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《函数的最大值和最小值》教学设计(第1课时)正式版_图文

《函数的最大值和最小值》教学设计(第 1 课时)
江西省临川第一中学 游建龙 人教版全日制普通高级中学教科书数学第三册 【教材分析】 本节教材知识间的前后联系,以及地位与作用 本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用,分两课时,这里 是第一课时,它是在学生已经会求某些函数的最值,并且已经掌握了性质: “如果 f(x)是闭区 间[a,b]上的连续函数,那么 f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值” ,以及会求可导函数 的极值之后进行学习的,学好这一节,学生将会求更多的函数的最值,运用本节知识可以解 决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题.这节课集 中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法,学好本节,对于进一步完善学生 的知识结构,培养学生用数学的意识都具有重要的理论价值和现实价值. 高中阶段对用导数求可导函数在闭区间上的最值的方法不要求作严密的理论推导,这一 方法完全可以由学生通过对函数图象的观察、归纳得到,所以本节教材还有一个重要的教育 功能,那就是培养学生的探索精神,体验自主学习的成功愉悦. 【教学目标】 根据本节教材特点,结合学生已有的认知水平,制定本节如下的三维教学目标: 1.知识和技能目标 (1)进一步明确闭区间[a,b]上的连续函数 f(x),在[a,b]上必有最大、最小值. (2)理解上述函数的最值存在的可能位置. (3)掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤. 2.过程和方法目标 (1)在学习过程中,观察、归纳、表述、交流、合作,最终形成认识. (2)培养学生的数学能力,能够自己发现问题,分析问题并最终解决问题. 3.情感和价值目标 (1)认识事物之间的的区别和联系,体会事物的变化是有规律的唯物主义思想. (2)提高学生的数学能力,培养学生的创新精神、实践能力和理性精神. 【教学重点、难点】 1.教学重点 基于以上对本节教材特点和教学目标的分析,将本节课的教学重点确定为: (1)培养学生的探索精神,积累自主学习的经验; (2)会求闭区间上的连续函数的最大值和最小值. 2.教学难点 高三年级学生虽然已经具有一定的知识基础,但由于对求函数极值还不熟练,特别是对优 化解题过程依据的理解会有较大的困难,所以这节课的难点是 (1)发现闭区间上的连续函数 f (x)的最值只可能存在于极值点处或区间端点处; (2)理解方程 f′(x)=0 的解,包含有指定区间内全部可能的极值点. 3.教学关键 本节课突破难点的关键是:通过合作探究的方式,让学生在运动变化的过程中通过观察、 比较,发现结论. 【教法选择】 关于教法与学法: (1)班杜拉的社会学习原理认为:观察学习是重要的学习方法.这节课采用的第一个方法 就是“观察、比较法” ;

(2)为了克服学生已有知识经验和阅历不足的弱点,采用多媒体辅助教学,设计了一个动 画课件,让学生在函数图象的运动变化中观察、比较,发现数学本质; (3) 根据新课标的教学理念, 教学中要培养学生合作共事的团队精神, 这节课还采用了 “合 作、讨论法” ,让学生共同探讨、合作学习、取长补短、形成共识. 【学法指导】 对于求函数的最值,高三学生已经具备了良好的知识基础,剩下的问题就是有没有一种 更一般的方法,能运用于更多更复杂函数的求最值问题?教学设计中注意激发起学生强烈的 求知欲望,使得他们能积极主动地观察、分析、归纳,以形成认识,参与到课堂活动中,充 分发挥他们作为认知主体的作用. 【教学过程】 本节课的教学,大致按照“创设情境,铺垫导入——合作学习,探索新知——指导应用, 鼓励创新——归纳小结,反馈建构”四个环节进行组织. 教学 教 学 内 容 设 计 意 图 环节 1.问题情境:在日常生活、生产和科研中,常常会遇到 求什么条件下可以使成本最低、产量最大、效益最高等问 题,这往往可以归结为求函数的最大值与最小值. 如图,有一长 80cm,宽 60cm 的矩形不锈钢薄板,用此薄板折 成一个长方体无盖容器,要分别 过矩形四个顶点处各挖去一个 全等的小正方形,按加工要求, 长方体的高不小于 10cm 且不大于 20cm.设长方体的高为 xcm,体积 为 Vcm3.问 x 为多大时,V 最大? 并求这个最大值. 解:由长方体的高为 xcm, 可知其底面两边长分别是 (80-2x)cm, (60-2x)cm,(10≤x≤20). 所以体积 V 与高 x 有以下函数关系 V=(80-2x) (60-2x)x =4(40-x) (30-x)x. 以实例引入新课, 有利于学生感受到数学 来源于现实生活,培养 学生用数学的意识, .

一 、 创 设 情 境 , 铺 垫 导 入

通过运用几何画板 演示 , 增强直观性 , 帮助 学生迅速准确地发现相 关的数量关系.

实际问题中,在设 元、列式后将这个实际 问题转化为求函数在闭 区间上的最值问题.这 时学生经思考后会发 现,以前学习过的知识 不能解决这一问题,从 2.引出课题:分析函数关系可以看出,以前学过的方法 而激发起学生的学习热 在这个问题中较难凑效,这节课我们将学习一种很重要的 情. 方法,来求某些函数的最值.

教学 环节

















通过对已有相关知 识的回顾和深入分析, 自然地提出问题:闭区 1.我们知道,在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a, 间上的连续函数最大值 b]上必有最大值与最小值. 和最小值在何处取得? 如何能求得最大值和最 2.如图为连续函数 f(x)的图象: 小值?以问题制造悬 念,引领着学生来到新 知识的生成场景中. 为新知的发现奠定 基础后,提出教学目标, 让学生带着问题走进课 堂,既明确了学习目的, 又激发起学生的求知热 在闭区间[a,b]上连续函数 f(x)的最大值、最小值分别 情. 是什么?分别在何处取得? y y 为让学生更好地进 行发现,教学中通过改 变区间位置,引导学生 观察同一函数在不同区 aOb a x x Ob 间内图象上最大值最小 值取得的位置,形成感 性认识,进而上升到理 y y 性的高度. 学生在合作交流的 探究氛围中思考、质疑、 倾听、表述,体验到成 3.以上分析,说明求函数 f(x)在闭区间[a,b]上最值的 功的喜悦,学会学习、 关键是什么? 学会合作. 归纳: 设函数 f(x)在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导, 求 f (x) 在整个新知形成过 在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下: 程中,教师的身份始终 (1)求 f (x)在(a,b)内的极值; (2)将 f (x)的各极值与 f (a)、f (b)比较,其中最大的一 是启发者、鼓励者和指 导者,以提高学生抽象 个是最大值,最小的一个是最小值. 概括、分析归纳及语言 表述等基本的数学思维 能力.
O

二 、 合 作 学 习 , 探 索 新 知

a

b

x

a

O

b

x

教学 环节

















例 1 求函数 y= x4-2 x2+5 在区间[-2,2]上的最大 值与最小值. 解: y′=4 x3-4x, 令 y′=0,有 4 x3-4x=0,解得: x=-1,0,1 当 x 变化时,y′,y 的变化情况如下表:
x y′ y 13 -2 (-2,-1) — ↘ 4 -1 0 (-1,0) + ↗ 5 0 0 (0,1) - ↘ 4 1 0 (1,2) + ↗ 13 2

解决例 1 的方法并 不唯一,还可以通过换 元转化为学生熟知的二 次函数问题;而这里利 用新学的导数法求解, 这种方法更具一般性, 是本节课学习的重点.

三 、 指 导 应 用 , 鼓 励 创 新

从上表可知,最大值是 13,最小值是 4. 思考:求函数 f (x)在[a,b]上最值过程中,判断极值往往 比较麻烦,我们有没有办法简化解题步骤? 分析:在(a,b)内解方程 f′(x)=0 , 但不需要判断是否 是极值点,更不需要判断是极大值还是极小值. 设函数 f(x)在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导, 求 f(x)在[a,b] 上的最大值与最小值的步骤可以改为: (1)求 f(x)在(a,b)内导函数为零的点,并计算出其函 数值; (2)将 f(x)的各导数值为零的点的函数值与 f(a)、f(b) 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 解法 2: y′=4 x3-4x 令 y′=0,有 4x3-4x=0,解得: x=-1,0,1. x=-1 时,y=4, x=0 时,y=5, x=1 时,y=4. 又 x=-2 时,y=13, x=2 时,y=13. ∴所求最大值是 13,最小值是 4. 课堂练习: 求下列函数在所给区间上的最大值与最小值: (1)y=x-x3,x∈[0,2]; (2)y=x3+x2-x,x∈[-2,1]. “问起于疑,疑源于 思” ,数学最积极的成分 是问题,提出问题并解 决问题是数学教学的灵 魂.思考题的目的是优 化导数法求最大、最小 值的解题过程,培养学 生的探究意识及创新精 神,提高学生分析和解 决问题的能力. 对例题 1 用简化后 的方法求解,便于学生 将它与第一种解法形成 对照,使得问题的解决 更简单明快,更易于操 作,更容易被学生所接 受. 课堂练习的目的在 于及时巩固重点内容, 使学生在课堂上就能掌 握.同时强调规范的书 写和准确的运算,培养 学生严谨认真的数学学 习习惯.对学生完成练 习情况进行评价,使所 有学生都体验到成功或 得到鼓励,并据此调控 教学.

教学 环节

















例 2 如图,有一长 80cm,宽 60cm

例题 2 的解决与本 课的引例前后呼应,继 续巩固用导数法求闭区 间上连续函数的最值, 同时也让学生体会到现 实生活中蕴含着大量的 数学信息,培养他们用 数学的意识和能力.

三 、 指 导 应 用 , 鼓 励 创 新

的矩形不锈钢薄板,用此薄板折 成一个长方体无盖容器,要分别 过矩形四个顶点处各挖去一个 全等的小正方形,按加工要求, 长方体的高不小于 10cm 不大于 20cm,设长方体的高为 xcm,体积 为 Vcm .问 x 为多大时,V 最大? 并求这个最大值. 分析:建立 V 与 x 的函数的关系后,问题相当于求 x 为何值时,V 最大,可用本节课学习的导数法加以解决.
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四 、 归 纳 小 结 , 反 思 建 构

课堂小结: 通过课堂小结, 深化 1.在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在 [a,b]上必有最大 对知识理解,完善认识 值与最小值; 结构,领悟思想方法, 强化情感体验,提高认 2.求闭区间上连续函数的最值的方法与步骤; 识能力. 3.利用导数求函数最值的关键是对可导函数使导数为 零的点的判定.. 课外作业分 必做题 作业布置:P134 1. 与选做题,因材施教、 选做题:已知抛物线 y =4 x2 的顶点为 O,点 A(5,0) , 及时反馈,让不同的学 生在数学上得到不同的 ? 倾斜角为 的直线与线段 OA 相交,且不过 O、A 两点, 发展.同时有利于教师 4 发现教学中的不足,及 l 交抛物线于 M、 N 两点, 求使△AMN 面积最大时的直线 l 时反馈调节. 的方程..

【教学设计说明】 本节课旨在加强学生运用导数的基本思想去分析和解决问题的意识和能力, 即 利用导数知识求闭区间上可导的连续函数的最值,这是导数作为数学工具的一个

具体体现,整堂课对闭区间上的连续函数的最大值和最小值以“是否存在?存在 于哪里?怎么求?”为线索展开. 1.由于学生对极限和导数的知识学习还谈不上深入熟练,因此教学中从直观 性和新旧知识的矛盾冲突中激发学生的探究热情,充分利用学生已有的知识体验 和生活经验,遵循学生认知的心理规律,努力实现课程改革中以“学生的发展为 本”的基本理念. 2.关于教学过程,对于本节课的重点:求闭区间上连续,开区间上可导的函 数的最值的方法和一般步骤,必须让学生在课堂上就能掌握.对于难点:求最值 问题的优化方法及相关问题,层层递进逐步提出,让学生带着问题走进课堂,师 生共同探究解决,知识的建构过程充分调动学生的主观能动性. 3.为充分调动学生的学习积极性,让学生能够主动愉快地学习,本节课始终 贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的数学教学思想, 引导学生主动参与到课堂教学全过程中. 4.在教学手段上,制作多媒体课件辅助教学,使得数学知识让学生更易于理 解和接受;课堂教学与现代教育技术的有机整合,大大提高了课堂教学效率.
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学习不是一朝一夕的事情,需要平时积累,需要平时的勤学苦练。有个故事:古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说: “今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。每人把胳膊尽 量往前甩,然后再尽量往后甩。 ”说着,苏格拉底示范做了一遍, “从今天开始,每天做 300 下,大家能做到吗?”学生们都笑了,这么简单的事,有什么做不到的?过了一个月,苏格拉底问学生: 每天甩手 300 下,哪个同学坚持了,有 90%的学生骄傲的举起了手,又过了一个月,苏格拉底又问,这回,坚持下来的学生只剩下了 80%。一年过后,苏格拉底再一次问大家: “请告诉我,最简 单的甩手运动。还有哪几个同学坚持了?”这时,整个教室里,只有一个人举起了手,这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。同学们,柏拉图之所以能成为大哲学家,其中一个 重要原因,就是,柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。要想成就一番事业,必须有持之以恒的精神,大家都熟悉愚公移山的故事,愚公之所以能够感动天帝,移走太行、王屋二山。正是因为他具 有锲而不舍的精神。戎马一生,他前十次革命均告失败,但他百折不挠,终于在第十一次革命的时候,推翻了清王朝的统治,建立了中华民国。这些故事,情节不同,但意义都是一样的,它告诉 无们,做事要有恒心。旬子讲: “锲而不舍,朽木不折;锲而舍之,金石可镂。 ”这句话充分说明了一个人如果有恒心,一些困难的事情便可以做到,没有恒心,再简单的事也做不成。学习是一条 慢长而艰苦的道路,不能靠一时激情,也不是熬几天几夜就能学好的,必须养成平时努力学习的习惯。所以我说:学习贵在坚持! 当下市面上关于教授学习方法的书籍不少,其所载内容也的确

很有道理,然而当读者实际应用时,很多看似实用的方法用来效果却并不明显,之后的结果无非是两种:要么认为自己没有掌握其精髓要领,要么抱怨那本书的华而不实,但最终肯定还是会回归 到当初的原点。这本《学会学习》在一开始并没有急于兜售自己的方法,而是通过测试让读者真正了解自己,从而找到适合自己思维方式的学习方法,书的第一部分就是左脑还是右脑思维测试和 视觉、听觉和动觉学习模式测试,经过有效分类后,针对不同读者对不同思考和接收接受学习的特点,有针对性的分别给出建议,从而不断强化自己的优势。在其后书中的所有介绍具体学习方法 章节的最开始,都是按照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议,这是此书区别于其他学习方法类书籍的最大特点,这种“因材施教”的方式能让读者有种豁然开朗的感觉,除了能够得到最 适合自己的有效的学习方法也能更深入的认识客观的自己,不论对学习还是生活都有帮助。除了“针对性”强外,本书第二大特点就是“全面” ,全书都是由一篇篇短文、图表集成,更像是一本博 文或者 PPT 课件合集,每个学习方法的题目清晰明了十分便于查找,但也因此有些章节内容安排的比较混乱,所幸每一章节关联性并不太强,每个章节都适合独立检索来阅读学习。其内容从“时 间规划” 、 “笔记” “阅读”直到“考试”几乎涉及了所有学习中的常遇问题,文中文字精炼没有过分的渲染,完全是纯纯的“干货” ,可以设身处地的想象:当自己面对学海之中手足无措之时,长 篇大论的方法肯定会无心查看,明了的编排,让人从目录中就能一目了然的找到自己想要的,一篇篇短文尽可能在最少的时间让读者得到最有用的信息,是一部值得学习的人们不断自我提高的有 力武器。曾经看到一个有意思的心理测试:用“正确的方法” 、 “错误的方法”和“积极的行为” 、 “消极的行为” ,来自由搭配,看如何搭配出最好和最坏的结果, “正确方法”配合“积极的行为”无

疑是最好的结果,然而我们会很“惯性”想当然的认为, “错误的方法”和“消极的行为”搭配是最坏的结果,其实“错误的方法”加上“积极的行为”才是最坏的结果,这会让人在错误的路上越 走越远,学习也是同理,一味钻牛角尖般的生搬硬套不适合自己的方法不论多努力都只会离成功越来越远,而好的学习方法加上积极的学习态度无疑会让你如虎添翼。这是每个人都需要的,起码 在学生的时候如果遇到,或者人生会少一些遗憾,我只恨我遇见的晚了点,可是现在已是终身学习的年代,错过了最恰当的时候,但只要有心又怎会嫌晚呢?本书归类为学习方法-青年读物,是本 工具书,学习手册,但不能阻止她成为经典。这本书的副标题为“增加学习技能与脑力” ,正是本书的宗旨,本书系统化地阐述了学习技能提升的各个方面,可谓事无巨细的令人发指啊。整体来讲 主要包括 7 个方面,分别是学习模式,时间管理和学习技巧规划,笔记记录技巧,阅读技巧,记忆,应试技巧,拾遗。全书的结构采取的是总分的形式,前三个方面是总的部分,算是增加学习技 能的准备,从认识自己的学习模式开始,然后采取任何事都需要的时间管理技巧,再总体地讲一下学习技巧规划的事项。然后底下是分的部分,将学习的包含的各个方面的技巧进行分开阐述,分 别有笔记记录,阅读,记忆,应试以及最后的拾遗。系统地讲述了学习的几乎所有方面。让读到她的人如果实践的话不仅能在学习上得到提高,在脑力上或者说理解力上肯定会受益匪浅。在此, 说句题外话,我一直觉得日本人写书在细节上做的是无与伦比的,但是这本书让我对这个看法有了一定的动摇,因为她里面的讲述部分让我觉得美国是个应试教育的国家吗,简直比我们中国还要 应试。那个考试应对细节的部分放在中国,一点也没有违和感的,好吗?所以他们能出现这样的情况,从没到过日本的人能够写出描写日本人的书,然后让日本人都觉得是经典的,没有在企业里 做过实务管理的德鲁克能成为管理上的大师,其理念影响了全世界……不得不说,美国的教育真不是盖的。细节上,我印象比较深的是,作者开篇开始传授如何应该认识自己的学习模式,运用了 一些测试题目,然后根据结果找出与自己最近似的学习模式,她把学习模式分为几种情况,分别有左脑型,右脑型,还有另外的分法,为视觉的,听觉的,动作的。我看了一下,确实有跟自己近 的类型,我就是视觉的,对号入座后就可以比较直接的去扬长避短了。然后,作者说了,做任何事情,时间管理技巧都是不可缺少的,她不仅教导的是学习的技能,还有很多其他的道理,对我们 人生都是有益的,我相信,如果我们的孩子从小就学习这些,将会受用终生。还有,作者提到了学习技巧规划里的家庭档案系统,将我们现在工作中的管理引进了学习中,这是一个非常好的学习 习惯,如果孩子持续的做,严格地做,获得的收益将无法估量,因为,这在我们现在工作中都必须要用的管理信息的技能,实在是太可贵了,孩子将这种技能与阅读结合起来,保管好自己思维历 程,可以获得持续的提高,直到最后展翅翱翔,他最可贵的是,可以系统地提升自己,从而达到书中简介里提到的那样,碰到不会的领域的时候,可以很快的用这些方法,工具建立起模型,系统, 游刃有余地攻克自己之前没接触的领域,提升自己的理解力,我想这正是我们学习的比较重要的一个目的吧。最后,我影响比较深的就是作者提供的那些小工具了,包括笔记的表格,辅助记忆的 表格,帮助整理文档的夹子,应对考试的技巧,缓解紧张的方法……我觉得全书对于如何增加学习技能和脑力的讲述是有道理的,我也相信通过实践作者在书上所提到的方法,定能在学习中得到 提高。但是,那也不是一朝一夕的事情,就像我们大家都知道的那个故事,在美国得到诺贝尔奖的科学家说,自己得奖最大的原因都是在幼儿园里学习的最基本的道理,就是说要和郭靖一样,不 要贪多吃不烂,认定他就要好好地坚持去做,不要停。我自己喜欢的是家庭归档系统,虽然不是学习过程中的技能,只属于学习准备的东西,但是如果坚持井井有条的那样整理自己的学习思维, 对自己的收益将难以估量。稍显不足的地方是,第一,本书的语言太过精练,感觉就像没有主观感情一样,要命的是有很多词语或者概念读的时候甚至不知道什么意思,书中也没做讲解,本来就 看的比较费力,现在好了,作者也不等你,直接把你撂那。第二,作者很多地方就像立一个提纲一样,直接让你自己去参考多少多少页,这个太不习惯了。第三,作者在书中提到各种学习的类型, 但是并没有就这种类型合适他们的学习方法做开展或者介绍,比如,将学习分为好几种类型的那个部分,有内省的,有外联的之类,然而并没有对各种类型进行针对性的指导。从而她的有些观点 就不太适用,像成立学习小组的,这个对于内向的人,在我国这样的学习环境中是比较的困难,但作者没有就如何做提出建议,只是告诉读者这么做,会显得不够全面或者落空。