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陕西省师大附中2013届高三数学高考复习:专题3 数列及数列的简单应用


专题三

数列及数列的简单应用

1.(2013 · 湖 北 咸 宁 、 通 城 、 通 山 、 崇 阳 四 校 联 考 ) 已 知 数 列 {an } 满 足 :

a1 ? a 2 ? 2a ? 2, an ?1 ? an ? 2(n ? a ) ? 1, n ? N * ,当且仅当 n ? 3 时 a n 最小,则实数 a 的取值
范围为 A. (?1,3) 【答案】D 【解析】用累加法得 a n ? n 2 ? 2an ? a 2 ? 1 ,据题意易知 a ? ( , ) B. ( ,3) ( )

5 2

C. (2,4)

D. ( , )

5 7 2 2

5 7 2 2

2.(2013·郑州市第一次质量预测) 已知

a n ? ? ?2 x ? 1?dx
n 0

{
,数列

1 } a n 的前 n 项和为 S n ,数列

{bn } 的通项公式为 bn ? n ? 8 ,则 bn S n 的最小值为_____________________.
【答案】 ? 4 【解析】 a n ? x 2 ? x

?

?

n 0

? n2 ? n ,

n 1 1 1 , Sn ? , ? ? n ?1 an n n ? 1

bn S n ? n ? 9 ?

9 9 ? n ?1? ? 10 ? ?4. n ?1 n ?1

3.(2013·玉溪一中第五次月考)已知数列{ an }满足 a1 ? 1 ,an ?1 ? ? 则其前 6 项之和是 ( A.16 【答案】C ) B.20 C.33 D.120

?2an ( n为正奇数) ?an ? 1 ( n为正偶数)



【解析】 a2 ? 2a1 ? 2 , a3 ? a2 ? 1 ? 3,a4 ? 2a3 ? 6 , a5 ? a4 ? 1 ? 7,a6 ? 2a5 ? 14 ,所 以 S6 ? 1 ? 2 ? 3 ? 6 ? 7 ? 14 ? 33 ,选 C. 4.(2013·北大附中河南分校第四次月考)在数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, a2 ? 7, an ? 2 等于

an an ?1 (n ? N ?) 的个位数,则 a2013 的值是(
A.8 【答案】C B.6 C.4

) D.2

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【解析】 a1a2 ? 2 ? 7 ? 14 ,所以 a3 的个位数是 4, 4 ? 7 ? 28 ,所以所以 a4 的个位数是 8,

4 ? 8 ? 32 ,所以 a5 的个位数是 2, 2 ? 8 ? 16 ,所以 a6 的个位数是 6, a7 的个位数是 2,
a8 的个位数是 2, a9 的个位数是 4, a10 的个位数是 8, a11 的个位数是 2,所以从第三项
起, an 的个位数成周期排列,周期数为 6, 2013 ? 335 ? 6 ? 3 ,所以 a2013 的个位数和 a3 的个位数一样为 4,选 C. 5. (2013· 昆明市调研) 已知数列{an}满足 an+1=a1﹣an﹣1 n≥2) a1=a, 2=b, Sn=a1+a2+?+an, ( , a 设 则下列结论正确的是( ) B.a100=a﹣b,S100=50a D.a100=﹣a,S100=b﹣a

A.a100=a﹣b,S100=50(a﹣b) C.a100=﹣b,S100=50a 【答案】B

【解析】∵an+1=a1﹣an﹣1(n≥2) 1=a,a2=b, ,a ∴a3=a1﹣a1=0, a4=a1﹣a2=a﹣b, a5=a1﹣a3=a, a6=a1﹣a4=a﹣(a﹣b)=b, ∴{an}是以 4 为周期的周期函数, ∵100=4×25, ∴a100=a4=a﹣b,

S100=25(a+b+0+a﹣b)=50a.故选 B. 6.(2013·安徽省开学考)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a3 ? a8 ? 13 且 S7 ? 35 ,则

a7 ? (
A.11

) B.10 C.9 D.8

7. (2013·广州市 1 月调研)已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 若 a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,则 S7 的值为 【答案】 28 .

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8.(2013·东城区期末)已知 {an } 为等差数列,其前 n 项和为 S n ,若 a3 ? 6 , S3 ? 12 ,则 公差 d 等于 A. B.

5 3

C. 2

D. 3

9. (2013·南昌二中第四次月考)已知 Sn 表示等差数列{an}的前 n 项和,且 ( A. 【答案】B ) B. C. D. = ,那么 =

10. ( 2013 · 湖 南 师 大 附 中 第 六 次 月 考 ) 设 等 差 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n 且 满 足

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S15 ? 0, S16 ? 0, 则
S6 a6

S S1 S 2 S3 , , ,? , n 中最大的项为 a1 a2 a3 an

(

)

A.

B. S 7
a7

C.

S8 a8

D. S 9
a9

【答案】C 【解析】由 S15 ?

15(a1 ? a15 ) =15a8 ? 0 ,得 a8 ? 0 . 2 15(a1 ? a16 ) 15(a9 ? a8 ) = ? 0 ,得 a9 ? a8 ? 0 ,所以 a9 ? 0 ,且 d ? 0 . 由 S16 ? 2 2
所以数列 {an } 为递减的数列.所以 a1 ,? a8 为正, a9 ,? an 为负, 且 S1 ,? S15 ? 0 , S16 ,? S n ? 0 , 则

S9 S S S S ? 0 , 10 ? 0? , 8 ? 0 ,又 S8 ? S1 , a1 ? a8 ,所以 8 ? 1 ? 0 , a9 a10 a8 a8 a1
S8 . a8

所以最大的项为

11.(2013·北大附中河南分校第四次月考) 设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 且满足

S15 ? 0, S16 ? 0, 则 S1 , S 2 ,?, S15 中最大的项为
a1 a 2 a15

A.

S6 a6

B.

S7 a7

C.

S9 a9

D.

S8 a8

【答案】D 【解析】由 S15 ?

15(a1 ? a15 ) 15(a1 ? a16 ) 15(a9 ? a8 ) =15a8 ? 0 ,得 a8 ? 0 .由 S16 ? = ?0, 2 2 2

得 a9 ? a8 ? 0 ,所以 a9 ? 0 ,且 d ? 0 .所以数列 {an } 为递减的数列.所以 a1 ,? a8 为正,

a9 ,? an 为 负 , 且 S1 ,? S15 ? 0 , S16 ,? S n ? 0 , 则

S9 S S ? 0 , 10 ? 0? , 8 ? 0 , 又 a9 a10 a8

S8 ? S1 , a1 ? a8 ,所以

S8 S1 S ? ? 0 ,所以最大的项为 8 ,选 D. a8 a1 a8

12. ( 2013 · 黄 山 市 第 一 次 质 检 ) 若 {an } 是 等 差 数 列 , 首 项 公 差 d ? 0 , a1 ? 0 , 且

a2013 (a2012 ? a2013 ) ? 0 ,则使数列 {an } 的
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前 n 项和 S n ? 0 成立的最大自然数 n 是 A.4027 B.4026 C.4025 D.4024





13.(2013·惠州市第三次调研)在等比数列

?an ? 中, a1 ? 1 ,公比 q ? 2 ,若 ?an ? 前 n 项和

S n ? 127 ,则 n 的值为
【答案】7



1 ? 2n S n ? 127 ? ? 2n ? 1 ? n ? 7 1? 2 【解析】 .
14.(2013·潮州市期末)等比数列 { an } 中 a1 ? 512 ,公比 q ? ?

1 ,记 ? n ? a1 ? a 2 ??? an 2

(即 ? n 表示数列 { an } 的前 n 项之积) ?8 , ? 9 , ?10 , ?11 中值为正数的个数是 , A. B. 2 C. 3 D. 4

15.(2013·广东省华附、省实、广雅、深中期末四校联考)在正项等比数列 ?a n ? 中,a1 和 a19 为方程 x 2 ? 10 x ? 16 ? 0 的两根,则 a8 a10 a12 ? ( A.16 B.32 ) C.64 D.256

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16.(2013·开封市一模)设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则

的值为(



A. 【答案】A 【解析】∵S4= 故选 A.

B.

C.

D.

=

=15a1,a3=a1q =4a1,∴

2

=

=



17.(2013·成都市高新区统一检测)已知等比数列{an}的前三项依次为 a﹣1,a+1,a+4,则 an=( A. 【答案】B 【解析】∵数列{an}为等比数列, ∴(a+1) =(a﹣1) (a+4) , ∴a=5,即数列的前三项为 4,6,9,公比为
2

) B. C. D.

∴an=a1q

n﹣1

=4? .

18.(2013 宣城市 6 校届联考)设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 S n ,则 ( A.2 【答案】C ) B.4 C.

S4 的值为 a2

15 2

D.

17 2

a1 ?1 ? 24 ?
【解析】

S4 ? a2

1? 2 a1 ? 2

?

15 2

19.(2013·北大附中河南分校第四次月考)已知各项为正的等比数列 {an } 中, a4 与 a14 的等 比中项为 2 2 ,则 2a7 ? a11 的最小值为( A.16 B.8 ) C. 2 2 D.4

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【答案】B 【解析】因为 a4 a14 ? (2 2) ? 8 ,即 a4 a14 ? a9 2 ? 8 ,所以 a9 ? 2 2 。则
2

2a7 ? a11 ?

2a 2a9 2a9 ? a9 q 2 ? 2 ? a9 q 2 ? 2 2 ? a9 ? 8 ,当且仅当 29 ? a9 q 2 ,即 2 2 q q q

q 4 ? 2 ,时取等号,选 B.
20.(2013·南昌市调研)已知等比数列 an ? 公比为 q,其前 n 项和为 S n ,若 S3 , S9 , S6 成等 差数列,则 q 3 等于( A. ? ) C. ?

?

1 2

B.1

1 或1 2

D. ?1或

1 2

【答案】A 【解析】若 q ? 1 ,则 3 a1 +6 a1 = 2? 9 a1 ,得 a1 =0,而等比数列任何一项都不为 0,故 q ? 1 ; 所以

a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) a (1 ? q 9 ) 1 ? ?2 1 ,换元解方程得 q 3 = ? 或 1(舍) 1? q 1? q 1? q 2

21.(2013·北京市朝阳区期末)已知数列 1, a1 , a2 ,9 是等差数列,数列 1, b1 , b2 , b3 ,9 是等比数 列,则

b2 的值为 a1 ? a2
3 10

.

【答案】

【解析】因为 1, a1 , a2 ,9 是等差数列,所以 a1 ? a2 ? 1 ? 9 ? 10 。 1, b1 , b2 , b3 ,9 是等比数列,所 以 b2 2 ? 1? 9 ? 9 ,因为 b1 ? b2 ? 0 ,所以 b2 ? 3 ,所以
2

b2 3 ? 。 a1 ? a2 10

22.(2013·安徽省皖南八校第二次联考)定义:数列{an}前 n 项的乘积 Tn ? a1a2 ? an ,数 列 an ? 29? n ,则下面的等式中正确的是 A. T1 ? T19 【答案】C 【解析】∵ Tn ? a1 ? a2 ? an ? 2
n (17 ? n ) 2

B. T3 ? T17

C. T5 ? T12

D. T8 ? T11

,∴代入验证可得 T5 ? T12

23.(2013·北京昌平区期末)设 Sn 是公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 n 项和,且 S1 , S2 , S4 成
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等比数列,则 A.1 【答案】C

a2 等于 a1
B. 2 C. 3 D. 4

【 解 析 】 因 为 S1 , S2 , S 4 成 等 比 数 列 , 所 以 S1 S 4 ? S 2 2 , 即 a1 (4a1 ? 6d ) ? (2a1 ? d )2 , 即

d 2 ? 2a1d , d ? 2a1 ,所以

a2 a1 ? d a1 ? 2a1 ? ? ? 3 ,选 C. a1 a1 a1

24.(2013·昆明市调研)公比不为 1 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且﹣3a1,﹣a2,a3 成等 差数列,若 a1=1,则 S4=( A.﹣20 ) B.0 C.7 D.40

25.(2013·北京市昌平区期末)设 Sn 是公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 n 项和,且 S1 , S2 , S4 成等比数列,则 A.1 【答案】C 【 解 析 】 因 为 S1 , S2 , S 4 成 等 比 数 列 , 所 以 S1 S 4 ? S 2 2 , 即 a1 (4a1 ? 6d ) ? (2a1 ? d )2 , 即

a2 等于 a1
B. 2 C. 3 D. 4

d 2 ? 2a1d , d ? 2a1 ,所以

a2 a1 ? d a1 ? 2a1 ? ? ? 3 ,选 C. a1 a1 a1

26.(2013·河南省郑州市第一次质量预测)把 70 个面包分 5 份给 5 个人,使每人所得成等差数

1 列,且使较大的三份之和的 6 是较小的两份之和,问最小的 1 份为
A. 2 B. 8 C.

14

D. 20

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【答案】A 【解析】不妨设为 a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 ,则 a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 ? 70, a3 ? 14. 由 ?a1 ? a 2 ? ?

1 ?a3 ? a 4 ? a5 ? 得 a1 ? a 2 ? 1 a 4 ,即 ?a3 ? 2d ? ? ?a3 ? d ? ? 1 ?a3 ? d ? ,解得 6 2 2

d ? 6, a1 ? 2.

27.(2013·皖南八校第二次联考)已知各项均
为正数的等差数列 {an } 中, a2 ? a12 ? 49 ,则 a7 的最小值为( A.7 B. 8 C. 9 ) D. 10

28. 2013· ( 东城区普示范校综合练习) 在等差数列 ?a n ?中, n ? 0 , a1 ? a 2 ? ? ? a10 ? 30 , 且 a 则 a5 ? a 6 的最大值是 A. 3 【答案】C 【解析】 在等差数列中,a1 ? a2 ? ? ? a10 ? 30 , 5( a1 ? a10 ) ? 30 , a1 ? a10 ? a5 ? a6 ? 6 , 得 即 由 a5 ? a6 ? 2 a5 a6 ,所以 6 ? 2 a5 a6 ,即 a5 a6 ? 9 ,当且仅当 a5 ? a6 时取等号,所以 a5 a6 的最大值为 9,选 C. 29. ( 2013 · 海 淀 区 北 师 特 第 四 次 月 考 ) 已 知 正 项 数 列 ?a n ? 中 , a1 ? 1 , a 2 ? 2 , B. 6 C. 9 D. 36

2an 2 ? an ?12 ? an ?12 (n ? 2) ,则 a6 等于
A.16 【答案】D 【解析】由 2an 2 ? an ?12 ? an ?12 (n ? 2) 可知数列 B.8 C. 2 2 D.4

{an 2 }

是等差数列,且以

a12 ? 1

为首项,公差 ,所以

d ? a2 2 ? a12 ? 4 ? 1 ? 3 a6 2 ? 3 ? 6 ? 2=16
,即

,所以数列的通项公式为 。选 D.

an 2 ? 1 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 2

a6 ? 4

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30.(2013·山东省枣庄三中 1 月考)在圆 x 2 ? y 2 ? 5 x 内,过点(

5 3 , )有 n 条弦的长 2 2 1 1 度成等差数列,最小弦长为数列的首项 a1 ,最大弦长为 a n ,若公差为 d∈[ , ],那 6 3
么 n 的取值集合为

A. {4,5,6,7} C. {3,4,5,6} 【答案】A

B. {4,5,6} D. { 3.4.5,6,7}

25 5 5 ,所以圆心为 ( , 0) ,半径 r ? ,则最大的弦 4 2 2 3 5 3 为直径,即 an ? 5 ,当圆心到弦的距离为 时,即点( , )为垂足时,弦长最小为 4, 2 2 2 an ? a1 5 ? 4 1 1 1 即 a1 ? 4 ,所以由 an ? a1 ? (n ? 1)d 得, d ? ,因为 ? d ? ,所以 ? ? n ?1 n ?1 n ?1 6 3 1 1 1 ? ? ,即 3 ? n ? 1 ? 6 ,所以 4 ? n ? 7 ,即 n ? 4,5, 6, 7 ,选 A. 6 n ?1 3
【解析】圆的标准方程为 ( x ? ) 2 ? y 2 ? 31.(2013·成都市高新区统一检测)已知方程 x ﹣9x+2 =0 和 x ﹣6x+2 =0 分别存在两个不等实 根,其中这四个根组成一个公比为 2 的等比数列,则 a+b=( A .3 【答案】D 【解析】设方程 x ﹣9x+2 =0 的两根为 x1,x4,方程 x ﹣6x+2 =0 的两根为 x2,x3,则 x1x4=2 , x1+x4=9,x2x3=2 ,x2+x3=6 ∵四个根组成一个公比为 2 的等比数列,∴x1=1,x2=2,x3=4,x4=8, ∴2 =8,2 =8,∴a=b=3 ∴a+b=6 故选 D. 32.(2013·惠州市第三次调研)数列{ 和等于( A.76 ) B.78 C. 80 D.82
a b b 2 a 2 b a 2 a 2 b

5 2

) D . 6

B.

4

C. 5

a n } 中,an ?1 ? (?1) n an ? 2n ? 1 ,则数列{ a n }前 12 项

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32.(2013·杭州第一次质检)设等差数列 ?an ?的前 n 项和是 S n ,若 ? am ? a1 ? ? am ?1 ( m ? N ,
*

且 m ? 2 ),则必定有( A. S m ? 0 ,且 S m ?1 ? 0 C. S m ? 0 ,且 S m ?1 ? 0 【答案】C

) B. S m ? 0 ,且 S m ?1 ? 0 D. S m ? 0 ,且 S m ?1 ? 0

【解析】由题意,得: ? am ? a1 ? ? am ?1 ? ? 显然,易得 S m ?

?a1 +am ? 0 。 ?a1 ? am ?1 ? 0

a1 ? am a ?a ? m ? 0 , S m ?1 ? 1 m ?1 ? (m ? 1) ? 0 2 2
*

33.(2013·北京市海淀区届期末)数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? r ? an ? r ( n ? N , r ? R 且

r ? 0) ,则“ r ? 1 ”是“数列 ?an ? 成等差数列”的
A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】A 【解析】若 r ? 1 ,则 an ?1 ? an ? 1 ,即 an ?1 ? an ? 1 ,所以数列 ?an ? 成等差数列。若数列 ?an ? 成等差数列,设公差为 d ,则 an ?1 ? an ? r ? an ? r ? (r ? an ?1 ? r ) ? r (an ? an ?1 ) ,即 d ? dr , 若 d ? 0 , r ? 1 , d ? 0 , an ?1 ? an ? a1 ? 1 , 1 ? r ? r ? 2r , 则 若 则 即 此时 r ? 是数列 ?an ? 成等差数列的充分不必要条件,选 A. 34.(2013·杭州第一次质检)无穷数列 1, 2, 2,3,3,3, 4, 4, 4, 4,5,? 的首项是 1,随后两项都是 2, 接下来 3 项都是 3, 再接下来 4 项都是 4, 以此类推.记该数列为 ?an ?, an ?1 ? 20 , ?, 若 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

1 。 所以 r ? 1 2

an ? 21 ,则 n ?
【答案】211



【解析】将 1, 2, 2,3,3,3, 4, 4, 4, 4,5,? 分组成 ?1? , ?2, 2? , ?3,3,3? , ?4, 4, 4, 4? , ?5, ?? , ? 。
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第 1 组有 1 个数,第 2 组有 2 个数,以此类推... 显然 an ?1 ? 20 在第 20 组, an ? 21 在第 21 组。 易知,前 20 组共 所以, n ? 211 。 35.(2013·泰安市期末)下面图形由小正方形组成,请观察图 1 至图 4 的规律,并依此规律, 写出第 n 个图形中小正方形的个数是___________.

(1 ? 20) ? 20 ? 210 个数. 2

【答案】

n(n ? 1) 2

【 解 析 】 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 6, a4 ? 10 , 所 以 a2 ? a1 ? 2, a3 ? a2 ? 3, a4 ? a3 ? 4 ,

? an ? an ?1 ? n , 等 式 两 边 同 时 累 加 得 an ? a1 ? 2 ? 3 ? ? ? n , 即
n(n ? 1) n(n ? 1) ,所以第 n 个图形中小正方形的个数是 2 2 36.(2013 · 杭 州 第 一 次 质 检 ) 设 等 差 数 列 ?an ? 满 足 : an ? 1 ? 2 ? ? ? n ?
sin 2 a3 ? cos 2 a3 ? cos 2 a3 cos 2 a6 ? sin 2 a3 sin 2 a6 ? 1 ,公差 d ? (?1, 0) . 若当且仅当 n ? 9 sin(a4 ? a5 )
时,数列 ?an ?的前 n 项和 S n 取得最大值,则首项 a1 的取值范围是( A. ? ) D.

? 7? 4? ? , ? 3 ? ? 6

B. ?

? 4? 3? ? , ? 2 ? ? 3

C.

? 7? 4? ? ? 6 , 3 ? ? ?

? 4? 3? ? ? 3 , 2 ? ? ?

【答案】B 【解析】先化简:

= = =

(sin 2 a3 ? sin 2 a3 sin 2 a6 ) ? (cos 2 a3 ? cos 2 a3 cos 2 a6 ) ?1 sin(a4 ? a5 )

(sin a3 cos a6 ) 2 ? (cos a3 sin a6 ) 2 ?1 sin(a4 ? a5 ) sin(a3 ? a6 ) sin(a3 ? a6 ) ?1 sin(a4 ? a5 )

? sin(a3 ? a6 ) ? 1? ? ?? d ?? a3 ? a6 ? ?3d ? 6

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又当且仅当 n ? 9 时,数列 ?an ?的前 n 项和 S n 取得最大值,即:

?a9 ? a1 ? 8d ? 0 4? 3? a9 ? 0, a10 ? 0 ? ? ? ? a1 ? 3 2 ?a10 ? a1 ? 9d ? 0
an ? m ? an {an } 满足 a1 ? 2, 且对任意的 m, n ? N ,都有 am 37. (2013·北京市海淀区期末)数列 ,
*

则 a3 ? _____; {an } 的前 n 项和 Sn ? _____.

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