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45等差数列 全国高中数学新课程创新教学设计优秀案例

45 等差数列 教材分析 等差数列是高中阶段研究的两种最常见的数列之一.这节内容在一些具体实例的基础 上,归纳、抽象、概括出了等差数列的定义及其通项公式.教学重点是等差数例的定义及通 项公式的发现过程及有关知识的应用.教学难点是理解公式的实质并加以灵活运用. 教学目标 1. 理解等差数列的概念,掌握其通项公式及实质并会熟练应用. 2. 通过对等差数列概念及通项公式的归纳、抽象和概括,体验等差数列概念的形成过 程,培养学生的抽象、概括能力. 3. 培养从特殊到一般,再从一般到特殊的数学思想,并锻炼学生归纳、猜想、论证的 能力. 任务分析 这节课是在实例的基础上,采用从特殊到一般,再从一般到特殊的思想,对此,学生接 受起来并不太困难.对于等差数列的定义及通项公式的发现,要完全地放给学生自己讨论, 探究,以便于充分调动学生的主观能动性,使其充分体验到成功的乐趣.对于通项公式,不 要只看表面, 更要看到公式的实质———四个量之间的一个等量关系, 以便于以后运用方程 思想灵活解决有关问题. 教学设计 一、问题情景 在现实生活中,经常会遇到下面的特殊数列. 1. 我们经常这样数数,从 0 开始,每隔 5 个数一次,可以得到数列: 0.5, ______________ , ______________ , ______________ , ______________ , … 2. 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,用定期放水清库的办法清理 水库中的杂鱼.如果一个水库的水位为 18m,自然放水每天水位降低 2.5m,最低降至 5m, 那么从开始放水算起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位组成数列(单位:m): 18, ______________ , ______________ , ______________ , ______________ , 5.5. 3. 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利,即不把利息加入本金计算 下一期的利息.按照单利计算本利和的公式是: 本利和=本金× (1+利率× 存期). 例如,按活期存入 10000 元钱,年利率是 0.72%,那么按照单利,5 年内各年末的本利 和组成的数列是 ______________ , ______________ , ______________ , ______________ , ______________ . 问题:上面的数列有什么共同特点? 你能用数学语言(符号)描述这些特点吗? 二、建立模型 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这 个数列就叫作等差数列,这个常数叫作等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示,即an+1 -an=d(n∈N+). [问 题] (1)如果三个数a,A,b成等差数列,那么 A 叫a,b的等差中项.你能用a,b 表示 A 吗? (2)你能猜想出问题情景中的 3 个数列各自的通项公式吗? (3)一般地,对于等差数列{an},你能用基本量a1,d来表示其通项吗? 解法 1:归纳:a1=a1,a2=a1+d,a3=a1+2d,…, an=a1+(n-1)d. 解法 2:累加:a2-a1=d,a3-a2=d,…,an-an-1=d,各式相加,得an- a1=(n-1)d, ∴an=a1+(n-1)d. [思 考] (1)这个通项公式有何特点?是关于 n 的几次式的形式?d可以等 0 吗? (2)此公式中有几个量? [结 论] (1)等差数列通项公式是关于 n 的一次式的形式,n的系数为d.当d=0 时,该数 列为常数列. (2)此公式中有四个量,即an,a1,n,d,知道其中任何三个可求另外一个,所 以,通项公式实质是四个量之间的关系. 三、解释应用 [例 题] 1. (1)求等差数列 8,5,2,…的第 20 项. (2)-401 是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?如果是,是第几项? 2. 某市出租车的计价标准为 1.2 元/千米,起步价为 10 元,即最初的 4km(不含 4km) 计费 10 元. 如果某人乘坐该市的出租车去往 14km 处的目的地, 且一路畅通, 等候时间为 0, 须要支付多少车费? 解:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于 4km 时,每增加 1km,乘客须要支付 1.2 元.所以,可建立一个等差数列{an}来计算车费. 令a1=11.2,表示 4km 处的车费,公差d=1.2.那么,当出租车行至 14km 处时,n =11,此时须要支付车费a11=11.2+(11-1)× 1.2=23.2(元). 答:须要支付车费 23.2 元. 3. 已知数列{an}的通项公式为an=pn+q,其中p,q为常数,且p≠0,那么这 个数列一定是等差数列吗? 分析:判定{an}是不是等差数列,可以利用等差数列的定义,也就是看an-an-1(n >1)是不是一个与n无关的常数. 解:取数列{an}中的任意相邻两项an 与an-1(n>1),求差,得 an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]= pn+q-(pn-p+q)=p. 它是一个与n无关的数.所以{an}是等差数列. [练 习] 1. 在等差数列中, (1)已知a5=-1,a8=2,求a1 与d. (2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9. 2. 已知{an}是等差数列. (1)2a5=a3+a7 是否成立?2a5=a1+a9 是否成立? (2)2an=an-2+an+2(n>2)是否成立?2an=an-k+an+k(n>k>0)是 否成立? 3. 已知数列{an}, {bn}的通项公式分别为an=an+2,bn=bn+1(a,b是常数), 且a>b,那么这两个数列中的序号与数值均相等的项的个数有几个? 四、拓展延伸 (1)在直角坐标系中,画出通项公式为an=3n-5 的数列的图像,并说出这个数列的 图像有什么特点.该图像与y=3x-5

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