ? 2 ?1 2

?

3 3 2 ? ,∴圆上的点到直线距离的最小值为 2 2
(10 分)

3 2 ?4 。 2
选修 4-5:不等式选讲

(24)解: (1) f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? 4 | ( x ? R) 由绝对值的几何意义得 f ( x ) ? 5 所以函数的值域为 [5,?? ) (2)由 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? 4 |?| a ? x ? x ? 4 |?| a ? 4 |? 1 得 a ? (?? ,5] ? [?3,?? ) (10 分) (5 分)

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