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3-6第六节 正弦定理和余弦定理


名师一号

高考总复习 模块新课标 新课标 A 版数学

第六节

正弦定理和余弦定理

时间:45 分钟 分值:75 分 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1 1.(2013· 北京卷)在△ABC 中,a=3,b=5,sinA=3,则 sinB= ( ) 1 A.5 5 C. 3 5 B.9 D.1

a b 解析 利用sinA=sinB代入计算即可. 答案 B )

2. 在△ABC 中, 若 sin2A+sin2B<sin2C, 则△ABC 的形状是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.不能确定

解析 ∵sin2A+sin2B<sin2C,∴a2+b2<c2. a2+b2-c2 cosC= 2ab <0,∴C 为钝角. 答案 C

3.若△ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a,b,c 满足(a+b)2-c2 =4,且 C=60° ,则 ab 的值为( 4 A.3 C.1 ) B.8-4 3 2 D.3

解析 由(a+b)2-c2=4,得 a2+b2-c2+2ab=4.① 由余弦定理得 a2+b2-c2=2abcosC=2abcos60° =ab,②
1

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4 将②代入①得 ab+2ab=4,即 ab=3. 答案 A

4.(2013· 新课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对 边分别为 a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则 b=( A.10 C.8 解析 B.9 D.5 23cos2A+cos2A=23cos2A+2cos2A-1=0,所以 cos2A= )

1 1 2 ,因为 A 是锐角,所以 cos A = 25 5,由余弦定理得 49= 36+ b - 13 2×6b×cosA,解得 b=5 或 b=- 5 (舍去),故选 D. 答案 D

5.(2013· 新课标全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 π π a,b,c,已知 b=2,B=6,C=4,则△ABC 的面积为( A.2 3+2 C.2 3-2 B. 3+1 D. 3-1 )

2 2× 2 c b 解析 由正弦定理得sinC=sinB?c= 1 = 2 6+ 2 π π 2 2, 又 sinA=sin(B+C)=sin(6+4)= 4 , 所以三角形面积 6+ 2 1 1 为 S=2bcsinA=2×2×2 2× 4 = 3+1,故选 B. 答案 B

6.(2014· 湖南五市十校联考)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,

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a+b 2 B,C 所对边的边长,若 cosA+sinA- =0,则 c 的值是 cosB+sinB ( ) A.1 C. 3 解析 B. 2 D.2 (cosA + sinA)(cosB + sinB) = 2 , cosAcosB + cosAsinB +

sinAcosB+sinAsinB=cos(A-B)+sin(A+B)=2,cos(A-B)+sinC=2. 所以 cos(A-B)=1,sinC=1, 所以 A-B=0 且 C=90° ,所以 A=B=45° ,该三角形为等腰直 a+b 角三角形,所以 c = 2. 答案 B

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 1 7. 在△ABC 中, 若 a=2, b+c=7, cosB=-4, 则 b=________. 22+c2-b2 1 解析 由余弦定理可得 cosB= =-4,又 b+c=7,从 2×2c 22+?7-b?2-b2 而 cosB= ,化简得 15b=60,解得 b=4. 2×2×?7-b? 答案 4 8.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若(a+b -c)(a+b+c)=ab,则角 C=________. 解析 由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得 a2+b2+2ab-c2=ab,则 a2+b2-c2 -ab 1 a +b -c =-ab,故 cosC= 2ab = 2ab =-2,又 C 是三角形
2 2 2

2π 的内角,所以 C= 3 .

3

名师一号 答案 2π 3

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9.(2013· 福建卷)如图,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD 2 2 ⊥AC,sin∠BAC= 3 ,AB=3 2,AD=3,则 BD 的长为________. 解析 ∵sin∠BAC=sin(90° +∠BAD) 2 2 =cos∠BAD= 3 , ∴BD2=AB2+AD2-2AB· ADcos∠BAD 2 2 =18+9-2×9 2× 3 =3.∴BD= 3. 答案 3

三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分) 10.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 b2 +c2=a2+bc. (1)求角 A 的大小; (2)若 sinB· sinC=sin2A,试判断△ABC 的形状. 解 b2+c2-a2 bc 1 (1)由已知得 cosA= 2bc =2bc=2.

π 又角 A 是△ABC 的内角,∴A=3. (2)由正弦定理,得 bc=a2, 又 b2+c2=a2+bc,∴b2+c2=2bc. ∴(b-c)2=0,即 b=c.
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π 又 A=3,∴△ABC 是等边三角形. 11.(2013· 北京卷)在△ABC 中,a=3,b=2 6,∠B=2∠A. (Ⅰ)求 cosA 的值; (Ⅱ)求 c 的值. 解 (Ⅰ)因为 a=3,b=2 6,∠B=2∠A,

3 2 6 所以在△ABC 中,由正弦定理得sinA=sin2A. 2sinAcosA 2 6 6 所以 sinA = 3 .故 cosA= 3 . 6 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 cosA= 3 ,所以 sinA= 1-cos2A= 3 . 1 又∠B=2∠A,所以 cosB=2cos2A-1=3. 2 2 所以 sinB= 1-cos2B= 3 . 5 3 在△ABC 中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= 9 .所以 asinC c= sinA =5. 12.(2014· 南昌模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a, C b,c,已知 sinC+cosC=1-sin 2 . (1)求 sinC 的值; (2)若 a2+b2=4(a+b)-8,求边 c 的值. 解 C (1)由已知得 sinC+sin 2 =1-cosC,

C C C ∴sin 2 (2cos 2 +1)=2sin2 2 .
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C C C 由 sin 2 ≠0,得 2cos 2 +1=2sin 2 , C C 1 ∴sin 2 -cos 2 =2. 1 3 两边平方,得 1-sinC=4,∴sinC=4. C C 1 π C π (2)由 sin 2 -cos 2 =2>0,得4< 2 <2, π 3 7 即2<C<π,则由 sinC=4得 cosC=- 4 . 由 a2+b2=4(a+b)-8 得(a-2)2+(b-2)2=0, 得 a=2,b=2. 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC=8+2 7, 所以 c= 7+1.

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